仔細研讀教材 精心設計教學

周長林　王英偉

[摘要]提高課堂效率是數學教學的永恒主題，是無數數學教師追求的目標，那么怎樣讓課堂高效，使學生的思維得到訓練，學習數學的能力提高，這就要求教師要立足教材，整合教材，了解學情，精心設計好每一堂課。

[關鍵詞]課堂教學；整合教材；思維訓練

一、教學設計要瞻前顧后

教師要整體把握教材，通曉教材的前后聯系，宏觀了解其編寫的體例與說明，形成對教材的宏觀認識，清楚各個模塊的前后聯系。仔細研讀教材，理解編者的意圖。

案例1：《任意角的三角函數定義》教學設計的一些思考

在學習任意角的三角函數定義之前，學生在初中已學過直角三角形中銳角的三角函數的定義，而且學生對這個定義印象非常深刻。在講本節課之前，我反復琢磨，怎樣立足初中學過的定義，依據學生現有認知經驗，將“舊”定義，趕出學生的頭腦，樹立起“新”觀念。另外，對于不同版本的教材，任意角的三角函數定義也略有不同，一種是終邊坐標法，一種是單位圓法。兩者各有優點，終邊坐標法符合三角函數形成發展的規律，反映數學概念的本質，突出比值，易與初中定義銜接；單位圓法，定義形式簡單，更符合函數的概念，為今后學習三角函數值在各象限的符號、同角的三角函數關系、誘導公式提供了方便，這也正是編者的意圖。兩種定義各有千秋、難以取舍。怎樣設計本節課，才能既符合學生原有的認知水平，又使教學流暢、自然，兼顧不同定義的優點。

《任意角的三角函數定義》教學片斷：

圖 1

教師：在Rt△POQ（如圖1）中，若OQ=x，QP=y，OP=r，記∠POQ=α。

求：sinα，cosα，tanα。

圖 2

教師：將Rt△POQ（如圖2）放在坐標系中，以O為原點，α為任意角，點P的坐標為（x，y），則α的正弦、余弦、正切可以看成角α終邊上點的坐標比，與點P在終邊的位置有關嗎？

教師：請同學們回憶函數的概念。（期待學生說出從實數到實數的映射，而在α的正弦、余弦、正切中，α（弧度）是實數，卻與比值對應，不符合以往對函數的認識，怎樣將它們的形式優化？（從而引出單位圓的概念。）

教師：怎樣選取點P，能將sinα=yr，cosα=xr的形式得到優化。（學生自然會想到r=1，找到點P）

在例1中，求5π3的正弦、余弦和正切值。學生會想到用單位圓法。可是在例2中，已知角α的終邊經過點P0（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值。學生會感受的終邊坐標法的優越性。

這樣教師通過問題引導、層層遞進，使復雜問題簡單化，簡單問題具體化，定義得以優化。實際學生得到了兩種形式的任意角的三角函數定義，發現雖形式不同，但本質一樣，上升到哲學高度。最后強調本節課一“破”一“立”，打破了三角函數定義在直角三角形的局限，樹立了用角終邊上點的坐標來定義三角函數的新觀念。

日本數學教育家米山國藏說：“學生們在初中、高中等接受的數學知識，因畢業進入社會幾乎沒有什么機會應用這種作為知識的數學，通常是出校門不到兩年，很快就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，唯有深深地銘刻在頭腦中的數學精神、數學思想方法、研究方法、推理方法和著眼點卻隨時隨地發生作用，使他們受益終生。”我理解的高效課堂是通過這節課學生學到了知識，發展了思維，提升了能力并能上升到哲學的高度。在學生走出教室、走出校門，若干年后，仍留在頭腦中的東西。

縱觀數學教材的編排，知識是呈螺旋式上升的，教師要了解中小學數學中每個主要概念的來龍去脈，把知識連成線、織成面、構成網。高中數學知識中，許多章節起著承前啟后的作用，肩負著重要的使命。如《平面向量的基本定理》，這一節內容是本章的“分水嶺”，在這之前向量只有“形”和“符號”的表示，向量的運算也只有“形”和“符號”的運算。而在這之后，向量有了坐標，就將向量的運算納入到數的運算范疇；平面向量的基本定理既是向量共線定理的發展，又為今后學習空間向量基本定理奠定了基礎。因此教師在實施教學時必須采用聯系的觀點，立足教材，巧妙地對教學進行設計，更好地整合教材，才能有高效的課堂教學。

二、教學設計要左顧右盼

作為新時代的教師，特別是具有新課程理念的教師，不但要熟知本學科知識結構，具備駕馭、整合本學科教材的能力，還應跳出本學科教材，汲取跨學科教材的養分，搞好跨學科教材的整合。高中數學與物理、地理、化學等學科都有密切的關系，因此教師在設計教學時，還要橫向比較，加強學科間的聯系。

數學與物理兩學科有許多知識的交叉與融合點，如向量、向量的平行四邊形和三角形法則，割線逼近切線、變力做功、瞬時速度、周期教學時間有滯后或超前現象，要根據教學需要作適當調整，可適當將數學（物理）所學的相關知識以問答形式布置給學生預習，或引導學生閱讀數學（物理）教材中的相關內容，加深對知識的理解，加強學科間的聯系，讓學生感受到數學是物理的工具，物理又促進了數學的發展。

案例2：如小船渡河問題

小船渡河問題屬于高中物理必修2《質點在平面內的運動》中的合成與分解問題。實際要運用向量中的平行四邊形法則來解決，而數學知識的學習要滯后物理。那么在數學人教版必修4第二章《向量》部分習題2。5 B組第二題涉及小船行使時間最短問題。

一條河的兩岸平行，河的寬度為d=500 m，一艘船從A處出發到河對岸，已知船在靜水中的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=2 km/h，要使船航行的時間最短，那么船行使的距離與合速度的比值必須最小。

分三種情況：（1）船順流行駛，與水流成銳角；

（2）船與對岸垂直行駛，與水流成直角；

（3）船逆流行駛，與水流成鈍角。

物理學采用的“化復雜問題為簡單問題”的處理方法，把復雜運動看作是簡單運動的合成，分運動的性質決定了合運動的性質。渡河問題是學生的薄弱環節，主要反映在用數學知識解決物理問題的能力較弱。

物理中將問題簡化，各分運動與合運動具有等時、等效性。

圖 3

如圖3船頭與河岸垂直時，航行時間最短：t=s1v1=dv1。

數學的解決方法：

設v1與v2的夾角為θ，合速度為v，v2與v的夾角為α，行使距離為d，則

sinα=v1sinθv=10sinθv，d=0。5sinα=v20sinθ，

d|v|=120sinθ。

所以，當θ=90°，即船垂直于對岸行速時所用時間最短。

對于同一問題，兩學科解決的方法不同，物理偏重于應用，將問題簡化，數學完全從運算的角度，轉化為求函數的最值的問題，但本質是一樣的。更反映了數學是物理的工具，物理為數學注入了活力。因此教師在教學時，要善于尋找學科間的聯系，打破學科間的壁壘，優化課堂設計，提高課堂效率。

三、教學設計要聯系實際

新課程增加了數學知識與現實生活的聯系，增強了數學的應用價值，讓學生學習有用的數學。而實際教學中，受傳統教學思想的影響，教師對數學應用不夠重視，對與應用有關的內容整合、駕馭能力較差，導致學生害怕、抵觸與應用有關的知識和題目。其實，這類問題“難”在從實際背景中提煉出數學問題，這就要求我們在教學過程中重視從學生的生活經驗出發更好地理解與掌握抽象的數學概念與知識，把抽象出來的數學概念與知識應用于新的情境。

案例3：《三角函數模型的簡單應用》的教學片斷

圖 4

如圖4，設地球表面某地正午太陽高度角為θ，δ為此時太陽直射緯度，φ為該地的緯度值。當地夏半年δ取正值，冬半年δ取負值。

如果在北京地區（緯度數約為北緯40°）的一幢高為h0的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應小于多少？

問題1 圖4中θ，δ，φ這三個角之間的關系是什么？

如圖4這三個量之間的關系是θ=90°-φ-δ（當地夏半年δ取正值，冬半年δ取負值）。

問題2 當太陽高度角為θ時，設高為h0的樓房在圖 5地面上的投影長為h（如圖5），那么θ，h0，h三者滿足什么關系？

h0=htanθ。

問題3 根據地理知識，北京地區一年中，正午太陽直射什么緯度位置時，物體的影子最短或影子最長？

太陽直射北回歸線時物體的影子最短，直射南回歸線時物體的影子最長。

問題4 綜上分析，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應小于多少？

解 要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，應取太陽直射南回歸線的情況考慮，此時的太陽直射緯度為-23°26′。

根據太陽高度角的定義，有θ=90°-|40°-（-23°26′）|=26°34′，所以h=h0tanθ=h0tan26°34′≈2h0。

即在蓋樓時，為使樓不被前樓遮擋，要留出相當于樓高兩倍的間距。

本題是研究樓高與樓在后地面的投影長的關系問題，是將實際問題直接抽象為與三角函數有關的簡單函數模型，然后根據所得的模型解決問題。

教材中涉及與實際生產生活聯系的內容很多，數學應用對教師的教學提出了新的挑戰，既要了解實際生產生活相關知識，又要與數學知識有機的整合，根據學情設計教學方案。

總之，教師對教材理解的深度、整合駕馭教材的能力，直接影響教學設計的科學性，有效性，從而決定課堂教學是否高效。

[參考文獻]

[1]吳立寶，曹一鳴，秦華。鉆研數學教材的幾個視角[J]。中學數學教學參考：上旬，2013（4）。

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