數學對象的實在性辨析

朱福勝

摘要：數學對象往往具有兩重性，既是現實內容的反映，又具有充分的構造性。自從有了數學，就有對數學對象性質的不同認識。無窮集合的客觀性、連續統假設的獨立性、數學思維的自由性等問題對傳統的數學實在論提出了嚴峻挑戰。數學實在論的發展遵循不同的方式途徑，表現在淡化本體論、注重實用主義，強調概念構造等不同思維立場上。

關鍵詞：數學哲學；實在論；數學對象

doi：10.16083/j.cnki.1671——1580.2016.07.021

中圖分類號：O1-0 文獻標識碼：A 文章編號：1671—1580（2016）07—0085—04

對數學本體論的討論，通常是一個數學哲學理論的起點，也是其整個理論的焦點。關于數學的本質，每個數學家、哲學家由于其研究經歷及視角的不同，都可能對數學給出不同的解釋。隨著時代的進步和數學的發展，我們不宜固守在某種關于數學的觀點，而應實事求是地去分析和評價各種不同的理論觀點，并隨著數學自身的發展以及內涵的日益豐富去我們拓展的認識。

一、數學對象實在論問題的由來

數學對象的存在性問題可以具體地表述為：數學概念是否反映客觀的真實存在？數學概念與客觀實體的關系如何？數學概念是否獨立于客觀實體之外？數學對象具有怎樣的性質？如何來正確理解數學對象的存在？

在數學萌芽時期的原始社會，數學的研究對象是名數。數學的研究對象往往是源于客觀實體的，數總是與某種實在的東西（如手指、貝殼）相聯系，而不是僅僅被抽象地想象。正如布留爾所言：“在古代原始人的視角中，數的應用總是或多或少與被計數的實體聯系著。在群體的思維表象中，數學以及數的名稱與其說它們是算術的單位，還不如說數是一種神秘的實體存在。”

人類經過漫長的認識發展，才使數脫離具體事物，成為純粹抽象的概念。在相當長的時期內，人們總是把數學對象看作像真實的東西那樣。例如，畢達哥拉斯學派強調，宇宙的本質是數學對象，一是數學的源泉，一生二，再由一、二生出各種數字，各種數字結合空間圖形再衍生出點、線、面、體等。由此可以得出可感事物是由數構成的，數成為萬物的基礎，數學對象獨立存在于可感知的事物之中。

古希臘哲學家柏拉圖相信數學對象存在于“理念世界”，它是一種獨立于人類思維的存在。亞里士多德批判了畢達哥拉斯學派和柏拉圖關于數學對象獨立存在的觀點。他認為，一不是普遍的事物存在形式，它僅僅是一種計量單位，一與二，一與其它數字之間僅是一種關系、一種屬性；數學對象只是一種抽象的可能性。數學對象并不表示真實的存在，數學對象抽象地存在于具體事物之中，它們恰恰僅僅是數學家抽象思維的產物，即是一種思維抽象的可能性，一個定義僅僅是讓我們明白對象的外延和內涵，但這不能成為它存在的證據。例如，三等分的任意角、正十面體，這些概念都可以有明確的定義，但它們都是不存在的，所以定義了的東西是否存在有待于證明。亞里士多德的觀點“使人們開始認識到抽象和具體的關系，使人類思想史前進了一步”。

其實，亞里士多德和柏拉圖在數學本體論上的爭論主要是圍繞“數學對象如何存在的問題”，即數學對象存在于實體中，還是一種與客觀事物分離、在客觀事物以外的獨立存在？這個問題涉及到“一般”或“共相”的實在性問題，這也引起了中世紀歐洲實在論與唯名論的長期斗爭。實在論者斷言，共相是一種真實的存在，而且只有在共相存在的基礎上，才有個體的存在；唯名論者則認為只有個別的、具體的事物才是客觀存在的。

盡管數學的本體論問題早就引起了哲學家們的興趣，但是，在16世紀以前，數學家對此并沒有給予真正的關注，“在當時的數學家們看來，他們無須為數學的本體論問題‘操心，因為，數學命題所具有的明顯的客觀意義及其絕對真理性已經充分保證了他們的工作的意義。”隨著數學自身的發展，情況逐漸發生了變化，許多數學概念和對象仿佛只是思維“自由想象”的產物，與客觀現實并無直接的聯系。對于這種發展M·克萊因曾這樣予以描述：“數學家們無意中逐漸引進了一些沒有或很少有直接物理意義的概念，其中負數和復數是最令人費解的，因為這兩種數在自然界中沒有‘實在性……則迫使人們認識到數學的人為性。”這種對于新的數學對象的合理性和客觀實在性的懷疑導致了關于數學對象的本體論問題的進一步研究。

二、現代數學實在論的困境

數學實在論相信數學對象獨立于人類的思維，它是一種獨立的存在。這種觀念在一定意義上可以看成柏拉圖的哲學思想及中世紀的實在論觀念的延續。確信數學概念、數學世界獨立于思維而存在是數學實在論觀念的核心。實在論由于其本身的不徹底性，無法充分解釋數學對象的存在形式、存在性質，因此也就無法正確分析數學對象的客觀意義。19世紀末，數學在超窮數理論的進展促使康托爾站在實無窮的立場上，遠離數學和哲學上關于數學對象的傳統觀點，從而引起了數學家、哲學家的廣泛關注，康托爾的數學工作對哲學視角的影響恐怕遠超越其對數學領域的影響。圍繞著如何認識超窮數及其方法的問題，數學實在論遇到了前所未有的挑戰。

從無窮集合的認識角度看，實在論者往往對無窮集合的客觀存在性持肯定的態度，在他們看來，假設我們確信數學對象具有客觀實在性，那么我們借助數學概念、數學對象進行思維就是理所當然的事情，于是我們就有理由相信數學是早已客觀存在著，數學的存在等待著數學家去還原、去發現。相反的，形式主義者對實無窮概念的實在性問題持完全否定的態度。他們認為，無論何處，無論何時，無限都是不可能實現的，我們無法想象自然界中存在無限，無限也無法成為人類進行合理思維的可靠基礎。柯亨說：“我相信任何實在論者都會承認的一個弱點是，他沒有能力說明象更高的無窮公理這樣無窮無盡的序列的根源。當考慮一個充分不可達的基數時，甚至連最堅定的實在論者也一定會退卻的。”事實上，數學對象、數學概念本身就具有兩重性，一方面它是人類抽象思維的結果，具有相對的獨立性，另一方面，它又包含一定的客觀內容，體現人類思維對外部客觀世界的間接能動反映。“數學概念是理想的、抽象的完美事物，在現實中不存在那樣的客觀事物，同樣的，實無限包含有無限多元素，這在現實經驗中也是無法理解的，它恰恰是一種構造的理想物，反映了某種客觀實在關系而已。”

同時，從無窮基數的認識性質上看，連續統假設的獨立性證明是對實在論的有力駁斥。因為，按照實在論的觀點，實數系那樣的對象是一種獨立于我們認識的客觀存在，因此它們的基數是有客觀標準的，即是多大就是多大，而不能是任意的，從而連續統假設也就必然或者為真、或者為假。然而，由于連續統假設的不可判定性，這就允許有各種體系的集合論，在不同體系中連續統的基數是各不相同的。顯然，基于這樣的理解，連續統問題就不具有任何客觀意義。相反地，實在論者指出，連續統假設獨立性的結論并不能成為實在論錯誤的依據。例如，哥德爾認為，這一結果“決不意味著問題的解決，……而只是意味著這些公理系統沒有包括那個實在的完備的描述”。因此，哥德爾認為我們就應進一步去發展集合理論，而在足夠發展了的集合論理論中，連續統問題就是可以判定的了。

在另一理論立場上，反實在論也給現代實在論帶來了較大的沖擊。反實在論觀點的主要優越性就在于它能容納各種“自由”的創造。按照反實在論的觀點，數學的研究對象就是形式理論，它既與客觀實際無關，也不必具有直覺上的“可信性”，因此，數學家們就可任意地去研究各種可能的形式理論；而如果接受了實在論的觀點，那么我們只能認識，而不能創造數學對象，因為數學對象是先于數學活動而存在的，數學家的工作僅僅是發現數學對象，而不是去創造數學結構、數學對象，但這勢必造成對創造性思想的壓制。“數學在它自身的發展中完全是自由的，對它的概念的限制只在于：必須是無矛盾的并且和先前由確切定義引進的概念相協調……數學的本質就在于它的自由。”數學思維的自由性表現在數學的對象是由數學家按“明確的定義”得到“形式的建構”，如虛數的引入、四元數的創立等。數學史表明：由于解方程過程中出現了負數開平方的問題，由于在實數領域內負數沒有平方根，于是就形式定義虛數單位i。更有甚者，即使對同一數學對象，不同的數學家則完全有可能采取不同的建構形式，如集合論的公理系統，就有ZF系統、BG系統、NF系統和ML系統。從數學史的角度，概念的自由性表現在不斷地從根本上擴展它的對象，上升到更高的抽象層次。例如，《幾何原本》的幾何對象點、線、面具有較明顯的直觀意義，而在《幾何基礎》里，雖然沿用歐幾里得的術語，但這三個基本概念既沒有定義，也沒有作直觀的解釋，是“任意的對象”，它們只與所選擇的公理有關，在希爾伯特看來，歐幾里得關于點、線、面的定義，在數學上并不重要，這種觀點充分體現了數學思維和數學構造的自由性。

三、數學實在論的嬗變與超越

由上分析可以看出，隨著數學研究的不斷深入和抽象程度的提高，許多數學對象并不具有直觀背景，數學不僅研究現實的數量以及數學關系，而且研究“構造的”、“可能的”數量及其數學關系。由于實在論本身的局限性，數學實在論受到相當的挑戰，這就迫使人們摒棄傳統的視野，去尋求新的理解和突破，研究者從不同了思路提出了各自的思維策略和解決方案。

（一）淡化本體論的立場

20世紀初，數學哲學理論出現了不重視本體論問題研究的傾向，如以數學基礎研究為中心的數學哲學理論，不論是邏輯主義、形式主義還是直覺主義，其出發點都是要為已有的數學理論奠定一個基本的、統一的、可靠的基礎，其著眼點在于對數學知識的邏輯結構分析。由于數學基礎研究各個學派的研究規劃均未能獲得成功，況且，哥德爾不完備性定理的出現更是徹底擊潰邏輯主義、形式主義的構想，這也意味著數學基礎研究黃金時代的褪去。

淡化本體論研究的更為極端的表現是在數學對象的實在性問題上采取反本體論的立場。反本體論，簡單地說，就是認為本體論問題是毫無意義的，或者說很難形成關于本體論的科學認識。例如，卡爾納普應用語義學觀點闡述了抽象數學對象的存在性問題并表明其反本體論的觀點。“對我個人來說，維特根斯坦可能是除羅素和弗雷格以外對我的哲學思考影響最大的哲學家。我從他的著作中所獲得的最重要的觀點是：邏輯陳述的真理性僅僅依據其邏輯的結構和詞語本身的意義。”他強調，當我們認為數學對象是存在的，這只有當它相對于其所歸屬的數學系統才有其存在的意義。如果我們考慮更為根本的、先于數學系統的存在依據，那么由于這類問題不具有認識的指向性及認識的內容，因此這類問題是一種假問題，也是沒有任何意義的。為了進一步說明他的觀點，卡爾納普區分了兩種不同的存在性問題。他認為，當人們談到一種新的數學對象時，他自然地借助一種新的話語系統，引入一種新的說話邏輯，這也同時給新的數學研究對象提供了討論范疇及其語言框架。基于這個語言框架，我們可以很好地區分兩種不同的存在：一方面，在這個范疇體系及語言框架內對象存在性的問題，我們暫且稱之為內部問題；又一方面，作為一個整體的范疇體系、語言框架的存在性問題，我們把它看作是外部問題。內部存在性只是表明對象相對于語言結構的存在性，因此它就不是一種真正意義上的本體論問題。外部存在性問題，它是不可能解決的，因為它主要取決于是否接受一種新的語言形式的問題，而無法被判定為真或假，而只能判定它的便利和有用的程度。

（二）實用主義的立場

實用主義作為現當代西方的一種重要哲學流派，對數學哲學也有很大的影響。在本體論的選擇問題上，數學哲學家奎因的判別標準則顯然站在實用主義的立場上。在奎因看來，數學本體論問題其出發點在于為數學提供一種簡便的、可能的語言系統和概念框架，如果依此原則，數學在本體論問題上就不適宜將數學對象是否與客觀事物相符合作為數學對象取舍的標準，而應探討是否方便可行，并將它作為標準。存在并不是完全無條件的，存在總是在一定的時空及語境中，況且不是所有的抽象對象都是合理的，也不見得都是存在的，例如當我們考慮數、函數與集合、關系的相互作用時，我們可以看到，具體對象依附于集合，當數、函數只有被解釋為集合中的關系或屬性時，它們才具有關系意義，這樣的抽象存在也才具有意義。

普特南在奎因工作的基礎上，發展了“不可或缺性論證”理論。概括地說，“不可或缺性論證”假設數學概念、數學世界對于科學而言是必須的，科學在現實世界的成功實踐也同樣確證了數學對象的假設。“不可或缺性論證”的推理邏輯為：首先，實分析訴諸于抽象實體“實數”，如果我們接受了實分析公理的真理性，承認這些抽象實體的存在性就是不言而喻的，由于實分析系統對于物理學而言是不可或缺的，換句話說，沒有借助實分析的語言系統，現代物理學的創立就只是一種空中樓閣。那么，我們基于物理學的真理性確信實數系統的真理性，從而實數是存在的。

（三）概念構造的立場

概念論在數學對象的客觀性問題上，是與直覺主義一脈相承的，只不過是更精制罷了。直覺主義認為數學是一種個體的創造性活動，是人類心智的固有特性，它僅僅是個體的主觀心智活動，并不是尋求對外部客觀實在的描述。在直覺主義者看來，只有建立在“數學直覺”之上的數學才是可靠的，“存在必須等于被構造”。

概念論者認為：數學對象作為抽象實體是存在的。但是，這種存在是有條件的，它只存在于思想之中，而不存在于客觀世界，正如薩普所說：“我們并不否定實在的或實際的抽象對象的存在……但是，我們關于這些實際的抽象對象采取一種有限論的或心靈主義的觀點”。雖然概念論也承認數學中的少數概念具有完全實體性的存在，不過，在概念論看來，“數學對象”沒有獨立的或超出概念之外的存在，參照它們只是談論概念的一種方式。概念論的這種態度表明它的重心在于厘清數學自身的本質，并不試圖尋求回答更大范圍內的哲學問題，這與直覺主義的觀點是一脈相承的，他們的任務就是理解數學，不需要作過多哲學的解釋。當然，概念論的有些看法也是比較極端的，如認為概念是純粹心靈的，構造不需要語言，這是不合理的，也不符合數學概念自身的創造過程。

[責任編輯：韓璐]