周期到達(dá)隊(duì)列的高負(fù)荷極限

張鮮娜

摘 要 在周期到達(dá)的Gt/GI/s隊(duì)列中，研究常規(guī)的顧客人數(shù)的高負(fù)荷極限。我們假設(shè)到達(dá)計(jì)數(shù)過程由累積隨機(jī)過程構(gòu)成，累積隨機(jī)過程滿足泛函中心極限定理和確定性累計(jì)率函數(shù)是周期函數(shù)的積分。對(duì)于確定到達(dá)率函數(shù)的三個(gè)不同刻畫，研究三個(gè)不同的高負(fù)荷極限。

關(guān)鍵詞 高負(fù)荷極限 周期到達(dá)率隊(duì)列 周期隊(duì)列的高負(fù)荷極限

中圖分類號(hào)：O226 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1研究的背景和目標(biāo)

關(guān)于隊(duì)列的高負(fù)荷極限問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做過了大量的研究。本文主要研究到達(dá)過程具有周期到達(dá)率的Gt/GI/s隊(duì)列在高負(fù)荷條件下的泛函弱大數(shù)定律和泛函中心極限定理。

2到達(dá)過程模型

設(shè)周期隨機(jī)到達(dá)計(jì)數(shù)過程為：A（t）≡N（∧（t）），t≥0，其中N為滿足泛函中心極限定理的隨機(jī)計(jì)數(shù)過程。在D空間中，當(dāng)時(shí)n→∞，，其中，表示在D空間中[0，∞）上左極限存在的右連續(xù)實(shí)函數(shù)依分布收斂，Ba是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)（轉(zhuǎn)移率為0，方差為1）布朗運(yùn)動(dòng)。A是累積到達(dá)率函數(shù)，并滿足∧（t）≡ （s）ds，t≥0其中 為周期到達(dá)率函數(shù)，故 ≡t-1∧（t）。

3 Gt/GI/s模型常規(guī)的高負(fù)荷極限

設(shè)服務(wù)強(qiáng)度為 （ <1），令 = ，對(duì)每一個(gè) ，有 =1。令A(yù) （t）≡N（∧ （t）），t≥0，Q ≡{Q （t）：t≥0}（Q （t）為在t時(shí)刻，系統(tǒng) 中的顧客數(shù)）。

下面我們定義累積到達(dá)率函數(shù)：

（t）≡（1- ）[∧ （1- ）-2t]-（1- ）-2 ∧f（t），t≥0，對(duì)每一個(gè) （0< <1），假設(shè)在D空間中當(dāng) ↑1時(shí)，（t）→∧d（t），其中∧f和∧d分別為累積到達(dá)函數(shù)， f=1， d=0。

A （t）≡（1 ）2A （（1- ）-2t）和Q （t）≡（1- ）-2Q （（1- ）-2t），t≥0

定理3.1（泛函弱大數(shù)定律）除以上條件外，在空間中，當(dāng) ↑1時(shí)，有Q （0） q（0），其中q（0）是非負(fù)實(shí)數(shù)，則在D空間中，當(dāng) ↑1時(shí)，有A ∧f且Q （q（0）+∧f e）。

證明：在D空間中，有（1- ）-2N（（1- ）-2t） t；由上述定義的累計(jì)到達(dá)率函數(shù)可得：在D空間中，有（1- ）-2∧ （（1- ）-2t） ∧f（t）。利用A （t）≡N（∧ （t）），t≥0及連續(xù)映射定理可知：在D空間中，當(dāng) ↑1時(shí)，有A ∧f。

運(yùn)用服務(wù)過程的泛函弱大數(shù)定律得到純收入過程的泛函弱大數(shù)定律，再利用連續(xù)映射定理和單映像映射定理可得：在D空間中，當(dāng) ↑1時(shí)，有Q （q（0）+∧f e）。

定理3.2（泛函中心極限定理）除以上情況外，在R空間中，當(dāng) ↑1時(shí)，∧f（t）≡t且（t） （0），其中（0）是與到達(dá)服務(wù)過程無關(guān)的非負(fù)實(shí)隨機(jī)變量且P（（0）<∞）=1，則在空間D中，當(dāng) ↑1有 caBa+∧d e， （（0）+caBa+∧d e csBs）。其中Bs是布朗運(yùn)動(dòng)且Bs，Ba與（0）相互獨(dú)立，從而（B為布朗運(yùn)動(dòng)）。

證明：由于在D空間中，當(dāng) ↑1時(shí)有

=（1 ）[N（∧ （（1- ）-2t））-（1- ）-2 t]

=（1- ）[N（∧ （（1- ）-2t））-∧ （（1- ）-2t）+∧ （（1- ）-2t）

-（1- ）-2 t+（1- ）[（1- ）-2 t-（1- ）-2t]

caBa（t）+∧t（t）-t

故有 caBa+∧d-e。又在D空間中，當(dāng) ↑1時(shí)有（1- ）-2∧ （（1- ）-2t） t，應(yīng)用參考文獻(xiàn)[1]中的定理1（a）得 （（0）+caBa+∧d e csBs）。

推論3.1（非刻畫到達(dá)率函數(shù)）如果∧ （t）= ∧（t），那么定理3.2中恒有∧d（t）≡0，t≥0。

證明：由周期過程知：當(dāng) ↑1時(shí)，∧ （（1- ）-2t）-（1- ）-2 t=o（1）；因此，當(dāng) ↑1時(shí)（1- ）[∧ （（1- ）-2t）-（1- ）-2 t]→0，（對(duì)t一致）；從而，定理3.2中恒有∧d（t）≡0，t≥0。

4總結(jié)

本文主要研究 ↑1且服務(wù)臺(tái)數(shù)固定的周期到達(dá)隊(duì)列的高負(fù)荷極限。定理3.1證明了可預(yù)測(cè)確定的可變性這一情況；引理3.1證明了不可預(yù)測(cè)隨機(jī)的可變性這一情況；定理3.2證明了具有上述兩種性質(zhì)的可變性這一復(fù)雜情況。當(dāng)可變性具有兩種形式時(shí)，極限過程相對(duì)復(fù)雜，但這一刻畫可以提供有用的洞察力，有助于我們理解仿真模擬。

參考文獻(xiàn)

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