數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)立足幾何直觀

徐玉釵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，“幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)”[1]。利用幾何直觀的直觀圖形語(yǔ)言幫助學(xué)生更好地理解抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將形象思維同抽象思維有機(jī)結(jié)合是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、理解概念本質(zhì)十分重要而有效的手段。因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)過(guò)程中，我們應(yīng)立足幾何直觀，形象地揭示知識(shí)的形成過(guò)程，展現(xiàn)知識(shí)的抽象過(guò)程，讓學(xué)生更為深入地理解、領(lǐng)悟概念的內(nèi)涵。本文以人教版三年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)幾分之一”為例，談?wù)勅绾瘟⒆銕缀沃庇^，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵。

一、 直觀感知，形成表象

數(shù)學(xué)概念的引入是學(xué)生形成概念的初始階段，是學(xué)生學(xué)習(xí)概念十分重要的環(huán)節(jié)。小學(xué)生的思維特點(diǎn)以具體形象思維為主，在概念學(xué)習(xí)的初始階段，如教師能為學(xué)生提供實(shí)物、圖形等直觀材料，那么他們就能較輕松地感知概念，從而形成表象。

[片段一]喚起記憶，豐富“平均分”。

一上課，筆者先通過(guò)PPT直觀演示“切蛋糕”的過(guò)程。教師談話(huà)：在日常生活中，我們經(jīng)常要分東西。你看，老師把一個(gè)蛋糕切成兩部分。這兩部分怎樣？（一大一小）如果老師從中間切，這兩部分就（一樣大），象這樣分得的每一份同樣大在數(shù)學(xué)里稱(chēng)為“平均分”。通過(guò)簡(jiǎn)單的對(duì)話(huà)，喚起學(xué)生以前多物平均分的經(jīng)驗(yàn)，直觀認(rèn)識(shí)到“一個(gè)蛋糕從中間切，象這樣分得的每一份同樣大，數(shù)學(xué)上也稱(chēng)平均分”，從而豐富了學(xué)生對(duì)平均分的認(rèn)識(shí)，為后續(xù)認(rèn)識(shí)幾分之一做準(zhǔn)備。利用直觀圖形的動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生迅速直觀感知，達(dá)到事半功倍的效果。

[片段二]兩次分類(lèi)，深化“平均分”。

提供給學(xué)生大量的直觀材料：

教師提問(wèn)：“觀察這些圖形和物體，如果讓你分類(lèi)，你準(zhǔn)備怎么分？”片刻沉默后，學(xué)生顯露激動(dòng)、興奮的眼神：“可以把平均分的分一類(lèi)，沒(méi)有平均分的分為一類(lèi)。”一石激起千層浪，在同學(xué)的互相啟發(fā)下大家眼睛一亮，“可以把（1）、（4）、（6）、（8）分為一類(lèi)，它們都沒(méi)有平均分。”“（2）、（3）、（5）、（7）、（9）、（10）、（11）、（12）分為一類(lèi)，它們都是平均分的。”根據(jù)學(xué)生的回答，筆者利用PPT動(dòng)態(tài)整理了所有圖片，隱去不平均分的，留下所有平均分的直觀材料，再次引導(dǎo)學(xué)生觀察、分類(lèi)，很快學(xué)生整理出如下表格：

立足幾何直觀，筆者抓住分?jǐn)?shù)的本質(zhì)“平均分”，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、辨析、比較中經(jīng)歷了兩次分類(lèi)，讓學(xué)生直觀地感知圖形本身“整體與部分”的關(guān)系，初步形成表象。在這一過(guò)程中，不僅培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)“同中隱藏各自不同”的數(shù)學(xué)眼光，而且還培養(yǎng)了學(xué)生透過(guò)表面現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)其中本質(zhì)的能力。

因此，教學(xué)中應(yīng)選擇那些能充分顯示概念特征的直觀事例，正確引導(dǎo)學(xué)生去觀察和比較，才能使學(xué)生從事例中歸納和概括出它們的本質(zhì)屬性，形成概念。

二、 直觀理解，自主建構(gòu)

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)不是教師把知識(shí)簡(jiǎn)單地傳遞給學(xué)生，而是學(xué)生自己建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程[2]。當(dāng)學(xué)生對(duì)圖形本身“整體與部分”的關(guān)系已有了初步感知后，教師應(yīng)利用這些直觀材料，通過(guò)幾何直觀將分?jǐn)?shù)的形成及具體表示的意義充分表征出來(lái)，從而幫助學(xué)生在直觀理解上自主建構(gòu)分?jǐn)?shù)的意義。

[片段三]引發(fā)沖突，初識(shí)。

當(dāng)學(xué)生有了“平均分”的豐富體驗(yàn)后，筆者通過(guò)PPT動(dòng)態(tài)演示平均分過(guò)程，“一個(gè)蛋糕用1表示，把它平均分成兩份，其中一份還能用1表示嗎？”學(xué)生的認(rèn)知一下子產(chǎn)生了沖突，一個(gè)新的數(shù)之欲出。學(xué)生通過(guò)動(dòng)作、語(yǔ)言多種表征后，對(duì)蛋糕的有了初步的建構(gòu)，并嘗試遷移到三角形的、圓形的、披薩的。筆者不失時(shí)機(jī)追問(wèn)：“ 這些圖形、物體都不同，為什么都能表示？”

觀察這些圖式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了它們的本質(zhì)特征“都是平均分成了兩份，表示出了一份”。圖形是學(xué)生思維的腳手架，分?jǐn)?shù)“整體與部分的關(guān)系”通過(guò)圖形表征，更加直觀而形象。筆者借助幾何直觀，幫助學(xué)生在豐富的直觀實(shí)例與觀察類(lèi)比中，抽象出它們的本質(zhì)，認(rèn)識(shí)、理解的含義。

[片段四]實(shí)踐辨析，深化。

有了前面對(duì)的直觀感知，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)讓學(xué)生動(dòng)手折、涂的操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生用長(zhǎng)方形紙表示出的圖式。當(dāng)展示出來(lái)的圖式涂色各不相同時(shí)，學(xué)生再次產(chǎn)生思維的碰撞：“怎么同樣是這張長(zhǎng)方形紙的，折法不同，涂色部分也不同呢？”

在深入的討論、觀察中，學(xué)生通過(guò)幾何直觀“看圖想事”，發(fā)現(xiàn)了雖然這張長(zhǎng)方形紙折法不同，涂色部分也不同，但都是把這張長(zhǎng)方形紙平均分成兩份，涂其中一份，所以都是它的。接著筆者又設(shè)計(jì)了一個(gè)“老師變”的活動(dòng)。

教師出示錯(cuò)誤的圖式（圖4），頓時(shí)激起學(xué)生糾錯(cuò)的熱情。教師“不平均分”的錯(cuò)誤圖式與學(xué)生“平均分”的正確圖式形成鮮明對(duì)比。利用幾何直觀，“平均分”的分?jǐn)?shù)本質(zhì)更加突顯。接著筆者再出示一個(gè)超大的圖式，貼在黑板上。兩個(gè)大小差異很大的圖式再次激發(fā)學(xué)生的思考和討論：“都是，怎么涂色的部分差別這么大？”學(xué)生利用幾何直觀“看圖說(shuō)事”，在沖突、對(duì)比中主動(dòng)辨析，認(rèn)識(shí)到“不同大小的長(zhǎng)方形”它們的也不同，讓學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵形成更深刻的認(rèn)識(shí)。

數(shù)學(xué)教學(xué)不只限于學(xué)生對(duì)結(jié)果的掌握，更重要的是經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，加深對(duì)知識(shí)的理解。而只有讓學(xué)生做到直觀上的理解，才是真正的理解。

三、 直觀洞察，抽象本質(zhì)

直觀洞察，即觀察、發(fā)現(xiàn)直觀載體的深層意義或內(nèi)在本質(zhì)[3]。當(dāng)學(xué)生直觀理解分?jǐn)?shù)的意義后，教師利用學(xué)生積累的大量分?jǐn)?shù)幾何直觀經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生直觀洞察，抽取分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)，并通過(guò)變式練習(xí)，幫助學(xué)生更加深入地理解分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵。

[片段五] 觀察概括，巧抽象。

當(dāng)學(xué)生擁有了大量的幾分之一圖式的直觀感知后，筆者再把學(xué)生之前已認(rèn)知的、創(chuàng)造的幾分之一圖式集中呈現(xiàn)出來(lái)。觀察后，一位學(xué)生激動(dòng)地說(shuō)：“我發(fā)現(xiàn)這些圖有一個(gè)共同的秘密。”其他同學(xué)睜大眼睛，好奇地觀察，筆者順勢(shì)而導(dǎo)：“觀察這些圖形和分?jǐn)?shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？”他們爭(zhēng)先恐后發(fā)言：“它們都是把一個(gè)圖形平均分成幾份。”“他們都只涂色一份，分?jǐn)?shù)的分子都是1。”“一個(gè)圖形或物體平均分成幾份，其中的一份就是整個(gè)物體的幾分之一。”……討論此起彼伏，學(xué)生有了之前的幾何直觀經(jīng)驗(yàn)的積累，很快透過(guò)直觀載體的表面觀察發(fā)現(xiàn)了幾分之一的本質(zhì)，更加深刻地理解了幾分之一的內(nèi)涵。

兒童學(xué)習(xí)心理學(xué)表明，學(xué)生自己“悟”出的知識(shí)，能更快納入自己的知識(shí)系統(tǒng)。因此，在數(shù)學(xué)概念的抽象與變式中，教師有意識(shí)地給予學(xué)生直觀洞察的機(jī)會(huì)，更能深刻理解概念的本質(zhì)與內(nèi)涵。

四、 直觀想象，創(chuàng)造拓展

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念掌握得好不好，往往通過(guò)鞏固與應(yīng)用練習(xí)來(lái)檢驗(yàn)。因此，概念練習(xí)的設(shè)計(jì)很關(guān)鍵。如果教師能立足幾何直觀，設(shè)計(jì)開(kāi)放的，能引發(fā)學(xué)生聯(lián)想、想象的練習(xí)，就可以讓學(xué)生借助直觀想象，提高思維的靈活性和深刻性，進(jìn)而更準(zhǔn)確地理解概念的本質(zhì)與內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)，提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維的能力。

[片段六] 看圖聯(lián)想，試創(chuàng)造。

在基本練習(xí)過(guò)后，筆者設(shè)計(jì)了一道“看圖片，聯(lián)想幾分之一”的問(wèn)題，如圖5。

教師引導(dǎo)：“其實(shí)生活中處處藏著有趣的分?jǐn)?shù)，從圖片中，你聯(lián)想到幾分之一？”一分鐘的沉默后，教室里頓時(shí)活躍了起來(lái)，筆者仿佛看到學(xué)生思維的火花在跳動(dòng)，學(xué)生看圖聯(lián)想：……一個(gè)個(gè)分?jǐn)?shù)迸發(fā)而出。可見(jiàn)，直觀想象發(fā)揮著強(qiáng)大的力量。

[片段七] 直觀想象，拓思維。

在最后的變式拓展中，筆者設(shè)計(jì)了一道問(wèn)題：涂色部分是整體的幾分之一？如圖6。

這顛覆了學(xué)生原來(lái)的看法，教室里出現(xiàn)了質(zhì)疑聲：“這兩個(gè)圖形都沒(méi)有平均分，哪能用分?jǐn)?shù)表示？”教師故作吃驚：“哦，看來(lái)題目錯(cuò)了。”這時(shí)，同學(xué)們又產(chǎn)生了不同的聲音：“老師，我覺(jué)得沒(méi)出錯(cuò)。”兩分鐘的思考后，教室里展開(kāi)了一場(chǎng)激烈的討論。學(xué)生借助幾何直觀，通過(guò)轉(zhuǎn)化、移動(dòng)，變“不平均分”為“平均分”，從而得出結(jié)果。在這一過(guò)程中，學(xué)生的思維跳出原來(lái)的定勢(shì)，轉(zhuǎn)向更高級(jí)、更抽象的空間形式，學(xué)生體驗(yàn)到直觀想象的神奇與作用。

幾何直觀能將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，運(yùn)用幾何直觀進(jìn)行概念教學(xué)正好適應(yīng)小學(xué)生的思維特點(diǎn)，能夠幫助他們理解和接受抽象的概念，更深刻地理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，積累學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 李維東.皮亞杰的建構(gòu)主義認(rèn)知理論[J].中國(guó)教育技術(shù)裝備，2009（6）.

[3] 曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實(shí)踐解讀之四——幾何直觀[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2013（7、8）.

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】