從“解決問題”到“問題解決”究竟有多遠

王宏　夏永立

一、“問題解決”與“解決問題”的聯(lián)系與區(qū)別

“問題解決”作為數(shù)學(xué)的課程目標，意味著這個“問題”還沒有解決，是課程教學(xué)所要達到的目標、結(jié)果。而“解決問題”，一方面是指數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，通過教學(xué)活動，這個“問題”將要被解決；另一方面，“解決問題”還包含著解決問題的方法、過程。因此，“問題解決”與“解決問題”，既是課程目標與課程內(nèi)容的關(guān)系，又是課程目標與解決問題方法、過程的關(guān)系。

“解決問題”和“應(yīng)用題”同屬于課程內(nèi)容。“應(yīng)用題”多數(shù)是以文字形式呈現(xiàn)的，條件和問題剛好匹配的題目，學(xué)生解題時不需要自己去收集信息、發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。部分學(xué)生只根據(jù)個別關(guān)鍵字詞來掌握題型，根據(jù)題型套解題公式，學(xué)生善于解決與例題相同的問題，不會解決變式問題和生活中的現(xiàn)實問題，更不會發(fā)現(xiàn)和提出問題。

“問題解決”不等同于解答應(yīng)用題，比之更為寬泛，價值取向也發(fā)生了變化。學(xué)生在解題的過程中，需要從紛繁的生活信息中比較、分析、篩選出有用的信息，抽象出數(shù)學(xué)問題，進而解決問題。解決問題的方法不是統(tǒng)一的，有時答案也不是唯一的。這里提及的問題并不是數(shù)學(xué)習(xí)題那類專門為復(fù)習(xí)和訓(xùn)練設(shè)計的問題，也不是僅僅依靠記憶題型和套用公式去解決的問題。

二、基于“問題解決”課程目標下“解決問題”的教學(xué)達成

1.創(chuàng)新形式，呈現(xiàn)問題。課程目標的變化帶來了教材內(nèi)容的變化。問題融入各知識領(lǐng)域，獨立設(shè)置“綜合與應(yīng)用”內(nèi)容領(lǐng)域，北師大版教材把“數(shù)學(xué)與生活”“數(shù)學(xué)與環(huán)境”“數(shù)學(xué)與體育”等引入教材；安排“探索規(guī)律”“解決問題策略”專題，蘇教版教材出現(xiàn)了“解決問題的策略”“找規(guī)律”，增加思考性選學(xué)材料；人教版教材里有“數(shù)學(xué)廣角”等。教材的變化就意味著教師的教學(xué)也要跟著改變，教師給學(xué)生呈現(xiàn)的問題側(cè)重于與現(xiàn)實問題聯(lián)系密切，非常規(guī)、探究性、開放性的問題。要創(chuàng)新問題呈現(xiàn)的形式，問題要具有開放性、趣味性、挑戰(zhàn)性。學(xué)生在解決問題的過程中，沒有現(xiàn)成的類型和解法來套用，需要學(xué)生運用所學(xué)知識，并通過個人或小組合作的形式探索和實踐來解決，具有挑戰(zhàn)性。（1）問題的一般解。（代數(shù)化：如“打電話”中用t表示時間，n表示人數(shù)，找出n與t的關(guān)系。）（2）探求問題的一般解的過程與小結(jié)。①你是如何尋求一般解的？②解決問題的關(guān)鍵是什么？③問題是何種數(shù)學(xué)模型，解決它用到了哪些數(shù)學(xué)知識，用到了怎樣的思維方法和數(shù)學(xué)方法？（3）問題拓展研究。①有沒有其他解法？如果有，比較不同解法的聯(lián)系與差異。②問題推廣：如問題中將“每分鐘通知1人”改為“每分鐘通知2人”……相應(yīng)的解。（4）應(yīng)用：類似問題，即相同的數(shù)學(xué)模型還有哪些實際背景？列出相關(guān)問題。這里，問題能不能解決也許并不那么重要，重要的是學(xué)生在解決問題的過程中，完成認識上的兩個轉(zhuǎn)化。第一個轉(zhuǎn)化，從紛亂的實際問題中，收集、觀察、比較、篩選有用的信息，抽象成數(shù)學(xué)問題。第二個轉(zhuǎn)化是根據(jù)已抽象出來的數(shù)學(xué)問題，分析其中的數(shù)量關(guān)系，列出解決問題的算式，求出問題的答案。

2.揚長避短，借鑒經(jīng)驗。應(yīng)用題教學(xué)的歷史悠久，廣大一線教師和許多專家學(xué)者在實踐和研究中，對應(yīng)用題教學(xué)做了大量有益的探索與改革，總結(jié)積累了許多寶貴的經(jīng)驗，對此，教師應(yīng)有清醒的認識，揚長避短，合理地堅持和繼承。傳統(tǒng)應(yīng)用題的審題、分析數(shù)量關(guān)系、制定解題步驟等都是需要借鑒的。教材及問題解決呈現(xiàn)形式的變化帶來了學(xué)生讀審題目的變化。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程都不同程度地體現(xiàn)“問題解決”的過程，應(yīng)用題學(xué)習(xí)是實現(xiàn)“問題解決”目標的重要載體。傳統(tǒng)應(yīng)用題中一直被社會抨擊的—個練習(xí)：

有一個水池，打開進水管注滿水池要4小時，打開出水管放完整池水要3小時，現(xiàn)在同時打開進水管和出水管，要多少時間才能把一池水放完？

大家指出此題的種種不是：虛擬情境、資源浪費等，從而對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了質(zhì)疑。但是我覺得練習(xí)和情境只是一個載體，教學(xué)是要去理解練習(xí)背后的數(shù)學(xué)思維方式。類似上述的情境如：家庭的收入與支出；公共場所人員的進場與出場；草場里草的生長與割去；人體的新陳代謝、社會人口的增減等，這是一個動態(tài)平衡的問題，難道不值得我們?nèi)パ芯浚拷處熆梢愿鶕?jù)社會和人類的發(fā)展適當?shù)卣{(diào)整練習(xí)的情境，改變“一個例題一種類型”的“散點式”學(xué)習(xí)，注重從多種情境中抽象概括數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)，形成數(shù)學(xué)模型。教師在進行解決問題教學(xué)時，或許答案并不重要，重要的是學(xué)生在解決問題的過程中想到了什么。如“雞兔同籠”問題，它只是一個載體，教師要研究在它們身上附著的東西，那就是數(shù)學(xué)的思想和數(shù)學(xué)的思考方法。

3.過程為體，策略為用。小學(xué)階段重視解題策略的感悟和思想的滲透，是問題解決教學(xué)的重要特征，也是超越傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)的標志。小學(xué)數(shù)學(xué)中常見的策略有：畫圖、列表、列舉、轉(zhuǎn)化（化歸）、假設(shè)等。

例如：在一邊靠水渠處，用籬笆圍成一個直角梯形菜地（如下圖），已知三面籬笆總長14米，且每面的籬笆長都是整米數(shù)。

（1）請試著設(shè)計幾種圍籬笆的方案，并分別求出這塊菜地的面積。（至少寫出三種方案）

（2）籬笆怎樣圍時這塊菜地的面積最大，最大的面積是多少？

由于問題的探索具有開放性和挑戰(zhàn)性，學(xué)生需要猜想與嘗試，逐步找出答案，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用列表的策略進行有序思考，可以使得問題迎刃而解。

通過列表嘗試逐步發(fā)現(xiàn)高為7米，上底和下底的和為7米時，這塊菜地的面積最大，最大面積為24.5平方米。如（7+7）×2=24.5（m）。學(xué)生在解決問題時，就會思考如何有序、不遺漏地計算出一共多少種不同的方法？學(xué)生在嘗試解決類似問題的過程中，升華了對策略的感悟。

4.學(xué)會思考，鼓勵質(zhì)疑。

新課標指出：學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心。培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和創(chuàng)新意識不是一朝一夕可以完成的事情，教師要通過示范、指導(dǎo)、評價等多種途徑促進學(xué)生的問題意識。

（1）縱向思維，由淺入深。

如，教學(xué)“三角形內(nèi)角和”時，教師可以提出：三角形內(nèi)角和是180°，那么四邊形、n邊形的內(nèi)角和是多少度呢？三角形、四邊形、n邊形的外角和是多少度呢？三角形的內(nèi)角和一定是180°嗎？或許學(xué)生探究不出結(jié)論，但是在學(xué)生心中種下了問題的種子。縱向思維體現(xiàn)特殊到一般，由一元到多元、由低維到高維的過程。

（2）橫向思維，由此及彼。橫向思維體現(xiàn)在由一種數(shù)聯(lián)想到另一種數(shù)、由一種運算聯(lián)想另一種運算、由一種圖形聯(lián)想到另一種圖形的思維過程。

例如：數(shù)線段的條數(shù)，學(xué)生掌握了基本的方法。可以嘗試解決下面的問題：

然后再讓學(xué)生嘗試解決下面的問題：下圖中一共有多少個角？

（3）逆向思維，因果倒置。逆向思維就是對結(jié)論進行逆向的質(zhì)疑。

如：計算3個五角硬幣和5個一元硬幣的總幣值是多少？可以提出問題：6元5角還可以由哪些硬幣組成？

5.積極評價，提倡反思。評價既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，也要重視學(xué)習(xí)的過程；既要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，也要重視學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認識自我、建立信心。

如：用長24厘米的細繩圍成一個邊長為整厘米數(shù)的長方形，怎樣才能使面積最大？

在評價時可以關(guān)注幾個不同的層次：（1）能理解題目的意思。（2）能否提出解決問題的策略。（3）能否列舉出若干滿足條件的長方形，并能有序排列。（4）在觀察比較的基礎(chǔ)上能否發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律并能提出猜想。（5）能對猜測的結(jié)果進行驗證。（6）進一步思考：邊長如果不是整厘米數(shù)情況怎樣？

“問題解決”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方面2-，如何更好地進行教學(xué)，達成目標，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思想方法分析和解決問題，是廣大數(shù)學(xué)教師需要共同努力去研究探索的課題。

責(zé)任編輯：徐新亮