大學(xué)數(shù)學(xué)試題庫建設(shè)的相對難度

毛學(xué)志　崔瑜　高瑞平

[摘要]在大學(xué)數(shù)學(xué)試題庫建設(shè)中，一個核心的問題是確定試題的難度屬性。以考生的答對率或得分率來表示試題難度具有一定的理論意義，但在試題庫建設(shè)中的可操作性不強(qiáng)。本文從考慮影響試題難度的幾個因素入手，對相對難度進(jìn)行了闡述，在實(shí)際操作中提供了可借鑒的意義。

[關(guān)鍵詞]大學(xué)數(shù)學(xué)；試題庫；相對難度

[基金項(xiàng)目]河北省高等教育教學(xué)改革研究與實(shí)踐項(xiàng)目（2015GJJG129）；河北科技師范學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目（JYZB201406，JYYB201404，JYTK201503）；河北科技師范學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目。

大學(xué)數(shù)學(xué)是高等教育中非數(shù)學(xué)類專業(yè)深入學(xué)習(xí)專業(yè)知識必備的基礎(chǔ)課程，其重要地位要求我們必須不斷提升教學(xué)質(zhì)量。建設(shè)與培養(yǎng)目標(biāo)相適應(yīng)的試題庫、實(shí)現(xiàn)教考分離是提升高等院校教學(xué)質(zhì)量的一個重要組成部分。

在試題庫建設(shè)過程中，通常要設(shè)置試題的題型、難度以及關(guān)鍵字等各種屬性，其中試題的難度屬性不僅反映試題對學(xué)生知識和能力水平相適應(yīng)的程度，同時也是在組卷策略中需要考慮的重要指標(biāo)，是決定試卷質(zhì)量的決定性因素之一。因此，確定試題的難度系數(shù)是試題庫建設(shè)的核心問題，是進(jìn)行科學(xué)合理組卷的基礎(chǔ)。

一、試題難度及難度級別

通常以考生的答對率或得分率來表示試題難度，具體有以下情況：

（1）對于分?jǐn)?shù)為二分變量的判斷題或選擇題，答案正確得滿分，答案錯誤不得分，此時試題的難度P=RN，期中R為答案正確的人數(shù)，N為參加考試的總?cè)藬?shù)；

（2）對于分?jǐn)?shù)為多分值的解答題、計(jì)算題或證明題，試題難度P=X（其中X-為全體應(yīng)試者的平均得分，X為該題的滿分值）。

可以看出，試題難度P的取值范圍是0≤P≤1。P的取值越小，表明該題答對的人數(shù)越少，或該題的平均得分越低，則該題越難；反之，P的取值越大，表明該題答對的人數(shù)越多，或該題的平均得分越高，則該題越容易。

在試題庫建設(shè)中，試題難度如果采用上述定量計(jì)量往往不易操作，因而更多多采用定性計(jì)量，如把試題難度設(shè)為簡單、中等、難三個級別，則可按表1進(jìn)行難度值與難度級別的轉(zhuǎn)換。

上述方法難度值可精確確定，具有一定的理論意義，但由于這種方法需在考試后確定，在試題庫建設(shè)中的可操作性不強(qiáng)。本文從分析影響試題難度的幾個主要因素入手，提出在試題庫建設(shè)中對試題相對難度進(jìn)行預(yù)設(shè)的方法。

二、相對難度的設(shè)定

大學(xué)數(shù)學(xué)考試是達(dá)標(biāo)性考試，試題要符合大綱要求，考查的知識點(diǎn)要全面，同時各知識點(diǎn)考查的的起點(diǎn)不應(yīng)過高，應(yīng)以課程教學(xué)的基本要求為起點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，考慮影響試題難度的主要因素，從而對試題的相對難度加以區(qū)分。影響試題難度的因素很多，本文主要就知識點(diǎn)個數(shù)、試題解答的復(fù)雜程度、學(xué)生熟悉程度以及試題表達(dá)等方面加以闡述。

1。試題所含知識點(diǎn)的個數(shù)及思維跨度對難度的影響

一般說來，所含知識點(diǎn)越多，試題越難，只含有1個知識點(diǎn)的試題屬于簡單級別；含有2至3個知識點(diǎn)且思維跨度較小的試題屬于中等級別；含知識點(diǎn)的個數(shù)大于3個并且跨度較大的試題級別為難。比如下面三題

試題1：設(shè)A、B為兩個事件，且P（A）=0。4，P（B）=0。5，P（AB）=0。25，則P（A∪B）=；

試題2：設(shè)A、B為兩個事件，且P（A）=0。4，P（A∪B）=0。7，若A與B相互獨(dú)立，則P（B）=；

試題3：設(shè)A、B、C為三個事件，已知P（A）=0。6，P（C）=0。2，P（AC）=0。1，P（B|C-）=0。7，且AB。求P（A∪B-|C-）=。

試題1主要包含廣義加法公式1個知識點(diǎn)，屬于直接思維模式，可定為簡單級別；試題2主要包含廣義加法公式和事件相互獨(dú)立的概念2個知識點(diǎn)，思維上有一定的跨度但不大，可定為中等難度；試題3從題干上看主要包含條件概率、對立事件的概率、事件的關(guān)系和運(yùn)算以及廣義加法公式等4個知識點(diǎn)，且思維跨度較大，綜合性較強(qiáng)，因而難度級別可定為難。

2。試題解答過程的復(fù)雜程度對難度的影響

同一個知識點(diǎn)，計(jì)算量大小不同，解答過程的繁雜程度不同，都會影響試題的難度。如

試題4：用初等變換法求下列矩陣的逆矩陣。

（1）124012002；（2）1-10122-121；（3）2-31522743。

用初等變換法求矩陣A的逆矩陣的思維方式（AE）一系列初等行變換 （EA-1）簡單直接。但上面三個小題的

求解過程、計(jì)算的繁難程度卻不盡相同，第（1）小題計(jì)算量最小，只需簡單幾步就可求得結(jié)果，難度級別可定為簡單；第（2）小題一般，計(jì)算的繁難程度不是太復(fù)雜，但解題步驟要多于第（1）小題，可定為中等難度；第（3）小題計(jì)算最為復(fù)雜，出現(xiàn)大量的分?jǐn)?shù)運(yùn)算，相應(yīng)地運(yùn)算步驟也最多，出錯率也最高，因而難度級別可定位難。當(dāng)然，對于大學(xué)數(shù)學(xué)的達(dá)標(biāo)性考試，主要考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握程度，不提倡加入過多的繁難計(jì)算。

3。學(xué)生熟悉程度對試題難度的影響

如果試題類型、考查的知識點(diǎn)以及表述方法等都是學(xué)生所熟悉的，比如與課本上的例題、練習(xí)題等相近，平時教學(xué)過程中又比較重視，經(jīng)常練習(xí)，反復(fù)復(fù)習(xí)，那么學(xué)生做起來就比較容易；相反，如果試題內(nèi)容學(xué)生不熟悉，平時又沒有引起重視，學(xué)生沒做過或很少做，那么學(xué)生做起來就比較難。以試題4的第（2）小題為例，考生對其解題思路基本都清楚，但如果平時不加練習(xí)，沒有形成系統(tǒng)的解題技巧、良好的解題習(xí)慣和一般的變換順序，就很難保證順利地求得結(jié)果，有的考生向前變換了兩步，沒幾步就又變了回來，來回來去的變換了半天，也沒有向最終結(jié)果靠近幾步，最后答題預(yù)留地寫滿了，時間也耗費(fèi)了不少，只得放棄。

4。試題表述對難度的影響

試題語言表達(dá)的規(guī)范性、簡潔性、條件的完整性、明確性、專業(yè)術(shù)語的科學(xué)性等，都是影響試題難度的重要因素。試題語言或數(shù)學(xué)表達(dá)式越簡潔明晰、條件明顯，應(yīng)試者就越容易讀懂；相反，如果試題語言繁瑣累贅、語意不清、容易產(chǎn)生歧義、條件隱蔽等，則應(yīng)試者就不容易讀懂題意。

綜上，在試題庫建設(shè)中要組織經(jīng)驗(yàn)豐富，長期從事該學(xué)科教學(xué)，了解學(xué)生的教師參加命題，并盡可能做到表述科學(xué)，題意明確，符合命題規(guī)范。相對難度盡管不如用答對率或得分率表示準(zhǔn)確，但答對率或得分率需考后才能獲得，并且答對率或得分率對于不同的群體也具有一定的差異，如同一道試題，同一個學(xué)校同一個教師教的理工類學(xué)生與經(jīng)管類學(xué)生、統(tǒng)招生與對口生的答對率或得分率就可能存在較大的差異。對于同一種類型的試題，根據(jù)知識點(diǎn)的分布、計(jì)算過程的繁雜程度等因素標(biāo)注相對難度，對于命題教師針對不同的測試對象，有針對性地進(jìn)行合理組卷，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

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