加快慢級數(shù)收斂速度的方法和案例研究

洪明理　　霍振香　王福昌

[摘要]把收斂速度較慢的級數(shù)變成另一個收斂較快的級數(shù)在數(shù)值計算中具有非常重要的實際意義。本文主要介紹三種加快慢級數(shù)收斂速度的方法，并構(gòu)造案例說明它們在提高慢級數(shù)收斂速度取得的效果。這些內(nèi)容可以作為課堂教學(xué)的重要補充，豐富學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)。

[關(guān)鍵詞]級數(shù)；收斂速度；數(shù)值計算

[基金項目] 防災(zāi)科技學(xué)院高等數(shù)學(xué)教學(xué)團(tuán)隊基金資助項目（JT201312）

引 言

級數(shù)是牛頓和萊布尼茲微積分工作的一個重要部分。在18世紀(jì)，甚至今天，無窮級數(shù)一直被認(rèn)為是微積分的一個不可缺少的組成部分。它們是研究和計算復(fù)雜的代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)的最富有成效的工具[1]。很多超越函數(shù)，只有把它們表示成級數(shù)并進(jìn)行微分和積分，人們才能處理它們。除了用于微積分之外，級數(shù)的主要應(yīng)用在于數(shù)值計算，如計算π，e等特殊的量以及對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)等。但是有些級數(shù)收斂得太慢太慢，對于計算來說幾乎不能使用。例如萊布尼茲在1674年得到了有名的結(jié)論：

π4=1-13+15-17+…

但是要利用該級數(shù)計算π，即使要達(dá)到阿基米德已經(jīng)取得的小數(shù)點后3位的精度，也得算到100000項。這樣的收斂速度對于計算來說作用不大。因此，研究如何把收斂較慢的級數(shù)變成另一個收斂較快的級數(shù)在近似計算中具有非常重要的實際意義。 本文將分別介紹加速級數(shù)收斂三種變換方法，并結(jié)合案例說明這些方法在提高慢級數(shù)收斂速度的作用。

1。Kummer變換

定理1（[4]） 已知級數(shù)∑∞n=0an和∑∞n=0cn收斂，且 ∑∞n=0cn=c，若limn→∞ancn=λ≠0，則可對∑∞n=0an

作如下線性變換：∑∞n=0an=λc+∑∞n=0（1-λcnan）an。

Kummer變換通過一個和已知的級數(shù)求其他級數(shù)的和，這種變換具有加快級數(shù)收斂的作用。

例1 利用∑∞n=01n（n+1）（n+2）=14對∑∞n=11n3進(jìn)行kummer變換∑∞n=11n3=14+∑∞n=13n+2n3（n+1）（n+2）。

計算∑∞n=11n3的前100項的和為1。2020，其精度為10-4。而變換后的級數(shù)要達(dá)到同等的精度，只需計算到前50項。

kummer變換提高收斂速度的效果比較有限，在很多近似計算中往往無法滿足實際的要求。

2。Euler變換

18世紀(jì)，歐拉提出了歐拉變換[3]，變換方法如下定理。

定理2 設(shè)交錯級數(shù)∑∞n=0（-1）nan（an≥0）收斂，則可對其作如下的變換：

∑∞n=0（-1）nan=∑∞n=0（-1）nΔna02n+1，

其中Δna0=∑nm=0（-1）mCmnan-m，且和不變。

Euler變換在計算交錯時具有明顯加快交錯級數(shù)收斂的作用。

例2 利用萊布尼茲定理，如果取交錯級數(shù)∑∞n=0（-1）nn+1前n項的和作為級數(shù)和的近似值，余項的絕對值rn+1

變換后的級數(shù)要達(dá)到同等的精度，只需計算到Δ7。

對于一般的收斂級數(shù)∑∞n=0un，我們可以通過加括號的方法將其轉(zhuǎn)化成交錯級數(shù)，再進(jìn)行歐拉變換。

∑∞n=0un=（u1+u2+…un1）+（un1+1+un1+2+…un2）+…（unk-1+1+unk-1+2+…unk）+…=a1+a2+…+ak+…

其中ak與ak+1（k=1，2，3，…）異號。即有∑∞n=0un=∑∞k=0（-1）kak。這時候就可以用歐拉變換

進(jìn)行計算，直到前n項的和Sn=∑nk=0（-1）kΔka02k+1滿足我們所需的相對精度ε，即計算到

Sn+1-SnSn<ε

為止。

3。利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式進(jìn)行變換

情形1套用函數(shù)的冪級數(shù)展開式，將數(shù)項級數(shù)的一般項表示成級數(shù)的形式，從而把該數(shù)項級數(shù)表示累級數(shù)，再通過交換求和符號的順序加速級數(shù)收斂。

例3 對于級數(shù)∑∞k=21klnkk-1，

利用ln（1+x）的冪級數(shù)展開公式ln（1+x）=∑∞n=1（-1）n-1nxn，-1

知-xln（1-x）=∑∞n=1（-1）n-1n（-x）n+1=∑∞n=1xn+1n，-1

∑∞k=21klnkk-1=∑∞k=2-1kln（1-1k）=∑∞k=2∑∞n=11n1kn+1。

由∑∞k=21klnkk-1收斂，知∑∞k=2∑∞n=11n1kn+1收斂，從而∑∞k=2∑∞n=11n1kn+1=∑∞n=1∑∞k=21n1kn+1（[2]），因此∑∞k=21klnkk-1=∑∞n=1∑∞k=21n1kn+1=∑∞n=1ζ（n+1）-1n，其中ζ（n）=∑∞k=11kn為黎曼zeta函數(shù)。變換后的級數(shù)比原級數(shù)的收斂速度具有明顯的提高。經(jīng)數(shù)值計算顯示：∑∞n=1ζ（n+1）-1n前10項的和為0。7885，精度為10-4。而原級數(shù)∑∞k=21klnkk-1要達(dá)到同等的精度，必須計算到2×104項。

情形2 利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式，將收斂速度慢的級數(shù)轉(zhuǎn)化為收斂速度快的級數(shù)。

例4 對級數(shù)∑∞n=1（-1）n-11n，由ln（1+x）=∑∞n=1（-1）n-1nxn，-1

從而ln1+x1-x=ln（1+x）-ln（1-x）=2x+13x3+15x5+…，-1

∑∞n=1（-1）n-11n=ln2=ln1+1[]31-1[]3=213+13133+15135+17137+…。

顯然轉(zhuǎn)換后的級數(shù)的收斂速度要快得多。如果取轉(zhuǎn)換后的級數(shù)的前n項作為∑∞n=1（-1）n-11n的近似值，要使得誤差

212n+1132n+1+12n+3132n+3+12n+5132n+5+…<14132n-1<10-4。只需n≥5。但是如果直接計算∑∞n=1（-1）n-11n的和，要達(dá)到10-4的精度，則必須計算到10000項。

[參考文獻(xiàn)]

[1]莫里斯 克萊因著。朱學(xué)賢，申又棖，葉其孝等譯。《古今數(shù)學(xué)思想》第二冊。2002，p161。

[2]《數(shù)學(xué)手冊》編寫組，《數(shù)學(xué)手冊》，高等教育出版社，1979，p189。