勾股定理在“數(shù)形結(jié)合”中的巧妙運(yùn)用

黃鄭

【摘 要】勾股定理是幾何中一個(gè)重要的定理，它揭示了直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，它可以解決許多直角三角形中的計(jì)算問(wèn)題，是解直角三角形的主要依據(jù)之一。教師在授課中應(yīng)選取典型例題進(jìn)行講解，灌輸“數(shù)形結(jié)合”的思想，提高學(xué)生對(duì)定理的理解和綜合運(yùn)用。

【關(guān)鍵詞】勾股定理；直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系；“數(shù)形結(jié)合”

勾股定理是描述直角三角形三邊特殊關(guān)系的重要定理，其內(nèi)容是在任意直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。在研究與直角三角形三條邊長(zhǎng)有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，勾股定理都有著重要的應(yīng)用。教師在講述《勾股定理》的內(nèi)容時(shí)，要精選例題，結(jié)合實(shí)際圖形分析講解，培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖分析能力和“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，提升綜合應(yīng)用能力。

有這樣一道題目：如圖，在△ABC中，BC=4，AC=5，AB=7，求△ABC的面積。

這道題目不能直接用三角形的面積公式來(lái)求解，而是要運(yùn)用與“勾股定理”相關(guān)的知識(shí)以及添加輔助線的方法進(jìn)行解答。其解決思路是：過(guò)點(diǎn)C作AB邊上的垂線，垂足為點(diǎn)D（如圖1所示），于是就把原三角形分成兩個(gè)直角三角形，分別是Rt△ACD和Rt△BCD，它們有公共的直角邊CD，斜邊分別是AC和BC，運(yùn)用勾股定理可以得出：

AD2+CD2=AC2，BD2+CD2=BC2，所以CD2=AC2-AD2，CD2=BC2-BD2，于是得出AC2-AD2=BC2-BD2；設(shè)AD的長(zhǎng)為x，則BD的長(zhǎng)為7-x，而AC=5，BC=4，代入上述的結(jié)論中可得出方程：52-x2=42-（7-x）2，解方程得出x=，再在Rt△ACD中運(yùn)用“勾股定理”就可求出CD的長(zhǎng)（也可在Rt△BCD中運(yùn)用“勾股定理”求出CD的長(zhǎng)），這樣在△ABC中，應(yīng)用三角形的面積公式就可求出原三角形的面積了。

此題也可以作AC或BC邊上的高，方法與上述解法類似。在講解過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析本題圖形存在的不同情況，培養(yǎng)學(xué)生“分類討論”的思想，即當(dāng)三角形變?yōu)殁g角三角形時(shí)，如圖2，若作BC邊上的高AD，此時(shí)形成的兩個(gè)直角三角形是Rt△ACD和Rt△ABD，它們公共的直角邊是AD，斜邊分別是AC和AB，運(yùn)用勾股定理并轉(zhuǎn)換之后得出的等式是AC2-CD2=AB2-BD2，此時(shí)可設(shè)CD的長(zhǎng)為x，則BD的長(zhǎng)為x+4，于是得出方程52-x2=72-（x+4）2，解方程得出x=1，再在Rt△ACD或Rt△ABD中，運(yùn)用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，再求原三角形的面積。

通過(guò)上述問(wèn)題的分析與解答，不難看出“勾股定理”的運(yùn)用與方程有著十分緊密的聯(lián)系，很多幾何圖形的計(jì)算問(wèn)題都可以通過(guò)設(shè)未知數(shù)，建立方程來(lái)求解，因此，教師在講解勾股定理在“數(shù)形結(jié)合”中的運(yùn)用時(shí)還要有意識(shí)地向?qū)W生灌輸“數(shù)學(xué)建模”的思想。

教材中有一道例題：如圖，一架長(zhǎng)2.6米的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO為2.4米；如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，那么梯子的底端B也外移0.5米嗎？

很多學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為A點(diǎn)下滑的長(zhǎng)度與B點(diǎn)外移的長(zhǎng)度是相等的，這是認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)。本題的關(guān)鍵是要通過(guò)計(jì)算求出線段BD的長(zhǎng)度，與線段AC的長(zhǎng)度比較才能得出結(jié)論；而要求線段BD的長(zhǎng)度，就要先運(yùn)用勾股定理求出線段OD、OB的長(zhǎng)度。因此，在指導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖分析時(shí)，要理清條件之間的關(guān)系和求解的步驟，要讓學(xué)生明確題目的解答思路，才能取得較好的學(xué)習(xí)效果。

本題的解答思路是：先在Rt△ABO中運(yùn)用勾股定理直接求出線段OB的長(zhǎng)度；由梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，求出線段CO的長(zhǎng)；再在Rt△CDO中運(yùn)用勾股定理求出線段OD的長(zhǎng)度，最后用OD減去OB就求出BD的長(zhǎng)，再與AC的長(zhǎng)比較，得出問(wèn)題的答案。

在教材中有一道題目：如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上；求證：AE2+AD2=2AC2。

這道題目要求證的結(jié)論中的三條線段AE、AD、AC沒(méi)有直接的關(guān)系，因此要通過(guò)（相等）線段的轉(zhuǎn)換，在同一個(gè)直角三角形中運(yùn)用勾股定理才能找到關(guān)系，得出結(jié)論。其解題思路是：有條件可知AC=BC，所以2AC2可以轉(zhuǎn)換為AC2+BC2，而在Rt△ACB中AC2+BC2=AB2，所以2AC2=AB2，這里用到了數(shù)學(xué)中的“轉(zhuǎn)換思想”；而本題的難點(diǎn)在于要連接BD，如圖3所示，于是運(yùn)用已知條件可以得出一組全等的三角形△ACE和△BCD，從而就可以把線段AE轉(zhuǎn)換為線段BD，同時(shí)得出∠BDC=45°，因?yàn)椤螦DC也等于45°，所以∠ADB=90°，這樣AE、AD兩條線段就轉(zhuǎn)換為直角三角形ADB的兩條直角邊BD和AD，于是運(yùn)用勾股定理可得出BD2+AD2=AB2，所以AE2+AD2=BD2+AD2=AB2=2AC2。

這道題目的難易度屬于中等偏難的程度，教師在授課過(guò)程中要注重引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形去觀察、分析和猜想，理清思路，發(fā)現(xiàn)題目中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，以及條件和所求問(wèn)題之間的相互聯(lián)系，提升學(xué)生對(duì)“數(shù)形結(jié)合”思想的理解和應(yīng)用。

“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)中常用的、重要的思想方法之一，華羅庚教授就曾指出：“數(shù)缺形時(shí)少知覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微”，勾股定理在“數(shù)形結(jié)合”中的運(yùn)用只是“數(shù)形結(jié)合”這一思想方法的一個(gè)方面的體現(xiàn)。我們?cè)谘芯繋缀螆D形中的數(shù)量關(guān)系時(shí)，一定要結(jié)合圖形直觀地去探索和研究，不能空洞地思考；反之，幾何圖形中又蘊(yùn)含了與其緊密聯(lián)系的數(shù)量關(guān)系，很多圖形的問(wèn)題，往往又要用到代數(shù)的相關(guān)知識(shí)去求解。因此，在教學(xué)過(guò)程中，要辯證地看待“數(shù)”和“形”之間的關(guān)系，把二者有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，幫助學(xué)生正確養(yǎng)成“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的識(shí)圖分析能力、邏輯推理能力和綜合解題能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]摘自《人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)教師教學(xué)用書》.中《勾股定理》.一章的教材分析