掀起你的蓋頭來

宗新中

中學數學教學的首要任務就是加強解題的訓練，快速準確的解對題目是所有老師學生追求的目標。解題的速度與準確度取決于題目的難易程度，而題目的難易程度往往取決于條件的給出方式，條件給得顯性，則相對容易，條件給得隱性，則簡單題也可能變成難題。所謂隱性條件，是指題目中沒有直接表述，但是根據明文表述可以推斷出來的，或者沒有直接表述，但是該條件是客觀存在的常規或常理。隱性條件容易被解題者忽視，但往往又是解題的關鍵，暗示解題的思路和方法，決定解題的成敗。解題，從某種程度上來說，就是挖掘各種層次的隱含條件，從題目中透露出來的蛛絲馬跡，尋根溯源，使其真相大白，順利得解。兵法云：知己知彼方能百戰百勝。那么，那些“狡猾的敵人”通常隱藏在哪里呢？

一、條件隱藏在圖形特征中

代數和幾何是高中數學的重要內容，幾乎每個知識點都涉及數形結合的題目，圖文并茂的數學題目生動活潑，使題目顯得形象直觀，而圖形所具有的特征，往往就是解題的關鍵。圖形是輔助解題工具，數由形起，形由數生，抓住形的特征，解決數的問題，體會數形結合的數學思想，可以培養學生觀察分析問題的能力。

例1 如圖，已知O為△ABC外接圓的圓心，AB=AC，若AO=3mAB-nAC，且9m-3n=4，則cosA=。

思路分析：根據圖形的對稱性，得到3m=-n是解本題的關鍵。

解 由圖形對稱性可知 3m=-n，又∵9m-3n=4，解得m=29，n=-23。

∴AO=23（AB+AC），兩邊與2AB作數量積得：2AO·AB=43（AB2+AB·AC），

設AB=AC=x，由圖可知，2AO·AB=AD·AB=（AB+BD）·AB=AB2。

∴AB2=43（AB2+AB·BC）。即x2=43（x2+x2cosA），于是得cosA=-14。

二、條件隱藏在不變關系中

數學中的很多問題都是研究變量的問題，不少題目中，變量關系極其復雜，給人一種無從下手的感覺，而以常規的方式處理，可能運算量極大，若我們能從這些錯綜復雜的關系中找到其不變的關系，以“不變”應“萬變”，往往是解題的突破口。

例2 （2012江蘇）已知函數f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），若關于x的不等式f（x）

析 本題主要考察一元二次不等式的應用，以及根與系數的關系。本題突破口就是條件中的不變關系，不管m如何變化，解集的長度始終為6。可利用x1-x2=（x1+x2）2-4x1x2順利求解。

解 由f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），得：Δ=a2-4b=0。

不等式f（x）

（m+6）-m=a2-4（b-c）=4c，∴c=9。

三、條件隱藏在特殊字眼中

數學題目的描述語言一般比較通俗直白，極少渲陳鋪墊，但有時題干中也有一些數學中常見的特殊字眼，如“唯一，至多，至少，有且僅有，任意，存在……”等。看似平常，卻往往是解題的突破口，于“特殊”處生疑，是常用的解題思路。平時應多注意利用這些特殊“字眼”去挖掘隱含條件，不但能培養學生的讀題審題析題能力，而且能提高學生的數學嗅覺。

例3 已知兩個等比數列{an}，{bn}滿足a1=a（a>0），b1=a1+1，b2=a2+2，b3=a3+3，且數列{an}是唯一的，則a=。

析 本題條件中的“唯一”兩字顯得突兀，數列為什么會唯一？“唯一”怎么去用？這很有可能是解決問題的關鍵。經過分析之后可知，數列的唯一轉化為了方程有唯一的非零解。

解 設等比數列{an}的公比為q，則數列{an}的前三項分別為a，aq，aq2，

則數列{bn}的前三項分別為a+1，aq+2，aq2+3。

∵{bn}是等比數列，

∴ （aq+2）2=（a+1）（aq2+3）。

整理，得：aq2-4aq+3a-1=0（a>0）。

∵a>0，故Δ=4a2+4a>0，即關于實數q的一元二次方程一定有兩個不相等的實數根。

又因等比數列公比q≠0是唯一的，故一元二次方程aq2-4aq+3a-1=0必有一根是0

即a=13滿足條件，此時，數列{an}，{bn}前三項都符合題意。

四、條件隱藏在數學定義中

數學定義都是經過千錘百煉的經典，每個條件每個字都值得去推敲。概念定義的學習理解應該是學習的重中之重，有些題目就在這上面做文章，故意混淆定義，或者偷換概念，使得題目看上去平淡無奇卻暗藏“殺機”，解題時看似合理，卻似是而非，最終功虧一簣。在平時的學習過程中應重視定義概念生成的學習，讓學生去體會，只有真正理解清楚了，才不會被其“繞進去”。

例4 若數列{an}前項和為Sn，a1=1，an+1=3Sn（n≥1），則an=。

錯解 由題意可知，an+1=3Sn（n≥1），∴n≥2時，an=3Sn-1，兩式相減得：an+1an=4。

∴{an}是等比數列。故an=4n-1。

析 這個答案看似有理，其實卻與等比數列的定義不符，主要是沒有抓住隱含在等比數列定義中的一個條件“從第二項起”，而本題中an+1an=4（n≥2）卻是從第三項開始的，容易忽視。故正確結果為an=1n=13·4n-2n≥2。

五、條件隱藏在題目結構中

有些題目看上去思路很清晰，但是用常規的方法做起來計算量比較大，費時費力。若能仔細觀察題目中表達式的構成特征，從題目結構出發，合理的進行特殊化處理，往往能出奇制勝，省時省力。特殊化處理的方式在做填空題時的效果尤其明顯，往往事半功倍。常見的特殊化處理方法有：特殊圖形，特殊位置，特殊數值，特殊模型等。

例5 （2010 江蘇）在銳角三角形中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c。若ba+ab=6cosC，則tanCtanA+tanCtanB的值是。

解析 本題考察正弦定理角化邊的運算，計算量大，得分率低。但如果仔細觀察題目的構成特征，將a，b輪換，發現表達式不變。故可從表達式的結構入手，特殊化處理。所以不妨令a=b，從而簡化運算，快速得到答案。

解 令a=b，則cosC=13。∴tanC=22，于是tan（A+B）=tan2A=-tanC=-22。

∴tanA=2=tanB，∴原式=4。

六、條件隱藏在變量范圍中

函數問題是高中數學最重要的問題之一，函數與方程的思想是重要的數學思想。但是在解決函數問題時，常容易忽視自變量的取值范圍，從而導致解題的不準確，甚至差之毫厘謬以千里。這種情況在三角函數中尤為明顯，常因為忽視了角的范圍而導致取值范圍錯誤。因此我們在研究任何一類函數問題時，一定要優先考慮定義域，算準范圍，以免前功盡棄。

例6 在銳角三角形ABC中，BC=1，B=2A，則ACcosA的值等于，AC的取值范圍為。

錯解 由正弦定理得：ACsin2A=BCsinA，

∴ACcosA=2，AC=2cosA。

∵△ABC是銳角三角形，∴0

析 本題主要利用正弦定理將邊轉化為角進而去求范圍。△ABC是銳角三角形，不僅僅限制角A，同樣限制B，C，相互制約，容易忽視。所以還要滿足0

七、條件隱藏在解題過程中

有些題目題意新穎，語言抽象，乍一看，似乎沒有任何的“破綻”，讓人感覺一籌莫展，無從下手。這時不能著急，要仔細的閱讀題目，“摸著石頭過河”，寫一寫，算一算，再看一看，說不定就在寫的過程中發現“蛛絲馬跡”，使得整道題目豁然開朗。解題不能輕易放棄，要敢于下筆，要重視過程，邊做邊思考，山重水復疑無路處，說不定就是柳暗花明時。

例7 定義函數f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數，如：[1。5]=1，[-1。3]=-2，當x∈[0，n）（n∈N）時，設函數f（x）的值域為A，記集合A中的元素個數構成一個數列{an}，則數列{an}的通項公式為。

分析 本題理解起來比較困難，都是符號語言，很抽象。通過分析，既然是數列求通項公式，那就要抓住數列的特征，特征體現在哪里？數列中的項。作為一道填空題，在無法直接求出通項公式的時候，不妨先寫出前幾項看看，看看項有沒有什么規律，在寫的過程中發現：

當n=1時，定義域為x∈[0，1），函數f（x）的值域為{0}，此時a1=1；當n=2時，定義域為x∈[0，2），函數f（x）的值域為{0，1}，此時a2=2；當n=3時，定義域為x∈[0，3），函數f（x）的值域為{0，1，4，5}，此時a3=4；當n=4時，定義域為x∈[0，4），函數f（x）的值域為{0，1，4，5，9，10，11}，此時a4=7；……通過觀察前四項，我們得到一個重要的條件： an-an-1=n-1，根據此遞推公式再利用累加法可求得an=n（n-1）2+1。

當然，隱含條件的給出方式遠不止這幾種，可謂形形色色，防不勝防。但是萬變不離其宗，只要我們在平時的教學過程中注重夯實學生的基礎知識，注重優化學生的思維方式，注重培養學生的解題習慣，隱含條件就將無所遁形。同時，我們也應該看到隱含條件其實是把雙刃劍，教學過程中我們要充分利用它，不但要利用它來解決問題，還要利用它來教育學生，讓學生在發現它的過程中體會數學的嚴謹與精彩，從而激發學生學習數學的興趣，提高其數學解題能力。