淺談換元法的應用及應用中常見問題

楊慧春

[摘要]換元法在中學的應用是非常廣泛的，巧妙、恰當的在解題中適用換元法，使解題變得簡潔方便；在使用換元法也存一些問題，要認清問題正確使用換元法。

[關鍵詞]換元法；換元法的應用；換元法應用中常見問題

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，使用恰當技巧方法把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來。或者把陌生的形式變為熟悉的形式，把復雜的計算和推證進行簡化。

換元法的實質就是轉化，通過引進新變量去代換原問題變量的形式，讓問題從形式、解題思路得到簡化的一種解題方法。換元法的解題步驟為：設元、換元、求解、回代以及檢驗。

1 換元法在解題中的應用

1。1 換元法求值域（最值）問題

在求最值問題時，有的函數沒有顯著的特點，為了解決這些問題美酒需要適當利用換元法，找到題中的隱含條件，使得新元解題更加簡捷方便。

題1 求函數y=x-3+5-x的取值范圍。

解 因為（x-3）+（5-x）=2，所以令x-3=2cos2α，5-x=2sin2α（α∈R）。

y=2cosα+2sinα，令α∈0，π2，則y=2cosα+2sinα。

y=2sinα+π4，因為sinα+π4∈[-1，1]，所以y∈[-2，2]。

1。2 換元法解方程（方程組）問題

解方程式是中學數學的一種基本題型，是解答復合題型中關鍵一步。特別是在解高次方程時，需要利用換元法對原式進行降次，變形成為熟悉的一次、二次方程，使解答變得簡單。

題2 解方程x4+2x2+1x2+x2+1x=6。

解 （x2+1）2x2+x2+1x=6，令x2+1x=t。

原方程變形為：t2+t=6，（t+3）（t-2）=0，t1=-3，t2=2，所以x2+1x=-3或x2+1x=2。

解得x1=-3-52，x2=-3+52，x3=1。

1。3 換元法解決不等式問題

中學的數學學習中，不等式是一類基礎性的題型，不等式變化靈活在解題是要注意觀察，換元法的應用，使得形式復雜的不等式得到簡化，條件問題的關系變得簡單明了，不等式的解答或證明變得更加明朗化，問題得到解決。

題3 已知（x-1）24+（y+1）29=1，而k

解 設x-12=sinα，y+13=cosα，所以x=2sinα+1，y=3cosα-1。即k<2sinα+3cosα恒成立。

2sinα+3cosα=13sin（α+β），其最小值是-13。

故得k<-13。

以上是利用換元法處理不同類型的問題，問題不是很難，往往是形式比較復雜，利用換元法對問題進行適當的處理，使得問題之間的關系變得更加清晰。雖然恰當使用換元法能夠達到化繁為簡、化難為易的作用，但是若是在轉化中不注重等價性，就會出現不易發覺的錯誤。

2 換元法解題中常見的錯誤

2。1 代換后忽視新變量的取值范圍

題4 已知x∈R+，求y=x+9x+1x+9x的最小值。

錯解 令t=x+9x，∵x∈R+，∴t>0。

y=t+1t≥2t1t=2，當且僅當t=1t取得等號，即t2=1，∴t>0，t=1，即∵x∈R+，∴t>0x+9x=1，此方程無解。∴y沒有最小值。

分析 在上面的解法中，因為忽略了代換后新變量的取值范圍，導致解題錯誤。在代換時一定要考慮到帶換的等價性。注意到t=x+9x，∵x∈R+，∴x+9x≥2x9x=6，即t≥6即可。

題5 已知x1-y2+y1-x2=1，求32x+12y的最值。

錯解 因為x≤1，y≤1，所以令x=cosα，y=sinα，α∈[0，2π）。

則cosαcosα+sinαsinα=1，兩邊平方得sin2α=0，∴α=kπ2（k∈z）。

從而32x+12y=32cosα+12sinα=sinα+π3=sinkπ2+π3（k∈Z）。

32x+12y的最大值32，最小值-32。

分析 代換時考慮不夠完全，只考慮到變量的范圍，卻沒考慮到代換的合理性。上面的代換實際上是不合理的，因為無形中增加了變量的限定條件x2+y2=1，這當然很難得到正確的答案。其中令x=cosα，y=sinβ，α，β∈0，π2可求解。

3 結 語

通過前面的舉例說明，可以看出換元法在解題中應用可以使得解題變得簡單方便，在學習以及教學中我們要注意培養學生恰當使用換元法。在使用換元法帶來的便捷的同時，我們也要注意到，在對換元法概念理解不清，換元過程中常常會導致轉化的不等價性，使得做題出錯。通過本文，希望對中學學習和教學起到一定的作用。