從浙江省2016年高考樣卷理科數學第15題感悟“最值定義”的魅力

胡尤

【摘 要】數學作為理科哲學，數學定義的魅力光環使得數學在嚴謹、科學、概括上較其他學科更加閃亮。本文通過浙江省2016年高考樣卷理科數學第15題的解題策略感悟“最值定義”在具體解題中的功能，從而進一步呈現數學定義的魅力。

【關鍵詞】最值定義；放縮法

案例1：浙江省2016年高考樣卷理科數學第15題：

已知函數 ， ，且 .記 為|f（x）|在[0，1]上的最大值，則 的最大值是 .

一、此題的分析與釋疑

1.常規思路分析

①結合二次函數圖像，當 時，|f（x）|的最大值會在 中取得；當 ，|f（x）|的最大值會在|f（0）|、|f（1）|中取得。

②若動對稱軸分類討論，需分 在（-∞，0]，（0， ]，（ ，1]，（1，+∞）四個區間分四類討論，且每一類討論中還有兩種最大值的取得情況，這勢必給解題時間上和運算上帶來極大的困難。因此，我們需要另辟視角來解決這個問題。

2.放縮法求解過程

記M=M（a，b，c），則f（0）≤|f（0）|≤M，f（1）≤|f（1）|≤M，則

。

當f（0）=f（1）=M時取到最大值2。

3.放縮法求解過程中的疑難點

①為什么要把分母湊成“f（0）+f（1）”的倍數。因為我們需要的最值是一個常數，所以分子和分母必須成倍數方可。同時，若能夠證明 就意味著 的每一個取值都不大于C，所以只需C可以取到，它就是最大值。

② 一定會成立嗎？由上文的解答過程可知，要使放縮中等號同時不僅要滿足f（0）=f（1）=|f（0）|=|f（1）|，更重要的是要滿足f（0）或f（1）就是最大值，而此時在區間 在區間[0，1]中，因此要使等號取到，只需滿足 。結合二次函數圖像，這種情況是完全可以取到的，如下圖：

我們不妨取 即可。

回歸教材

總結本題的解題過程，可以分解為兩個步驟：

①先利用放縮給出一個閉區間范圍；

②驗證“=”成立的可能性。

其實這就是不等式求最值的步驟，它遵循的是最大值定義的內涵，就是必修一教材《函數的基本性質》中有一段對最大值含義的描述：

一般地，設函數y=f（x）的定義域為I，如果存在實數M滿足：

（1）對任意的x∈I，都有f（x）≤M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M。

那么，我們稱M是函數y=f（x）的最大值。

數學題目往往都會“出課本”，但它卻又“出于課本”。對最大值定義的充分理解，無疑會給我們的解題帶來精神和智力上的動力。無獨有偶，我們再從高考和自主招生試題中去感悟最值定義的魅力。

二、拓展與延伸

案例2：2009年北京大學自主招生題

已知對任意實數x，均有acosx+bcos2x≥-1恒成立，求a+b的最大值。

分析：①先給出一個a+b閉區間范圍

要求a+b的最大值，自然想到使cosx=

cos2x=2cos2x-1，解得 ，于是有a+b≤2。

②驗證a+b=2可成立

因a=b-2，所以只需（2-b）cosx+bcos2x=

2bcos2x+（2-b）cosx-b≥-1恒成立，即2bcos2x+

（2-b）cosx-b+1≥0恒成立。

當 ，即 ，從而 時，既滿足a+b=2，又符合題意中的條件。

由以上兩點可知a+b的最大值為2。

以上題目是對“最值定義”在求值應用中的魅力呈現，有時候，也會直接考查對定義的理解，如2015年浙江省高考理科卷第15題：

已知 是空間單位向量， ，若空間向量 滿足 ，且對任意 ， ，則x0= ，y0= ，|b|= .（答案： ）

題意理解：根據最小值定義，求當 ，取得最小值1時 的取值。如果有些學生不理解這層意思，解題策略會捉摸不定，題目也會難以入手。因此，對最值定義的準確理解，不僅幫助我們解題，更是帶領我們“入題”。

數學定義是所有學科中最為準確與嚴謹的定義。學生對“最大值”的認知往往停留在“所有數值中的最大者”，卻往往忽略了更為嚴謹、科學的數學定義。前者所對應的解決策略一般為函數法求最值，而后者對應的策略就更為廣泛。因此，對知識點定義的理解不同會形成對相應問題不同的理解與策略。

以上論述也很好的佐證了定義就是數學的本源。這要求我們在日常解題教學中，應該重視數學定義的多角度理解，努力挖掘數學的本源，讓學生在解題中去領悟數學這門理科哲學的魅力。