重拾高等代數(shù)中的兩個定理

方又超

[摘要]矩陣的初等變換是學(xué)習(xí)高等代數(shù)的一個重要工具，用初等矩陣可建立初等變換所施行的前后對象間的關(guān)系等式，其形式往往是在變換前的對象的左邊或右邊乘以一個初等矩陣得到變換后的對象。由于初等矩陣是可逆的，而可逆矩陣可以從等式兩邊約去，因此能保證初等變換所施行的前后對象具有一些共同的代數(shù)性質(zhì)。本文用可逆矩陣可從等式兩邊約去這一性質(zhì)簡明地探討了高等代數(shù)中的兩個定理。

[關(guān)鍵詞]初等變換；初等矩陣；可逆；同解；極大線性無關(guān)組

[中圖分類號]O151。2

1。引 言

初次接觸“線性方程組的初等變換是同解變換”這一定理時，覺得這是顯而易見的，但要寫下其證明過程又覺得不那么容易，主要是不清楚施行初等變換前后的兩個線性方程組的整體關(guān)系等式，證明過程較多地采用描述性的語言，顯得有點繁瑣。定理：矩陣的行初等變換不改變矩陣的列秩；矩陣的列初等變換不改變矩陣的行秩。在文獻[2]中的證明過程關(guān)鍵依賴于線性方程組的初等變換是同解變換這一定理，其中的有些細節(jié)對初學(xué)者有一定的難度，主要還是不清楚變換前后的兩個矩陣的列向量間的具體點的關(guān)系式。文獻[1]在處理前一個定理和文獻[2]在處理后一個定理時都還沒有編排到矩陣乘法、初等矩陣等內(nèi)容。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個漸進的過程，對于一開始較難理解的某些數(shù)學(xué)問題，只要不對后繼學(xué)習(xí)產(chǎn)生嚴(yán)重障礙，我們可以放一放，待進一步的學(xué)習(xí)之后，回過頭再作思考。學(xué)習(xí)了矩陣乘法、初等矩陣和可逆矩陣這些內(nèi)容后，可對這兩個定理的證明作適當(dāng)?shù)靥幚恚M一步明確原證明中的一些細節(jié)，真正地理解原證明。

2。對兩個定理的證明處理

在分別對這兩個定理作簡明證明之前，我們先提出如下的顯而易見的引理。

引理 設(shè)A∈Fm×n，B∈Fm×l，P是數(shù)域F上的一個m階可逆矩陣，則矩陣方程AX=B與（PA）X=PB同解。

該引理表明可逆矩陣可以從等式兩邊約去，可逆矩陣在代數(shù)式的恒等變形中起到關(guān)鍵作用。

定理1 線性方程組的初等變換是同解變換。

證明 設(shè)含有n個未知量m個方程的線性方程組為AX=b，

其中A∈Fm×n，X=（x1，x2，…，xn）T，b=（b1，b2，…，bm）T。對該線性方程組施行一次線性方程組的初等變換，相當(dāng)于在該線性方程組的兩邊同時左乘一個相應(yīng)的初等矩陣，即AX=b施行一次線性方程組的初等變換后所得的線性方程組為（PA）X=Pb，其中P為所施行的初等變換對應(yīng)的初等矩陣（如對AX=b施行第i個方程的k倍加到第j個方程的線性方程組的初等變換后所得線性方程組為[Tji（k）A]X=Tji（k）b）。因為初等矩陣P可逆，由引理可知AX=b與（PA）X=Pb同解。即線性方程組的初等變換不改變線性方程組的解。（證畢）

注1：若把m行n列矩陣A的n個列向量記為α1，α2，…，αn，b=β，P為一個m階

可逆矩陣，則線性方程組

x1α1+x2α2+…+xnαn=β

與x1（Pα1）+x2（Pα2）+…+xn（Pαn）=Pβ

同解。

定理2 矩陣的行初等變換不改變矩陣的列秩；矩陣的列初等變換不改變矩陣的行秩。

證明 這里只證明“矩陣的行初等變換不改變矩陣的列秩”。

已知A是數(shù)域F上一個m行n列的矩陣，α1，α2，…，αn是A的n個m維列向量。若A經(jīng)過一系列的行初等變換后所得矩陣是B，設(shè)B的n個列向量為β1，β2，…，βn，由A經(jīng)過一系列的行初等變換后得到矩陣B可知，存在一個可逆矩陣P，使得B=PA，即（β1，β2，…，βn）=P（α1，α2，…，αn），也即βi=Pαi（i=1，2，…，n）。設(shè)A的列秩為r，{α1，α2，…，αn}的一個極大線性無關(guān)組為{αi1，αi2，…，αir}，由注1可知齊次線性方程組x1αi1+x2αi2+…+xrαir=0與齊次線性方程組x1Pαi1+x2Pαi2+…+xrPαir=0同解，因為{αi1，αi2，…，αir}是線性無關(guān)組，所以x1αi1+x2αi2+…+xrαir=0只有零解，因而x1Pαi1+x2Pαi2+…+xrPαir=0只有零解，即Pαi1，Pαi2，…，Pαir線性無關(guān)，也即βi1，βi2，…，βir線性無關(guān)；反之，若βi1，βi2，…，βir線性無關(guān)，則αi1，αi2，…，αir也線性無關(guān)。同理可證，若有線性表示式

αi=k1αi1+k2αi2+…+krαir（i=1，2，…，n）。

則也有線性表示式

βi=k1βi1+k2βi2+…+krβir（i=1，2，…，n）。

反之亦然，即{βi1，βi2，…，βir}是{β1，β2，…，βn}的一個極大線性無關(guān)組，即B矩陣的列秩也是r。綜上可知矩陣的行初等變換不改變矩陣的列秩，且{αi1，αi2，…，αir}是{α1，α2，…，αn}的一個極大線性無關(guān)組的充要條件是{βi1，βi2，…，βir}是{β1，β2，…，βn}的一個極大線性無關(guān)組。

3。總 結(jié)

以上重新處理兩個定理的過程，關(guān)鍵用到一個簡單的原理：可逆矩陣可以從等式兩邊“約去”，即文中引理。這種類似“約分”的技巧在初等數(shù)學(xué)中較常見，在高等代數(shù)的教學(xué)過程中適當(dāng)類比初等數(shù)學(xué)的處理方法，可能對我們的學(xué)生有所幫助。另外，可逆矩陣本質(zhì)上是一些初等矩陣的乘積，初等矩陣是為了準(zhǔn)確刻畫矩陣的初等變換過程的數(shù)量關(guān)系引入的一種特殊的矩陣，而矩陣的初等變換根源于線性方程組的初等變換。我們從具體的線性方程組的求解抽象出矩陣的初等變換，深入探討矩陣的初等變換后回過頭來重新認(rèn)識線性方程組的求解，遵循著從“具體到抽象”，再由“抽象到具體”的思維過程。在這種交互的過程中，我們的認(rèn)識前進了一小步。