由“將軍飲馬”問題模型淺談多題一解的思維方法

周相榮

多題一解是指把型異質(zhì)同或型近質(zhì)同的問題進行歸類分析，抓住共同題目本質(zhì)就能弄通一題而旁通多題。多題一解的思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生應(yīng)掌握的基本解題方法和解題模式，它不僅能使學(xué)生形成必要的解題技能，還能使學(xué)生掌握一種探索數(shù)學(xué)問題的工具。也

是培養(yǎng)學(xué)生收斂性思維的重要途徑。下面就教材中利用“將軍飲馬”問題來解決的幾種數(shù)學(xué)類題，談?wù)劧囝}一解的思維方法。

問題來源

圖 1

早在古羅馬時代，傳說海倫是亞歷山大城的一位數(shù)學(xué)家。一天，有位羅馬將軍專程去拜訪他，請教一個百思不得其解的問題。他每天從軍營山峰A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的營地B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此，這個問題被稱為“將軍飲馬”問題廣泛流傳。

建立模型

圖 2

直線a的同側(cè)有兩個定點AB，在直線上找一點P，使AP+BP的值最小。

作點A關(guān)于直線的對稱點A1，易知AP=A1P，根據(jù)“兩點之間線段最短”

原理可知，當點P運動到點E（A1、E、B共線）所在位置時，AP+BP=A1P值最小。

這是中學(xué)幾何教學(xué)中一個重要的基本模型。其本質(zhì)是“求距離的和最小”問題，在教學(xué)中不僅要使學(xué)生知道如何解決問題，而且要使學(xué)生體會到解決問題所用到的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想和模型思想，所用方法是對稱的方法。

類題歸解

（一）平面直角坐標中的最值問題

圖 3

例1 如圖3，點A，B的坐標分別為（-1，1），（3，2），P為X軸上一點，且到A，B的距離之和最小，求P點的坐標？

解析 此題雖是求坐標軸上點的坐標，但點的確定仍然是應(yīng)用“將軍飲馬”問題中的數(shù)學(xué)思維方法，屬同質(zhì)類型的數(shù)學(xué)問題。作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，則C（-1，-1）。連接BC，與x軸交于點P，此時AP+BP最小。直線BC的解析式為y=34x-14，y=0，得x=13，故P（13，0）。

（二）代數(shù)中的最值問題

例2 求代數(shù)式x2+12+（4-x）2+42的最小值。

解析 此題純代數(shù)問題，利用代數(shù)方法解決很麻煩，如果轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)思維方法，利用“將軍飲馬”問題模型中的圖形特征，來巧妙的構(gòu)造幾何圖形，問題就迎刃而解了。構(gòu)圖思路如下取AB=4，作AC⊥AB，BD⊥AB，AC=1，BD=2。作點C的對稱點C′，連接C′D交AB于點P。設(shè)AP=x，則BP=4-x，此時CP+PD=x2+12+（4-x）2+42且最小。過點C′作DB延長線的垂線交于點E，故CP+PD=C′P+PD=C′D=42+32=5。

（三）圖形變換中的最值問題

圖 4

例3 已知：如圖4，Rt△ABC中，BC=2，AC=2，∠ACB=90°，D點為BC邊上的中點，E是AB邊上一動點，求EC+ED的最小值。

圖 5

解析 由于C、D兩點分布在線段AB的同側(cè)，且點E為線段AB上一動點，要使EC+ED的最小值，聯(lián)想到“將軍飲馬”問題模型中的基本圖形，以CA、BC為邊構(gòu)造正方形ACBF，則點F是C點關(guān)于AB的對稱點，連接DF交AB于點E，則此時EC+ED的值最小。

在Rt△DBF中，有EC+ED=EF+ED=DF=BD2+BF2=12+22=5。

說明 此圖構(gòu)造利用翻折變換，構(gòu)建定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，在不改變線段長度的前提下改變其位置，化同側(cè)為異側(cè)，化折為直，找出相應(yīng)位置，并求出最小值。其出題變換背景常有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物線等類型，這里不一一列舉。

思維歸納

通過分析可以看出：上述類型題目都具有“一條直線同旁有兩個定點，在直線上確定一動點的位置，使動點到兩定點距離之和最小”的本質(zhì)特征。解決此類問題的總體思路是：抓住“兩點之間線段最短”這一基本模型，找出點關(guān)于線的對稱點，實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，不管題目的形式發(fā)生如何變化，學(xué)生只要抓住“將軍飲馬”問題模型中的圖形特征，靈活巧妙的構(gòu)造其幾何圖形，就能利用數(shù)形結(jié)合的思維方法去解決。

由此，教師在平時數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注重典型性習(xí)題的選擇，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會對題目的條件和結(jié)論進行分析，抓住題目的圖形的本質(zhì)特征，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并能在類題中靈活地根據(jù)數(shù)學(xué)模型特征構(gòu)造幾何圖形，逐步激發(fā)學(xué)生向“同質(zhì)異型”的知識點進行深層次探索，從解決問題上升到分析問題，由表及里，抓住問題的本質(zhì)，善于反思和歸納，總結(jié)出“一類題目”解決的思維方法，進而應(yīng)用此思維方法解決“同質(zhì)”的相關(guān)類題。培養(yǎng)了學(xué)生“多題一解”的解題意識，提高了學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的收斂性思維。