從高考試題看高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧

趙倬

[摘要]結(jié)合具體的實(shí)例對(duì)圓錐曲線部分在高考中的出題策略予以剖析，以期證實(shí)上述的思想方法對(duì)于解答圓錐曲線類題目是不可缺少的解題技巧。

[關(guān)鍵詞]高考試題；圓錐曲線；解題技巧

一、在高考試題下看數(shù)學(xué)試題

在近些年的高考試題中，圓錐曲線的出題方式一般以一個(gè)客觀題和一個(gè)分布在試卷靠后位置的主觀題項(xiàng)目為主。圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線，雖然屬于平面圖形，但是解析幾何的直觀在這里從對(duì)概念的理解開始便在發(fā)揮作用。圓錐曲線的命題重點(diǎn)首先圍繞著對(duì)象的概念和性質(zhì)來展開，其次是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。先行從代數(shù)的角度學(xué)習(xí)直線和圓的性質(zhì)，從對(duì)對(duì)象的直觀理解中躍入解析幾何的抽象領(lǐng)域，圓錐曲線部分要求學(xué)生從一開始就在發(fā)散思維的原則下超越到完全以方程的思想來約束并把握?qǐng)A錐曲線的幾何性質(zhì)。隨著對(duì)其性質(zhì)探討的逐步深入，在思想方法上將會(huì)涉及數(shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想、分類討論的思想以及函數(shù)與方程的思想等。因?yàn)橐詧A錐曲線為主題的試題變體很多，所以在對(duì)具體試題的處理過程中，還要求在綜合運(yùn)用這些思想方法的同時(shí)，學(xué)生具備一定程度的計(jì)算能力。

二、高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧

下面這部分試題圍繞著圓錐曲線的基本知識(shí)，在與方程的待定系數(shù)法相結(jié)合的過程中，復(fù)合有其他平面幾何圖形的知識(shí)。或是說，題目的設(shè)計(jì)技巧體現(xiàn)在圓錐曲線信息的有效性取決于先行的其他平面幾何圖形的知識(shí)的有效性，例如三角形。

1。客觀題部分

例1 （新課標(biāo)2·2015）已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為（ ）。

A。5 B。2 C。3 D。2

解析 該題的核心知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)：等腰三角形的性質(zhì)；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)。①將雙曲線方程設(shè)定為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），如圖；②因?yàn)锳B=BM，∠ABM=120°，過點(diǎn)M作MN垂直于X軸，垂足為N，在Rt△BMN中，求得BN=a，MN=3a，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2a，3a），③根據(jù)雙曲線方程、c2=a2+b2以及離心率e=ca（e>1），可以求的c2=2a2，e=2，因此本題選D。本題涉及的基本思想方法是待定系數(shù)法。

2。主觀題部分

首先，是數(shù)形結(jié)合的思想方法，這種思想方法特點(diǎn)在于將圓錐曲線從平面的角度視為一種運(yùn)動(dòng)中的軌跡，在此背景下，題目的考核目標(biāo)往往是與軌跡相關(guān)的邊緣域問題、定值問題、最值問題等。

例2 （山東·2015）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x24a2+y24b2=1（a>b>0）的離心率為32，左、右焦點(diǎn)分別是F1和F2，以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上。

（Ⅰ）求橢圓C的方程。

（Ⅱ）設(shè)橢圓E；x24a2+y24b2=1，p為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線y=kx+m交橢圓E于A和B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q。

（ⅰ）求OQOP的值。

（ⅱ）求△ABQ面積的最大值。

解析 本題的核心知識(shí)點(diǎn)有：橢圓的定義；韋達(dá)定理與最值問題；橢圓與直線的位置關(guān)系問題。①根據(jù)橢圓的定義2a是定值，以及e=32，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求的a=2，b=1，因此橢圓的方程為C：x24+y2=1。②根據(jù)題意，設(shè)OQOP=λ，P（x0，y0），則Q（-λx0，-λy0）。又x24a2+y24b2=1，所以將P和Q帶入方程解得，λ=2，所以O(shè)QOP=2。③根據(jù)題意設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）。將y=kx+m帶入方程x216+y24=1得到（1+4k2）x2+8kmx+4m2-16=0，根據(jù)韋達(dá)定理，由Δ>0，m2<4+16k2（Ⅰ）；x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-161+4k2，x1-x2=416k2+4-m21+4k2。因?yàn)橹本€y=kx+m與軸焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m），所以△ABO的面積為S=12mx1-x2=24-m21+4k2m21+4k2，令m21+4k2=t，由Δ≥0，可得m2≤1+4k2（Ⅱ）。由（Ⅰ）和（Ⅱ）可得，0

與數(shù)形結(jié)合的思想方法相適應(yīng)的題目類型有：圓錐曲線通過構(gòu)造出的三角形關(guān)系，與直線、韋達(dá)定理、函數(shù)的最值問題等建立起邏輯關(guān)聯(lián)，依靠代數(shù)法或幾何法解題，其中涉及例如聯(lián)立方程法、整體消元法等解題技巧，強(qiáng)化計(jì)算能力，助力高考。

其次，是化歸、分類討論以及函數(shù)與方程的思想方法，將這幾種思想方法綜合起來看，它主要強(qiáng)調(diào)考生通過建立起圓錐曲線與方程之間的關(guān)聯(lián)，在簡化思想模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)行有效地推理與論證。建立在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上，分類鎖定知識(shí)背景中的相關(guān)考點(diǎn)，化歸簡化思想路徑，最終用代數(shù)轉(zhuǎn)方程來表達(dá)圓錐曲線與關(guān)聯(lián)對(duì)象之間的相互關(guān)系（例題略）。

三、總 結(jié)

在對(duì)圓錐曲線問題的解答中，需要考生靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，綜合性的考慮各種可行性方案與可能的因素，配合一定的解題技巧和計(jì)算能力給出答案。