二階常系數非齊次線性微分方程的解法探討

彭長文 　黃華偉

[摘要]本文研究二階常系數非齊次線性微分方程的待定系數法。歸納了記憶特解公式的幾個原則，并提出求待定系數的簡化公式法，利用該方法可更為便捷地計算待定系數。

[關鍵詞]高等數學；常系數；微分方程；特解公式；待定系數

[中圖分類號]O175。1 [文獻標識碼]B

[基金項目]貴州省科學技術基金項目（黔科合J字[2014]2125；2142）；貴州師范學院項目（13BS011）；貴州省教育廳自然科學研究項目（黔教合KY字[2015]422號）。

1。引 言

在《高等數學》課程中，常微分方程的基本解法是課程的重要部分，這部分內容的難點集中在二階常系數非齊次線性微分方程的待定系數法[1，2]。筆者在教學中發現很多學生對這種方程的特解公式難以掌握，又由于計算量較大，許多學生即使掌握了求特解的公式，但在計算待定系數時錯誤仍然較多。例如求系數的代數方程列錯，或代數方程列對，但結果求錯。

本文介紹二階常系數非齊次線性微分方程的待定系數法，歸納記憶特解公式的幾個原則，并提出求待定系數的簡化公式法。利用簡化公式法，更容易得到待定系數的代數方程。

2。特解公式及其記憶原則

二階常系數非齊次線性微分方程的一般形式為

y″+py′+qy=f（x）（2。1）

其中p，q為常數，f（x）為非齊次項，或稱為自由項，不恒等于0。下面介紹f（x）為多項式、指數函數（以e為底）、正弦函數、余弦函數以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的解法。

其解法是先求對應齊次方程y″+py′+qy=0的通解Y，再求方程（2。1）的一個特解y*，則（2。1）的通解為y=Y+y*。對于齊次方程的通解Y的求法，本文不作介紹。我們只介紹（2。1）的特解y*的求法。

對于f（x）=Pm（x）ekx的二階常系數非齊次線性微分方程（2。1），可設特解為y*=xsQm（x）ekx，

其中Qm（x）是和Pm（x）同次（m次）的系數待定的多項式，s的取值為

s=0， k不是方程的特征根，1， k是方程的特征根，2， k是方程的二重特征根。

對于f（x）=eαx[Pm1（x）cosβx+Pm2（x）sinβx]，同樣用待定系數法，可設（2。1）的一個特解為y*=xseαx[Ql（x）cosβx+Rl（x）sinβx]，

其中l=max{m1，m2}，Ql（x），Rl（x）為l次系數待定的多項式，s的取值為

s=0， α±βi不是方程的特征根，1， α±βi是方程的特征根。

求特解y*的關鍵是如何正確設出y*的形式。初學者常常設錯，為此我們歸納設y*的幾個基本原則。

原則一：與自由項形式相同原則

該原則是指，當k或α±βi不是方程的特征根，則所設特解y*與自由項f（x）的形式相同。

例如，若0不是方程的特征根且f（x）=x3+1，則設y*=Ax3+Bx2+Cx+D；

若5不是方程的特征根且f（x）=4e5x，則設y*=Ae5x；

若2不是方程的特征根且f（x）=e2x（x2-1），應設y*=e2x（Ax2+Bx+C）；

若±4i不是方程的特征根且f（x）=sin4x，應設y*=Acos4x+Bsin4x；等等。

原則二：乘以x或x2的原則

若k或α±βi為方程的單特征根，則所設的特解中除了包含與自由項形式相同的部分，還應乘以x；若k或α±βi為方程的二重特征根，則所設的特解中除了包含與自由項形式相同的部分，還應乘以x2。

原則三：疊加原理求特解原則

該原則是指：若自由項較為復雜，應將自由項拆成若干Pm（x）ekx和eαx[Pm1（x）cosβx+Pm2（x）sinβx]的形式和，從而將方程拆成若干個簡單（即自由項為以上兩種情況）的二階常系數非齊次線性微分方程，每個簡單方程分別求出特解，則原方程的特解即為這些簡單方程特解的和。

例如，若f（x）=f1（x）+f2（x）且f1（x），f2（x）都是Pm（x）ekx或eαx[Pm1（x）cosβx+Pm2（x）sinβx]的形式，則先分別對f1（x），f2（x）求出特解y*1，y*2。利用疊加原理，其和y*1+y*2為f（x）的特解。

原則一和原則二說明，方程（2。1）的一個特解的形式常從自由項f（x）的形式推出。從本質上講，這整個工作只不過是作一種巧妙的猜測，其中包含足夠多的待定系數供調配，以適合各類函數的要求。

3。求待定系數的簡化公式法

設非齊次方程的特解y*的形式掌握后，剩下的就是計算問題。但由于計算量較大，初學者錯誤較多，一般錯誤集中在求系數的代數方程列錯。下面我們提出求待定系數的簡化公式法，利用該方法，可更為便捷地計算待定系數。

假設方程（2。1）的自由項f（x）=G（x）ekx，其中G（x）是沒有指數形式的x的函數。設y*=H（x）ekx為方程（2。1）的一個特解，其中H（x）是x的待定函數。

將y*=H（x）ekx代入方程（2。1）進行計算并消去ekx≠0，得

H″（x）+（2k+p）H′（x）+（k2+pk+q）H（x）=G（x）。（3。1）

要得到原方程的特解y*，即要求出H（x），而這只需比較（3。1）左右兩端的系數。

因此，當我們設好了特解y*，無須把y*代入原方程，只要確定了y*中的H（x），將H（x）直接代入（3。1）式即可。用公式（3。1）的優點在于，不需要把y*中的指數函數ekx代入原方程求導，這極大簡化了中間計算過程。而且當k是方程的特征根，還可以更加簡單。在計算時，按照k可以分成三種情況：

（1）如果k是方程的二重特征根，那么k2+pk+q=0且2k+p=0，此時（3。1）式簡化為H″（x）=G（x）。

（2）如果k是方程的單重特征根，那么k2+pk+q=0，但2k+p≠0，此時（3。1）式簡化為H″（x）+（2k+p）H′（x）=G（x）。

（3）如果k不是方程的特征根，那么k2+pk+q≠0且2k+p≠0，此時（3。1）式不能簡化。

例3 求微分方程y″+4y′+3y=xe-3x的通解。

一般解法：

特征方程r2+4r+3=0，解得r1=-1，r2=-3，所以原方程對應的齊次方程通解為Y=C1e-x+C2e-3x。再求原方程的一個特解y*。因為原方程自由項為f（x）=xe-3x，而-3是特征方程的單根，故可設特解形式為y*=xe-3x（Ax+B），其中A，B為待定系數。將y*=xe-3x（Ax+B）代入原方程。為此，需先計算

（y*） ′=[xe-3x（Ax+B）]′=[e-3x（Ax2+Bx）]′ =-3e-3x（Ax2+Bx）+e-3x（2Ax+B） =e-3x[-3Ax2+（2A-3B）x+B]。

（y*）″=[y*]′=[e-3x[-3Ax2+（2A-3B）x+B]]′ =-3e-3x[-3Ax2+（2A-3B）x+B]+e-3x（-6Ax+2A-3B） =e-3x[9Ax2+（9B-12A）x-6B+2A]。

再將（y*） ′和（y*）″代入原方程，得（y*） ″+4（y*） ′+3y*=xe-3x。

計算，得e-3x[9Ax2+（9B-12A）x-6B+2A]+4e-3x[-3Ax2+（2A-3B）x+B]+3xe-3x（Ax+B）=xe-3x。

化簡，得e-3x（-4Ax-2B+2A）=xe-3x，

亦即 -4Ax-2B+2A=x。

由2A-2B=0， -4A=1，得

A=-14， B=-14，

從而 y*=-14e-3x（x2+x）。

所以原方程的通解為y=Y+y*=C1e-x+C2e-3x-14e-3x（x2+x）。

可以看到，設好特解y*后，求（y*） ′和（y*）″的計算量很大。下面我們利用公式（3。1）的方法來進行計算。

簡化公式法：求對應齊次方程的通解Y和設原方程的一個特解y*=xe-3x（Ax+B）與一般解法一樣，我們此處不再贅述。下面我們來計算A和B。為利用公式（3。1），先找出G（x）=x， H（x）=Ax2+Bx， k=-3， p=4， q=3。因為k=-3是特征方程的單根，故公式（3。1）為H″（x）+（2k+p）H′（x）=G（x），

即2A+（-6+4）（2Ax+B）=x，

亦即-4Ax+2A-2B=x。

接下來的解法與一般方法一樣，通過比較系數求得A=-14，B=-14，從而 y*=-14e-3x（x2+x）。所以原方程的通解為y=Y+y*=C1e-x+C2e-3x-14e-3x（x2+x）。

4。結 論

從第3節例子可以看到，一般解法中將y*代入原方程的計算量往往非常大。大部分學生都只能設出特解，解不出待定系數或解出的結果有誤。

利用簡化公式法，可以避開求（y*） ′和（y*）″的過程，而是計算更簡單的H″（x），H′（x），這將使計算量大為減少。在教學中我們發現，采用簡化公式（3。1），大部分學生都能算正確結果。

[參考文獻]

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