培養(yǎng)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

謝寧

數(shù)學(xué)素養(yǎng)聽起來好像很深?yuàn)W、很生疏，其實(shí)它時(shí)時(shí)滲透在我們的日常生活中，如：每天時(shí)間上的統(tǒng)籌安排，商場(chǎng)打折信息、家庭投資理財(cái)，利潤(rùn)最大化問題等。那什么是數(shù)學(xué)素養(yǎng)？對(duì)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的解釋，到目前為止還沒有一個(gè)嚴(yán)格的、統(tǒng)一的定義。有人認(rèn)為“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”是在先天基礎(chǔ)上，受后天環(huán)境、數(shù)學(xué)教育等影響，所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)等融于身心的一種比較穩(wěn)定的心理狀態(tài)。用南開大學(xué)顧沛教授的話說：“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”就是把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)都排除或忘掉后剩下的東西。擁有良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人在解決問題時(shí)就會(huì)有良好的邏輯推理意識(shí)和能力，會(huì)不自覺地把數(shù)學(xué)素養(yǎng)應(yīng)用到其他學(xué)科和生活中去。所以數(shù)學(xué)它不只是為了解題而存在，它更應(yīng)該是在人們的具體實(shí)踐中提高自己的能力與素質(zhì)的一種存在。

高中生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括對(duì)數(shù)的敏感度、符號(hào)意識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)交流、解決問題四種數(shù)學(xué)能力以及數(shù)學(xué)價(jià)值觀的發(fā)展。下面我從以下三個(gè)方面和大家談?wù)勎覍?duì)培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的膚淺認(rèn)識(shí)：一、用數(shù)學(xué)的視角去認(rèn)識(shí)問題。二、用數(shù)學(xué)的方式去思考問題。三、用數(shù)學(xué)的方法解決問題。

首先看第一個(gè)方面：用數(shù)學(xué)的視角去認(rèn)識(shí)問題——數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)。

什么是“數(shù)學(xué)意識(shí)”呢？我們把應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)稱之為數(shù)學(xué)意識(shí)；也可以說，這是對(duì)數(shù)學(xué)的一種感覺。舉一個(gè)例子，比如兩人約定晚上7：00—8：00見面，并沒有說好具體的時(shí)間，但是彼此耐心都有限，都只能等待對(duì)方20分鐘，那兩人見面的可能性是多少呢？這時(shí)，如果能想到用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)（x，y）來代表男女兩位到達(dá)的時(shí)刻，用|x-y|≤20來刻畫等待的時(shí)間，用面積的比值來計(jì)算這個(gè)概率，這就說明這名學(xué)生具有很好的數(shù)學(xué)意識(shí)了。

（一）掌握扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維，提高對(duì)數(shù)學(xué)的敏感度

愛因斯坦說：“真正可貴的思維是直覺思維。”直覺思維是人腦對(duì)事物、問題、現(xiàn)象的某種直接的領(lǐng)悟和洞察的一種思維形式。在教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力，首先要求學(xué)生必須掌握好扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，提高學(xué)生整體把握知識(shí)的能力。打個(gè)比方，學(xué)生在初中就學(xué)習(xí)過了完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，但是很多學(xué)生只是當(dāng)作一個(gè)公式來記憶，從左到右是如何展開的，當(dāng)遇到從右到左是如何配湊的，很多學(xué)困生就是想不到，老師一講解才恍然大悟，所以在高中階段的教學(xué)中，一定要讓學(xué)生明白公式從左到右，和從右到左都應(yīng)該是你要掌握的技巧，進(jìn)一步遇到a2+ab+b2=（a+b）2-ab=（a-b）2+3ab=a+b[]22+3[]2b2這樣的問題，才能解決。

（二）加強(qiáng)數(shù)學(xué)符號(hào)閱讀能力，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)

簡(jiǎn)單地說，“符號(hào)”就是某種事物的記號(hào)，它采用一一對(duì)應(yīng)的方式，把一個(gè)復(fù)雜的事物用簡(jiǎn)單的形式表現(xiàn)出來，它是眾多事物表征抽象概括的結(jié)果。而數(shù)學(xué)符號(hào)感則是個(gè)體理解符號(hào)所表示的實(shí)際意義，運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和轉(zhuǎn)換，從而借助于符號(hào)解決數(shù)學(xué)問題。教師在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中往往只教給學(xué)生用符號(hào)表達(dá)的結(jié)果，而常常忽視了對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的“最原始”的暗示功能的挖掘，從而導(dǎo)致學(xué)生多習(xí)慣于停留在數(shù)學(xué)符號(hào)操作的層面上，而不能達(dá)到真正借助于符號(hào)揭示其深刻的內(nèi)涵層面。 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要抓住數(shù)學(xué)符號(hào)創(chuàng)設(shè)的啟發(fā)性原則，注意充分挖掘符號(hào)的暗示功能。

我們利用數(shù)學(xué)符號(hào)的主要作用之一是用高度簡(jiǎn)約化的形式語言來表征具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容。而我們?cè)趯?shí)際的教學(xué)過程中往往會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)過于表面化的現(xiàn)象。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)沒有真正理解數(shù)學(xué)符號(hào)的意義及其蘊(yùn)含的思想方法，在記憶時(shí)只按照老師的要求進(jìn)行簡(jiǎn)單的機(jī)械記憶，記住的僅僅只是幾個(gè)抽象的符號(hào)而已。比如，學(xué)生若不理解三角函數(shù)sin（A+B）的涵義，則類似于sin（A+B）=sinA+sinB的錯(cuò)誤就有可能發(fā)生。產(chǎn)生這一現(xiàn)象的主要原因在于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)了內(nèi)容與形式的脫節(jié)，其實(shí)質(zhì)就是簡(jiǎn)約化的數(shù)學(xué)符號(hào)與其所表征的數(shù)學(xué)內(nèi)容相脫節(jié)。據(jù)此，在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)給數(shù)學(xué)符號(hào)賦予具體的內(nèi)容，要對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的涵義和實(shí)質(zhì)進(jìn)行深入的分析。盡可能地在實(shí)際問題情境中幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號(hào)以及表達(dá)式、關(guān)系式的意義，進(jìn)而深刻理解數(shù)學(xué)符號(hào)所蘊(yùn)含的思想方法和意義。要始終注重?cái)?shù)學(xué)符號(hào)的辨析、操作和變換等。

第二個(gè)方面：用數(shù)學(xué)的方式思考問題——數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。

（一）數(shù)形結(jié)合，化抽象的概念為可以看得見的數(shù)學(xué)事實(shí)，發(fā)展學(xué)生的形象思維

與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)具有一個(gè)最顯著的特征，許多的定理、公式，都是直接通過觀察圖像得出來的。如一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等函數(shù)的性質(zhì)和特征，無一不是通過研究圖像得出的。可以說，在數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合貫穿了整個(gè)教學(xué)的始終。因此，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，對(duì)于數(shù)學(xué)的教學(xué)都具有特殊的意義。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非。”在解決高中數(shù)學(xué)一些問題時(shí)，若采用數(shù)形結(jié)合的思想，便可以使抽象的數(shù)學(xué)信息、數(shù)量關(guān)系用直觀的幾何圖形形象地表示，從而使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而起到簡(jiǎn)便解決數(shù)學(xué)問題的目的。

例 若關(guān)于x的方程7x2-（m+13）x+（m2-m-2）=0的兩根x1，x2分別滿足0

解 令f（x）=7x2-（m+13）x+（m2-m-2），其圖像與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程 f（x）=0 的解。 由 y=f（x）的右圖可以看出：要使兩根分別在（0，1）和（1，2）內(nèi)，只需f（0）=m2-m-2>0，f（1）=7-m-13+m2-m-2<0，f（2）=28-2m-26+m2-m-2>0同時(shí)成立，解得：-2

從上面例題來看，若學(xué)生能夠利用數(shù)形結(jié)合思想來解決一些數(shù)學(xué)問題，充分地抓住數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，將會(huì)收到事半功倍的效果。除此之外，數(shù)形結(jié)合思想在解決解析幾何、立體幾何等問題上仍然可以把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化、直觀化。當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作為一種十分重要的數(shù)學(xué)思想方法，它可以拓寬學(xué)生的解題思路，提高他們的解題能力，將它作為知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。

（二）精心組織數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的合情推理可以理解為依據(jù)已有的數(shù)學(xué)題目事實(shí)、結(jié)論（定義、公理、定理、已知條件等），結(jié)合自己的數(shù)學(xué)知識(shí)，融入個(gè)人的解題經(jīng)驗(yàn)、直覺、思維等推測(cè)某些數(shù)學(xué)問題結(jié)果的推理過程。可以說，數(shù)學(xué)命題的形成是以合情推理為基礎(chǔ)的，是數(shù)學(xué)解題、設(shè)題過程中的重要環(huán)節(jié)。雖說高中數(shù)學(xué)的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容都是前人所總結(jié)探索出來的，但對(duì)于學(xué)生來說，且是未知的，需要通過體驗(yàn)類似的再創(chuàng)造過程來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)。顯然這一學(xué)習(xí)過程需要合情推理的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，合情推理不只可以發(fā)現(xiàn)命題方向，還有助于探索解題思路，其實(shí)質(zhì)上是探索、發(fā)現(xiàn)、經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論形成的過程，是對(duì)學(xué)生思維能力的一種培養(yǎng)，符合新課標(biāo)教學(xué)理念。那如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力呢？

首先要學(xué)會(huì)觀察。觀察可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的各種感官，在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生聯(lián)想，進(jìn)行合情推理，觀察的結(jié)果直接影響推理的可靠性。所以在教學(xué)中要給學(xué)生必要的時(shí)間和空間進(jìn)行觀察，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)有目的地、有序地、全面地對(duì)所研究的數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)據(jù)特征、圖形特征等信息進(jìn)行觀察，以達(dá)到培養(yǎng)良好的觀察習(xí)慣，提高觀察力，發(fā)展合理推理能力的目的。例如，在進(jìn)行“等比數(shù)列的概念”的教學(xué)時(shí)，學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式已經(jīng)掌握得比較熟練，故可以借助等差數(shù)列的知識(shí)來引入等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，充分利用合情推理幫助學(xué)生形成并牢固掌握概念和有關(guān)公式。

其次，教師進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)時(shí)，如果只以教材的內(nèi)容為素材對(duì)學(xué)生的合情推理能力進(jìn)行培養(yǎng)，會(huì)有一定的局限性。如果能夠緊密結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，用學(xué)生非常熟悉的生活現(xiàn)象來創(chuàng)設(shè)情境，自然會(huì)取得較好的教學(xué)效果。如以下典型例題的教學(xué)：已知a，b，m∈R+且aa[]b。如此純數(shù)學(xué)問題，我們可以增加它的背景，讓它生活化。背景：某班有b個(gè)人，a個(gè)西瓜，其中人數(shù)比西瓜個(gè)數(shù)多，當(dāng)b個(gè)人正要將a個(gè)西瓜分來吃時(shí)，忽然來了m個(gè)人帶來了m個(gè)西瓜要求入伙，共同分瓜吃，試問這b個(gè)人平均每人分吃的西瓜比以前多了還是少了？簡(jiǎn)析：原來每個(gè)人吃a[]b（aa[]b。故將此不等式稱作為“分瓜不等式”，既活躍了氣氛，又引入了數(shù)學(xué)模型，再轉(zhuǎn)化為“溶質(zhì)[]溶液=濃度”問題，將原來枯燥的數(shù)學(xué)式子生活化了，培養(yǎng)了學(xué)生合情推理的能力。

最后一個(gè)方面：用數(shù)學(xué)的方法解決問題——分析問題和解決問題的能力的培養(yǎng)。

高考是注重能力的考試，特別是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問題和解決問題的能力，更是考查的重點(diǎn)，而高考中的應(yīng)用題就著重考查這方面的能力。數(shù)學(xué)是充滿模式的，就解應(yīng)用題而言，對(duì)其數(shù)學(xué)模式的識(shí)別是解決它的前提。由于高考考查的都不是原始的實(shí)際問題，命題者對(duì)生產(chǎn)、生活中的原始問題的設(shè)計(jì)加工使每個(gè)應(yīng)用題都有其數(shù)學(xué)模型。如2005年天津的“最大視角問題”為解析幾何和米勒定理模型；2008年廣東的“平均綜合費(fèi)用問題”和2009年湖北“修建圍墻總費(fèi)用問題”都是均值不等式模型；2010年浙江的“銷售額問題”是一元二次不等式模型；2011年湖南“雨中行走是否跑得越快淋雨就越少問題”實(shí)則是分段函數(shù)單調(diào)性模型。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不但要重視應(yīng)用題的教學(xué)，同時(shí)要對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行專題訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納各種應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型，這樣學(xué)生才能有的放矢，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法分析和解決實(shí)際問題。

當(dāng)然，解決問題的策略是多樣化的，我們要鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)不同的問題來選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê筒呗裕⒔鉀Q問題的策略內(nèi)化為個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，成為思考問題的一種習(xí)慣。

在社會(huì)高度文明的今天，物質(zhì)世界和精神世界只有通過量化才能達(dá)到完善的展示，而數(shù)學(xué)正是這一高超智慧成就的結(jié)晶，它已滲透到日常生活的各個(gè)領(lǐng)域。提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，即提高了學(xué)生適應(yīng)社會(huì)，參加生產(chǎn)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必須的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，這是時(shí)代的需要也是學(xué)生實(shí)現(xiàn)自身價(jià)值的需要。作為教育最前線的教師，應(yīng)認(rèn)清在現(xiàn)代科學(xué)中數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思維的重要性，這種能力不是表現(xiàn)在死記硬背，不光表現(xiàn)在計(jì)算能力，而應(yīng)該是一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。所以，我們應(yīng)樹立正確的數(shù)學(xué)觀、教育觀，在課堂中加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，使學(xué)生教育成為真正意義上的素質(zhì)教育。