平面直角坐標系中的對稱

□左效平

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平面直角坐標系中的對稱

□左效平

一、單點的一次性對稱，探求變化后點的坐標

例1（2015·株洲）在平面直角坐標系中，點（－3，2）關于y軸的對稱點的坐標是______.

分析：坐標系中單點的對稱有三種：關于x軸對稱，y軸對稱和原點對稱.對于這類問題的解答，有三種方法：

垂直等距作圖法：

1.過該點向坐標軸引垂線；

2.延長垂線段，使得延長線段的長度等于已知的垂線段的長度；

3.此時端點對應的坐標即為所求.

SHAN Chan-juan, LONG Jun-rui, WU Bi-bo, QIN Xiao, MEI Chang-lin, WANG Jiu-sheng, XIONG Lin-ping

規律法：

兩點關于x軸對稱：橫坐標不變，縱坐標互為相反數；兩點關于y軸對稱：縱坐標不變，橫坐標互為相反數；兩點關于原點對稱：橫坐標與縱坐標均互為相反數.

延長等長法：

1.連接這個點與原點之間的線段；

2.延長線段到新點，使得新點到原點的距離等于所連線段長；

3.新點對應的坐標即為所求.

解：應該填寫的答案是（3，2）.

二、單點的連續對稱，探求變化后點的坐標

例2（2015·南京）在平面直角坐標系中，點A的坐標是（2，－3），作點A關于x軸的對稱點，得到點A′，再作點A′關于y軸的對稱點，得到點A″，則點A″的坐標是（____，___）.

分析：運用規律法，已知點A的坐標是（2，－3），點A′與點A關于x軸對稱，得到A′的坐標為（2，3），由點A″與點A′關于y軸對稱，因此點A″的坐標是（－2，3）.

解：分別填：－2，3.

三、單點關于直線對稱，探求變化后點的坐標

例3（2015·涼山）在平面直角坐標系中，點P（－3，2）關于直線y＝x對稱點的坐標是（）.

A.（－3，－2）B.（3，2）

C.（2，－3）D.（3，－2）

分析：解決本題可用到如下兩個結論：

1.點A（a，b）關于直線y＝x對稱的點是B，則B的坐標為（b，a）.

2.點A（a，b）關于直線y＝－x對稱的點是B，則B的坐標為（－b，－a）.

因為點P與點Q關于y＝x對稱，故點Q的坐標為（2，－3），所以選C.

四、對稱、平移、計算綜合

例4（2015·武漢）如下圖，已知點A（－4，2）、B（－1，－2），平行四邊形ABCD的對角線交于坐標原點O.

（1）請直接寫出點C、D的坐標；

（2）寫出從線段AB到線段CD的變換過程；

（3）直接寫出平行四邊形ABCD的面積.

分析：（1）根據點關于原點的對稱規律寫出C、D坐標；

（2）從平移的角度來說明；

（3）點B、C的縱坐標相同，故BC∥x軸，同理AD∥x軸.BC長度可由點B、C的橫坐標來計算，BC上的高是A、B兩點縱坐標的差.

解：（1）C（4，－2）、D（1，2）；

（2）AB沿著BC平移BC長度得到線段CD；

（3）BC＝4－（－1）＝5，BC上的高為A，B兩點縱坐標的差即2－（－2）＝4，所以平行四邊形ABCD的面積為5×4＝20.

插圖：楊明