數(shù)學解題方法之談

李萬河

構(gòu)造函數(shù)法是數(shù)學中一種重要的解題方法，是通過對問題的觀察、分析，恰當?shù)貥?gòu)造函數(shù)模型來達到解題目的的方法，筆者試圖通過一些典型試題的講評，淺談構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，供同行們所用。

1。構(gòu)造函數(shù)法解不等式

我們知道，抽象不等式的求解一般是借助于函數(shù)的單調(diào)性完成的，根據(jù)題意巧妙地構(gòu)造函數(shù)能使問題化繁為簡，輕松解決。

例1 函數(shù)f（x）的定域為R，f（0）=2，對任意x∈R，f（x）+f′（x）>1，則不等式ex·f（x）>ex+1的解集為。

分析 exf（x）′=ex·f（x）+ex·f′（x）=ex（f（x）+f′（x））因而本問題應(yīng)構(gòu)造函數(shù)g（x）=ex·f（x）+ex-1，問題轉(zhuǎn)化為g（x）>0即可。

解 令g（x）=exf（x）-ex-1，則g（0）=e0f（0）-e0-1=0，且

g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=exf（x）+f′（x）-1>0，因而g（x）在R上單調(diào)遞增，g（x）>0=g（0），故x>0，不等式的解集為{x|x>0}。

2。構(gòu)造函數(shù)法比較大小

例2 設(shè)函數(shù)f（x）是定義在[0，∞）上的非負可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′（x）+f（x）≤0，對任意的函數(shù)a，b，若a

A。af（b）≤bf（a） B。bf（a）≤af（b）

C。af（a）≤f（b）D。bf（b）≤f（a）

分析 由xf′（x）+f（x）≤0得，理應(yīng)聯(lián)想到xf（x）′≤0，從而應(yīng)構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），由g′（x）≤0得g（x）=xf（x）在[0，∞）上單調(diào)遞減，又a

觀察A，B選項的結(jié)構(gòu)可知，f（a）a和f（b）b的大小問題，再此聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）x，則h′（x）=xf′（x）-f（x）x2，由xf′（x）+f（x）≤0，f（x）≥0，得

xf′（x）≤0，xf′（x）+f（x）≤0，所以h′（x）≤0，從而h（x）在[0，∞）上單調(diào)遞減，又a0，b>0，故bf（a）≤af（b），選B。

本題巧妙地構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）x，從而利用函數(shù)的單調(diào)性比較了大小，此解法中構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）x是解決本題的關(guān)鍵。

3。構(gòu)造函數(shù)法解決函數(shù)綜合問題

例3 已知函數(shù)f（x）=1x-1，0

1-1x，x≥1。

（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）和[1，+∞）上的單調(diào)性（不必證明）。

（Ⅱ）當0

（Ⅲ）若存在實數(shù)a，b（1

求實數(shù)m的取值范圍。

解 （Ⅰ）f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增。

（Ⅱ）由已知1a-1=1-1b，故1a+1b=2。

（Ⅲ）由（Ⅰ）得，f（x）在x∈[a，b]上單調(diào)遞增，故f（x）∈1-1a，1-1b。

由題意得1-1a=ma，

1-1b=mb

即ma2-a+1=0（m>0），

mb2-b+1=0。

含g（x）=mx2-x+1（m>0），則a，b是g（x）的兩個大于1的零點。

因而m>0，

Δ>0，

x=12m>1，

g（x）>0，

解得0

解答（Ⅲ）的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x）=mx2-x+1（m>0），從而使問題等價轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點問題。

4。構(gòu)造函數(shù)法解決數(shù)列問題

例4 數(shù)列{an}滿足a0=13，an=1+an[]2，n=1，2，3，…

證明：數(shù)列{an}是單調(diào)數(shù)列。

分析 對數(shù)列的遞推關(guān)系an=1+an[]2，變形得到a2n=1+an-12，聯(lián)想到三角函數(shù)的降冪公式cos2θn=1+cos2θn2，所以不妨令an=cosθn，an-1=cos2θn=cosθn-1，考慮數(shù)列θn是公比為12 的等比數(shù)列，故有以下解法。

解 令a0=cosθ=13，且θ∈（0，π2），又an=1+an-1[]2，所以有a1=cosθ2，a2=cosθ4，a3=cosθ8，…，an=cosθ2n，

又因為0<θ2n<θ2n-1<…<θ4<θ2<θ<π2，所以cosθ2n>cosθ2n-1>…>cosθ4>cosθ2>cosθ，即 an>an-1>…>a2>a1>a0，所以數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列。

本文通過數(shù)列說明了構(gòu)造函數(shù)法在解答數(shù)學問題中的重要性，有時巧妙地構(gòu)造會使得問題變得更清晰和易于處理，思維新穎獨特，過程簡潔直觀，其難點和關(guān)鍵是構(gòu)造，這需要實踐中不斷地嘗試和運用才能熟練掌握。