角平分線的向量視角

譚亞英

先給出以下結論：

命題 如圖1，若OA=a，OB=b，P是∠AOB的平分線上的任意一點，則

圖 1

OP=taa+bb，t≥0。（）；反之，若點P滿足（）（t∈R），則P在∠AOB的平分直線上。

證明 命OA0=aa，OB0=bb。

由于OA0=OB0=1，所以平行四邊形A0OB0P0是菱形，

則OP0平分∠AOB。

因為P是∠AOB的平分線上的任意一點，則有OP=tOP0=tOA0+OB0，t≥0。

也即OP=taa+bb，t≥0。（）

反過來，若點P滿足（）（t∈R），則P在菱形A0OB0P0的∠A0OB0的平分線上，也即在∠AOB的平分直線上。

利用上述角平分線的向量結論，可以簡便快捷地解決一些與之相關的數學問題，其中包括近些年來的一些高考試題。

例1 如圖2，在△ABC中，AD是∠A的平分線，a，b，c為其三邊長。

（1）求證：BDDC=cb；

（2）求AD的長。

圖 2

分析 （1）由（）可得

AD=tABc+ACb=tcAB+tbAC。①

∵B，D，C三點共線，∴tc+tb=1t=bcb+c。代入①得

AD=bb+cAB+cb+cAC。②

BD=AD-AB=bb+cAB+cb+cAC-AB

=-c1b+cAB-1b+cAC。

DC=AC-AD=AC-bb+cAB-cb+cAC

=-b1b+cAB-1b+cAC。

故BDDC=BDDC=cb。

（2）在②兩邊平方，得

AD2=1b+c2b2·AB2+2bcAB·AC+c2·AC2=2bcb+c2bc+AB·AC。③

又AB-AC=CBAB·AC=AB2+AC2-CB22=c2+b2-a22，代入③

可得AD=bcb+c2-a2b+c。

前述證法，與傳統的平面幾何證明方法大

為不同，別具一格，充分顯示了向量的工具作用。

在本題中，若AD是∠A的外角平分線，如

圖3，不妨利用命題，證明BDDC=cb，

并求出外角平分線長AD。

證明過程由讀者完成。

最后，我們來看涉及角平分線的高考或競賽的向量試題：

例2 O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP=OA+λ（ABAB+ACAC），λ∈0，+∞，則P的軌跡一定通過△ABC的（ ）。

A。外心 B。內心 C。重心 D。垂心

簡析 由已知等式可得

AP=λ（ABAB+ACAC），λ∈0，+∞。

由命題可知，P在△ABC的∠AD的平分線上，故選B。

例3 在直角坐標系xoy中，已知點A0，1和點B-3，4，若點C在∠AOB的平分線上且OC=2，則OC=。

簡析 利用命題有

OC=±2OAOA+OBOBOAOA+OBOB=±-105，3105。

例4 已知非零向量AB與AC滿足ABAB+ACAC·BC=0，且ABAB·ACAC=12則△ABC為（ ）。

A。三邊均不相等的三角形

B。直角三角形C。等腰非等邊三角形D。等邊三角形

簡析 由命題，從ABAB+ACAC·BC=0知，∠A的平分線垂直對邊BC，故

△ABC為等腰三角形；從ABAB·ACAC=12知，cosA=12A=60°。

故△ABC為等邊三角形，選D。

例5 已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足（a-c）·（b-c）=0，則c的最大值是（ ）。

A。1 B。2 C。2 D。22

圖 3

簡析 如圖3，OA=a，OB=b。過O，A，B作圓，

由于a，b是互相垂直的單位向量，由直觀可得，

圓上異于O，A，B的任意一點C都滿足（a-c）·（b-c）=0。

顯然，當點C在∠AOB的平分線上，即直徑OC最大，即cmax=2。選C。

例8 已知點I為△ABC的內心，AC=2，BC=3，AB=4，若

AI=xAB+yAC，則x+y的值為（ ）。

A。13 B。23 C。49 D。59

簡析 借助⑦AI=bca+b+cABc+ACb，

得AI=2×43+2+4AB4+AC2=29AB+49AC。

即x+y=29+49=23。選B。

命題推廣到空間的情形，留給讀者探究。