2015年高考數學中的“亮點”試題回眸

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2015年高考數學中的“亮點”試題回眸

湖北省襄陽市第一中學(441000)王勇龔俊峰

縱觀2015年高考數學試題，總體反映出穩定、創新、應用、傳承的特點.每份試卷的結構、題型、重要知識點相對穩定，不同試卷均有新穎的“亮點”題，試題注重創設新穎情境，強調知識交匯，突出數學素養和數學靈氣的考查.試題設計充分體現數學的應用價值，尤其是與人們的生活、生產緊密聯系的實際應用性試題，意在考查考生把實際問題數學模型化的轉化思想，而體現數學背景、數學歷史、數學文化、數學故事的歷史名題的改編題，更是給數學試卷注入了一股春風，彰顯了數學文化的傳承、數學閱讀理解能力的考核.下面精選六例并分類解析，旨在探索題型規律，揭示解題方法.

1.創設新穎情境，強調知識交匯，突出數學素養

高考是選拔性的考試，試卷中出現新穎別致且綜合性較強的試題在情理之中.面對情境新穎、交匯整合的題目，需要鎖定目標，尋找理論依據，合情推理，逐步套牢目標，不斷轉化，驚險散盡，自然水到渠成.

例1(2015·福建卷文16)若a,b是函數f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個不同的零點，且a,b,-2這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則p+q的值等于.

綜上可知，p+q=9.

點評：本題以函數的零點為載體考查等比中項或等差中項，其中分類討論和邏輯推理是解題核心.三個數成等差數列或等比數列，項與項之間是有順序的，但是等差中項或等比中項是唯一的，故可以利用中項進行討論與分析.

2.聯系生活實際，構建數學模型，注重數學應用

數學是一種工具，工具就有廣泛的應用價值，實際應用性問題解答的關鍵在于選擇恰當的數學模型，將實際問題轉化為數學問題，“數學化”的過程就是要把陌生問題化為熟悉問題，未知問題化為已知問題，復雜問題化為簡單問題.

圖1

(1)求a,b的值；

(2)設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t.

①請寫出公路l長度的函數解析式f(t)，并寫出其定義域；②當t為何值時，公路l的長度最短？并求最短長度.

分析：(1)根據M,N兩點的坐標求出a,b的值；(2)根據導數先求切線方程，再求f(t),最后利用導數求最值.

點評： 本題主要考查導數在實際問題中的應用，意在考查考生建立數學模型和利用所學知識解決實際問題的能力.

3.依托數學史料，嵌入數學名題，彰顯數學文化

數學是一種文化，是一種精神，體現數學文化的新穎試題是近年高考命題的新動向，值得考生關注、探究和學習.

圖2

例4(2015·新課標全國卷Ⅰ)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米(如圖2，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有( ).

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

點評：本題考查扇形的弧長公式與圓錐的體積計算.通過古題新解考查閱讀理解能力，通過圓錐體積的計算考查空間想象能力與運算求解能力.

圖3

例5(2015·湖北卷文20)《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖3所示的陽馬P-ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD，點E是PC的中點，連接DE,BD,BE.

(1)證明：DE⊥平面PBC.試判斷四面體EBCD是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角(只需寫出結論)；若不是，請說明理由.

分析：(1)把線面垂直轉化為線線垂直，通過證明DE⊥BC,DE⊥PC,進而證明DE⊥平面PBC，整合已證的線面垂直關系，可知四面體EBCD為鱉臑；(2)表示出兩個幾何體的體積，利用線段間的關系化簡求值.

解析：(1)因為PD⊥底面ABCD,所以PD⊥

BC.由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.因為DE?平面PCD，所以BC⊥DE.又因為PD=CD,點E是PC的中點，所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個鱉臑，其四個面的直角分別是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB.

點評： 本題結合《九章算術》中的新名詞(陽馬、鱉臑)考查線面垂直的判定與性質、錐體的體積計算等，意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力、信息遷移能力與運算求解能力，同時還考查了轉化與化歸思想的應用.