探究高中數(shù)學(xué)函數(shù)的值域及求解方法

賈珊珊

[摘要]《高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》的基本理念指出在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，要積極倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程勇于探索的學(xué)習(xí)方式，函數(shù)在高中階段是非常重要的，函數(shù)具有三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則，其中起決定性作用的是定義域和值域，定義域和對應(yīng)法則共同確定了值域。所以值域是一個(gè)很重要的部分，往往學(xué)生更注重函數(shù)定義與定義域的理解，對于值域的掌握就不會太重視，但是在高考中，求解函數(shù)的值域也占有一定的比例，接下來研究研究函數(shù)的值域及求解方法。

[關(guān)鍵詞]函數(shù)；函數(shù)的值域；方法

就高中數(shù)學(xué)求函數(shù)的值域的問題，從不一樣的觀點(diǎn)，多角度的思考，選擇不同的方法去解決函數(shù)值域問題，進(jìn)而得到的正確的答案。函數(shù)的值域的定義如下：一般地，設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x∈A其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域。

一、直接法

通過題目了解數(shù)學(xué)題的特征，一些基本的數(shù)學(xué)題就可以直接做得到答案。

例 求y=2x+1，x∈{1，2，3，4，5}的值域。

解 講x=1，2，3，4，5分別代入y=2x+1。

計(jì)算得到函數(shù)的值域?yàn)閧3，5，7，9，11 }。

二、觀察法對給出的函數(shù)，根據(jù)已知函數(shù)的性質(zhì)，判斷出函數(shù)的值域。

例 求y=x+1，x∈{1，2，3，4，5}的值域。

解 因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)閧x|x≥0}，

所以x≥0，所以x+1≥1。

即函數(shù)y=x+1的值域?yàn)閇1，+∞）。

三、分離常數(shù)法

當(dāng)函數(shù)的形式為分式時(shí)且滿足y=ax+b[]cx+d（其中a，b，c，d是常數(shù)，且ac≠0），對于求這樣的函數(shù)的值域，就可以直接運(yùn)用分離常數(shù)法，關(guān)鍵點(diǎn)在于找到合適的式子，進(jìn)行變形，將分子常數(shù)分離。

例 求y=x[]x+1的值域。

解 因?yàn)閥=1-1[]x+1，定義域?yàn)閧x|x≠1}，

所以1[]x+1≠0。

所以y≠1，即函數(shù)y=x[]x+1的值域?yàn)閧y|y≠1}。

四、配方法

例 求y=5+4x-x2的值域

解 因?yàn)閥=5+4x-x2=-（x-2）2+9，又由5+4x-x2≥0。

即x2-4x-5≤0，（x+1）（x-5）≤0，-1≤x≤5。

所以函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，5]。

故當(dāng)x=2時(shí)，y取到最大值3；當(dāng)x=-1或5時(shí)，5+4x-x2=0

所以函數(shù)y=5+4x-x2的值域?yàn)閇0，3]。

五、函數(shù)單調(diào)性法在學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性之后，運(yùn)用單調(diào)性求函數(shù)值域。

例 求函數(shù)y=x+2x-1的值域。

解 因?yàn)?x-1≥0，所以x≥1[]2，又因?yàn)槭沁f增的，2x-1也是遞增的。

即f（x）是遞增的，所以f（x）≥1[]2，所以y≥1[]2。

六、數(shù)形結(jié)合法結(jié)合函數(shù)圖像或?qū)栴}轉(zhuǎn)化為幾何問題，使解題思路簡單化，易于理解。

例 已知y=|x-a|+|x-b|，求y的值域。

解 設(shè)在數(shù)軸中，點(diǎn)P（x，0）到A（a，0），B（b，0）兩點(diǎn)的距離的和。

P1，P2代表點(diǎn)P與點(diǎn)A，B的位置的變化，所以可以得到y(tǒng)≥|a-b|。

七、判別式法

利用“Δ”判別式，其中函數(shù)的形式是分?jǐn)?shù)形式，分子分母均是二次式且不能有公約式，分母的二次項(xiàng)不能為零，函數(shù)的定義域是R，一般函數(shù)的形式為y=a1x2+b1x+c1[]a2x2+b2x+c2，通常將函數(shù)化為等式后，要討論x2的系數(shù)是否為0。進(jìn)而確定y的取值范圍，即得函數(shù)的值域。

例 求y=x+1[]x2+x+1的值域，x∈R。

解 由題得yx2+yx+y-x-1=0。

yx2+（y-1）x+y-1=0，必有實(shí)根。

當(dāng)y=0時(shí)，-x-1=0，x=-1。

當(dāng)y≠0時(shí)，（y-1）2-4y（y-1）≥0。

所以-1[]3≤y≤1。

綜上所述，求函數(shù)的值域，對于不同的函數(shù)，要采取不同的方法去解決，在具體的求一個(gè)函數(shù)的值域時(shí)，需要仔細(xì)審題，找出函數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的特征，選擇正確的恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法，一般情況下，首先考慮直接法，在解題過程中，要注重知識的系統(tǒng)性，方法步驟的嚴(yán)謹(jǐn)性，綜合運(yùn)用求解函數(shù)值域的方法。

[參考文獻(xiàn)]

[1]教育部。普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）。北京：人民教育出版社，2003。

[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修1（A版）。3版。北京：人民教育出版社，2007。

[3]劉勇軍。 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)。第六期，2011。