利用對稱性計算二重積分

朱永婷　王樺

[摘要]為了簡化重積分的運算，考慮到積分區域的對稱性，依據被積函數的奇偶性，介紹利用對稱性計算重積分的方法，并借助實例說明其應用。

[關鍵詞]奇偶性；對稱性；二重積分

重積分的計算是高等數學教學中的一個重點，也是每屆學生學習的難點。現有的教材給出了通用的計算方法，化重積分為累次積分，但對大多數初學者來說，它的計算是令人頭疼的事情。如果把重積分的計算與對稱性相結合，會大大的減小計算量，降低計算難度。本文突破教材，從對稱性角度出發，介紹一種行之有效的簡便計算方法。

在定積分的計算中，我們有對稱性區間上偶倍奇零的結論，即：

設f（x）在[-a，a]上連續，

①若f（x）為偶函數，則 ∫a-af（x）dx=2∫a0f（x）dx；

②若f（x）為奇函數，則∫a-af（x）dx=0。

如果我們將一元函數奇偶性的定義推廣到多元函數，那么在對稱域上，重積分是否也有類似的結論？下面我們以二重積分為例進行探討。

（一）多元函數廣義奇偶性的定義

定義 如果二元函數 z=f（x，y）的定義域是一個對稱區域D（關于x軸、y軸、直線y=x、原點對稱），設A∈D，其對稱點為A′，若恒有f（A）=-f（A′） （f（A）=f（A′）），則稱 z=f（x，y）是該對稱區域上廣義的奇（偶）函數。為了敘述方便，以后我們統一稱為奇（偶）函數。

從定義可以看出，二元函數在對稱區域上奇偶性的判斷，首先在對稱區域內，尋找相互對稱的任意兩點A和A′；然后判斷A和A′點處對應函數值的關系，若相等則為對稱區域上的偶函數，若相反則為對稱區域上的奇函數。

例1 判斷f（x，y）=sinx+siny在關于原點對稱區域上的奇偶性。

解 設A（x，y）在積分區域內，其關于原點對稱的點為A′（-x，-y），則：

f（A）=f（x，y）=sinx+siny。

f（A′）=f（-x，-y）=sin（-x）+sin（-y）=-（sinx+siny）。

所以f（A）=-f（A′），因此sinx+siny是關于原點對稱區域上的奇函數。

（2）積分區域為對稱區域時的計算

定理 若積分區域D（關于x軸、y軸、直線y=x、原點對稱），設A∈D，其對稱點為A′，

Df（x，y）dxdy=0f（A）=-f（A′）2D1f（x，y）dxdyf（A）=f（A′）

其中D1表示D位于對稱軸（點）一側的部分。

積分區域D的對稱性有四種不同的情形，但是只要滿足在對稱區域上，被積函數具有相應的奇偶性，就能利用偶倍奇零的原則化簡重積分。

例2 利用對稱性計算D（|x|+|y|+sinx+siny）dxdy，其中D為 |x|+|y|≤1所圍平面閉區域。

解 在對稱區域上，函數的奇偶性不同，所以我們把被積函數分成兩部分，其中D4代表D在第四象限的部分。

原式=D（|x|+|y|）dxdy+D（sinx+siny）dxdy

=2D1+D4（|x|+|y|）dxdy+0

=4D1（|x|+|y|）dxdy+0

=43。

由此例題說明，利用對稱性計算二重積分可以大大簡化計算，即節省了時間，又提高了正確率。但是在使用的過程中需要注意的兩個條件，1。積分區域D具有對稱性；2。被積函數f（x，y）在積分區域內具有相應的奇偶性。

例3 I=Dx[1+yf（x2+y2）]dxdy，其中D是由y=x3，y=1，x=-1所圍成的平面閉區域，f為連續函數。

解：在積分區域內作輔助線y=-x3，此曲線將積分區域D分為兩部分D1和D2，D1關于x軸對稱，D2關于y軸對稱，則

I=D1x[1+yf（x2+y2）]dxdy+D2x[1+yf（x2+y2）]dxdy

=D2xdxdy+0

=25。

從上面的例題不難發現，在二重積分的計算中，利用“對稱區域上偶倍奇零”的原則，會達到事半功倍的效果。同樣，該原則也可以推廣到三重積分、第一類曲線積分、第二類曲線積分的化簡計算上。

[參考文獻]

[1]毛綱源。高等數學解題方法歸納[M]。武漢：華中科技大學出版社，2001。

[2]同濟大學數學系。高等數學[M]。北京：高等教育出版社，2007。