動中覓靜，動靜轉換
——例析妙解旋轉類數學問題

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動中覓靜，動靜轉換
——例析妙解旋轉類數學問題

浙江省溫州中學(325014)劉旭飛胡浩鑫

從辯證角度看，動與靜是相對存在的，仔細觀察題目特點，動中覓靜，以靜制動，動靜轉換，不失為處理動態性問題的良策．面對旋轉類問題，抓住旋轉中的不變量或利用動靜轉換，常能幫助我們突破思維的屏障、找準切入點、明確解題方向．課堂教學中發現旋轉類問題學生都感覺難以下手，本文想結合具體案例談一談解決這類問題常見的兩種策略．

一、動中覓靜，以靜制動

自然界的一切事物都在不停的運動著，靜止是相對的．反應在數學上就是數量關系和空間形式變換著，而在變中又蘊含著不變的因素，若能抓住這些不變的性質或不變量作為解題的突破口，問題便迎刃而解．

圖1

圖2

點評：本題難點在于旋轉過程中，點O和C都不定，很難找到突破口.方法一從運動中找不變的量入手，動中覓靜，以靜制動，這是解決這類問題的常用手段.要留心錯解：|OC|≤|OM|+|MF|=3，此時等號取不到，因為O,M,F三點不可能不共線.方法二借助向量工具，活用向量分解，把已知向量分解為模或向量之間夾角確定的向量，化動為靜，從而達到問題的輕松獲解.

圖3

點評：該思路把所求的向量分解轉化為模或向量之間夾角確定的向量，以相對確定的向量來表示變化向量，從而減少運算量、思維量，達到化變為不變，化動為靜，以靜制動的效果，使問題變繁為簡.

二、動靜轉換，另辟蹊徑

運動和靜止是相對的，運動的A相對于靜止的B，也可看成B動A靜，利用動靜之間的這種相對性來解決動態數學問題常能收到出人意料的效果．

例3(2011浙江省五校聯考)將函數y=sinx(0≤x≤2π)的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉θ(0≤θ≤2π)角，得到曲線C.若對于每一個旋轉角θ，曲線C都是一個函數的圖像，則滿足條件的角θ的范圍是( ).

圖4

解析：正弦函數圖像旋轉很難看出它何時還是一個函數的圖像，不如來個動靜互換，即把正弦函數圖像看作不動，如圖4，讓坐標軸繞坐標原點順時針轉動，只需看和y軸平行的直線是否和y=sinx(0≤x≤2π)的圖像只有一個交點即可，易得到選項C．

圖5

例4同例2．

點評：該問題按常規思維去解決會顯得復雜甚至束手無策，但換個角度，把多點運動轉化為單點運動，脫掉復雜的外衣，使原本問題難度大大降低，真是“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”．

例5同例1．

圖6

點評：該思路運用運動的相對性，突破常規，反客為主，進行動靜轉換，體現出思維的靈活性和廣闊性，把化歸與轉化及數形結合的思想運用得淋漓盡致，可謂妙哉！

上述幾例能給讀者以拋磚引玉的啟示，因此教師有意識地培養學生動中覓靜、動靜轉換的策略，能幫助學生發展良好的個性品質，克服思維定勢，善于從變換的角度看問題，從而發現問題的本質特征，有效地解決有關問題．