認(rèn)知負(fù)荷視閾下小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系的教學(xué)

顧健

孔凡哲教授認(rèn)為：數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)研究的核心內(nèi)容之一。而如何促進(jìn)學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的意義理解？如何溝通看似分散、孤立的數(shù)量關(guān)系并內(nèi)化為結(jié)構(gòu)模型？這些問題都能用認(rèn)知負(fù)荷理論做出很好的解釋。

一、認(rèn)知負(fù)荷的內(nèi)涵詮釋

通常，認(rèn)知負(fù)荷被分為三類：內(nèi)在、外在和關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷。內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷是由學(xué)習(xí)內(nèi)容的難度水平導(dǎo)致的負(fù)荷，如“3+3=”和“3×3+2÷3=”的認(rèn)知難度就不同。外在認(rèn)知負(fù)荷并不是學(xué)習(xí)過程中所必須經(jīng)歷的過程，很多時候是一種無效認(rèn)知負(fù)荷。比如，單純的文字?jǐn)⑹霰取拔淖?圖片”形式帶來更高的認(rèn)知負(fù)荷。關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷則可以幫助學(xué)生自我調(diào)節(jié)、監(jiān)控和分配認(rèn)知資源以完成相應(yīng)認(rèn)知任務(wù)，能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的進(jìn)程。如“3×4”，教材呈現(xiàn)3個4相加和4個3相加，這時我們呈現(xiàn)矩陣模型與數(shù)軸模型，學(xué)生對圖式的建構(gòu)就更為完美。

二、數(shù)量關(guān)系教學(xué)的現(xiàn)狀剖析

1. 類型多樣———兒童相見不相識。

小學(xué)數(shù)量關(guān)系包括簡單、復(fù)合數(shù)量關(guān)系及特殊數(shù)量關(guān)系。其中，復(fù)合數(shù)量關(guān)系是四種基本數(shù)量關(guān)系經(jīng)過交錯組合而成的復(fù)雜數(shù)量關(guān)系，它是一個從簡單到復(fù)雜的變化過程。學(xué)生沒有相應(yīng)的認(rèn)知資源分配策略，就造成認(rèn)知負(fù)荷的產(chǎn)生。

2. 結(jié)構(gòu)復(fù)雜———亂花漸欲迷人眼。

數(shù)量關(guān)系的表述依賴于文字的呈現(xiàn)與組織，文字組織的多樣性使數(shù)量關(guān)系呈現(xiàn)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。例如，①足球有100只，籃球是足球的3倍多13只，籃球有多少只？②足球有100只，足球是籃球的3倍多13只，籃球有多少只？兩種表述對學(xué)生智力的挑戰(zhàn)截然不同，第二種是對第一種的逆向變換，容易造成認(rèn)知負(fù)荷的超載。

三、遵循認(rèn)知負(fù)荷規(guī)律，催生教學(xué)有效策略

認(rèn)知負(fù)荷理論被引入數(shù)量關(guān)系的教學(xué)中最為核心的是把握認(rèn)知負(fù)荷的分類，可以從學(xué)習(xí)材料的結(jié)構(gòu)性、教學(xué)設(shè)計的優(yōu)化等方面有針對性地減少內(nèi)在、外在認(rèn)知負(fù)荷，發(fā)展和完善圖式的構(gòu)建，增加關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷。

（一）重組形式，重構(gòu)教學(xué)，化“負(fù)”為“正”

內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷就其固有本質(zhì)屬性而言，的確難以改變。但是，可以圍繞學(xué)生原有知識經(jīng)驗對其內(nèi)容進(jìn)行形式重組、重構(gòu)。最終，確定合理的內(nèi)容與方式進(jìn)行教學(xué)。

1. 以“形變”為思維路徑，識別“序”的架構(gòu)。

數(shù)量關(guān)系的表述形式是認(rèn)知負(fù)荷產(chǎn)生的主要來源。例如，形式1：讀書節(jié)推薦閱讀《窗邊的小豆豆》，李悅原計劃25天讀完，實際比計劃多用了6天，原計劃每天讀12頁，實際每天讀幾頁？形式2：讀書節(jié)推薦閱讀《窗邊的小豆豆》，李悅原計劃每天讀12頁，25天讀完，實際比計劃多用了6天，實際每天讀幾頁？

很顯然，形式2的信息排列要求先求出總量，再解決每份數(shù)，屬于典型的歸總關(guān)系結(jié)構(gòu)。前兩個信息滿足“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”的基本結(jié)構(gòu)，后兩個信息是“較小量+相差量=較大量”的結(jié)構(gòu)，學(xué)生可以依據(jù)信息順序探尋解決路徑。

2. 以“聯(lián)系”為思維路徑，洞察“聯(lián)”的因果。

學(xué)生原有的知識儲備具有普遍性和特殊性。在相同年齡、相同年級和一定區(qū)域的學(xué)生有著較為相似的心理特征與知識儲備；而對于學(xué)生個體而言，各自又有著獨特的心理規(guī)律與知識背景。

例如，在計算機領(lǐng)域里用min（a，b）來表示a、b兩數(shù)中的較小者，而用max（a，b）來表示a、b兩數(shù)中的較大者，就如min（4，5）=4，max（3，7）=7。請計算：min（2015，10）×max（20？郾15，8）。這道題將簡單的倍數(shù)關(guān)系與定義新運算相結(jié)合，教師可以讓學(xué)生通過自我解釋，暴露知識經(jīng)驗，進(jìn)而找到解決問題的策略。

（二）依托內(nèi)容，優(yōu)化媒介，化“難”為“易”

教學(xué)設(shè)計是造成學(xué)生外在認(rèn)知負(fù)荷的主要原因，學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)、媒體的運用、典型樣例等越符合學(xué)生的認(rèn)知水平，學(xué)生需要分配的注意就越少，外在認(rèn)知負(fù)荷就會相應(yīng)降低。

1. 依托內(nèi)容“改一點”，削弱外在認(rèn)知負(fù)荷。

依托原有問題，更換其中的單個條件，以成系列的方式將同一問題情境以題組形式呈現(xiàn)，可以幫助學(xué)生降低因加工不同問題情境而調(diào)動的認(rèn)知資源。以部總關(guān)系為例，簡單問題是“工人種松樹40棵，種柏樹80棵，種柏樹多少棵？”如果按照相差關(guān)系進(jìn)行變換，把松樹這個條件變換為較小量，即“工人種柏樹80棵，種松樹比柏樹少40棵，種松樹多少棵？”可以通過“較大量-相差量=較小量”獲得結(jié)果；也可以把柏樹這個條件變換為較大量，通過“較小量+相差量=較大量”獲得結(jié)果。這樣的變換可以讓學(xué)生同化數(shù)量關(guān)系間結(jié)構(gòu)，在比較、分析的過程中捕捉條件之間的關(guān)系。

2. 巧借媒介“添一點”，減少外在認(rèn)知負(fù)荷。

在思維過程中，視覺信息和聽覺信息的獲得與加工是分離的，兩種信息的獲取對內(nèi)容理解形成相互補償。小學(xué)生以具象思維為主，單純依靠語言或符號的抽象特征，會使部分認(rèn)知處于閑置狀態(tài)。舉例來說，行程問題數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，日常經(jīng)驗中“同時、相向和相遇”并不具備典型性，但它們又萬變不離其宗。例如，海監(jiān)船51號和海監(jiān)船66號同時從東西兩海域相向而行，海監(jiān)船51號每小時行36海里，海監(jiān)船66號每小時行45海里。兩船在距中點27海里處相遇。兩船出發(fā)地之間相距多少海里？通過設(shè)計動態(tài)直觀的演示課件理解四個要素的發(fā)生、發(fā)展過程，或借助實物輔以操作、體驗，形成豐富的圖文聯(lián)系來彌補生活經(jīng)驗的缺失，這就減輕了學(xué)生的外在認(rèn)知負(fù)荷，騰出更多的認(rèn)知資源建構(gòu)數(shù)量關(guān)系。

（三）整合內(nèi)容，統(tǒng)合結(jié)構(gòu)，化“零”為“整”

在總體認(rèn)知負(fù)荷不超載的情況下，增加關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷有助于學(xué)生提升對數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)與遷移。也就是將簡單的數(shù)量關(guān)系以網(wǎng)狀形式呈現(xiàn)，形成關(guān)聯(lián)豐富圖式，以模塊形式儲存，克服認(rèn)知負(fù)荷限制。

1. 歸納類型，搭建框架，化“點狀”為“網(wǎng)狀”。

數(shù)量關(guān)系的類型化能幫學(xué)生激活原有圖式，進(jìn)一步理解上位的數(shù)量關(guān)系。如在“表內(nèi)乘、除法”的學(xué)習(xí)后，學(xué)生已經(jīng)能識別份總關(guān)系的表達(dá)———總量÷份數(shù)=每份數(shù)，總量÷每份數(shù)=份數(shù)，每份數(shù)×份數(shù)=總量。借助這三者間的關(guān)系，能抽象出一些常見的數(shù)量關(guān)系，如“單價、數(shù)量與總價”“工作時間、工作效率與工作總量”等，而這些數(shù)量關(guān)系的獲得必須經(jīng)歷歸納、提煉的過程，以多元表征的方式儲存于認(rèn)知空間，學(xué)生遇到差異性關(guān)系表達(dá)，就能更為主動、靈活地選擇。

2. 構(gòu)建圖式，類比簡化，化“粗疏”為“精細(xì)”。

康德曾說：“圖式是潛藏在人類心靈深處的一種技巧。”不同圖式的建立有助于學(xué)生把問題的基本結(jié)構(gòu)存儲于大腦，并在不同的情境中加以識別、遷移。儲存和提取的效果越接近自動化水平，占用的認(rèn)知空間就越少。例如，12箱迷你南瓜，每箱24個，一共多少個？數(shù)量關(guān)系簡單，計算12×24時只需要激活兩位數(shù)乘一位數(shù)的圖式。如果學(xué)生借助兩位數(shù)乘一位數(shù)的知識經(jīng)驗解答，就能激活連乘（12×4×6），乘加混合（24×10+24×2）和連加的圖式，得出不同的計算方法，從而縮減識記的數(shù)量單位，減輕記憶負(fù)擔(dān)。

3. 認(rèn)知監(jiān)控，通達(dá)未知，化“被動”為“主動”。

元認(rèn)知是個體對自身認(rèn)知加工過程的意識和控制。元認(rèn)知監(jiān)控不能獨立教學(xué)，它滲透在學(xué)習(xí)的每個過程，只要把握好時機，學(xué)生就能體驗在分析、計劃、反思中尋找和理解數(shù)量關(guān)系的重要性。例如，在2個同樣的大盒和5個同樣的小盒里裝滿球，正好100個。每個大盒比每個小盒多裝8個，每個大盒和小盒各裝多少個？教學(xué)時，教師呈現(xiàn)兩種假設(shè)，雖然方法不同，但是盒子的數(shù)量不變，總和發(fā)生改變，這與倍數(shù)關(guān)系的問題結(jié)構(gòu)不同。這樣的呈現(xiàn)、辨析過程，讓學(xué)生更好地體悟認(rèn)知監(jiān)控的優(yōu)點。

由于認(rèn)知容量有限，學(xué)生在思維過程中很容易因負(fù)擔(dān)過重而產(chǎn)生進(jìn)一步加工信息的瓶頸。教學(xué)中，我們可以分析認(rèn)知負(fù)荷的來源及構(gòu)成，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的認(rèn)知障礙，給出相應(yīng)的策略，從而進(jìn)行有效的教學(xué)與設(shè)計。

（作者單位：江蘇省淮陰師范學(xué)院第一附屬小學(xué) 本專輯責(zé)任編輯：王彬）