強(qiáng)化對比，讓概念建構(gòu)精致化

繆永留

小學(xué)數(shù)學(xué)涉及許多非常基本、非常重要的概念，是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要方面。概念教學(xué)是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識、體會數(shù)學(xué)思想、形成正確數(shù)學(xué)觀的重要載體。那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，該如何進(jìn)行概念的有效建構(gòu)呢？筆者在進(jìn)行二年級下冊《倍的認(rèn)識》一課的磨課中，作了一些探索與思考。

一、第一次教學(xué)：概念在模仿中機(jī)械建構(gòu)

（教師出示2只雞和8只鴨）

師：開心牧場里養(yǎng)了2只雞和8只鴨。如果把2只雞看作一份，那么鴨有這樣的幾份？

師：雞有2只，看作一份（動畫演示將2只雞圈起來），鴨有4個2只（動畫演示每2只鴨一圈，圈成4份），那么鴨的只數(shù)是雞的4倍。

（揭題：倍的認(rèn)識）

師：誰能像老師一樣，說說雞和鴨之間的倍數(shù)關(guān)系？（指名兩名學(xué)生說，同桌互說，再分男生、女生說，最后全班學(xué)生說）

（教師出示2只雞和12只鴨）

師：如果有12只鴨，那么鴨的只數(shù)是雞的幾倍？你能在作業(yè)紙上用剛才圈一圈的方法解決嗎？（學(xué)生匯報）

（教師出示3只雞和12只鴨）

師：如果增加1只雞，現(xiàn)在鴨的只數(shù)是雞的幾倍？在作業(yè)紙上試試看。

幾個環(huán)節(jié)進(jìn)行得很順利，學(xué)生用圈一圈的方法，都能正確地求出兩個數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系，但是在練習(xí)環(huán)節(jié)，問題出現(xiàn)了。

題目是：

很多學(xué)生將4個白蘿卜，每2個一圈，圈成了2個圈，對應(yīng)的紅蘿卜也是2個一圈，圈成了6個圈，得出了紅蘿卜是白蘿卜6倍的結(jié)論。

二、我的思考

學(xué)生為什么沒有將4個白蘿卜看成一份，而看成2份2個呢？課后，我對學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查。

問：“你為什么不把4個白蘿卜看作一份，4個一圈，而把白蘿卜2個2個地圈呢？”

學(xué)生反問道：“剛才2只雞和8只鴨，還有2只雞和12只鴨，不都是2只一圈嗎？”

噢，原來學(xué)生沒有真正地理解“倍”的含義，沒有正確地建構(gòu)起“倍”的概念。

接著我又問：“為什么3只雞和12只鴨時，你沒有2只一圈，卻3只一圈呢？”

學(xué)生答：“我開始也是2只一圈的，但后來發(fā)現(xiàn)不可能，12只鴨是2只雞的6倍，3只雞了，不可能還是6倍。”學(xué)生的話引起了我的反思。

1.學(xué)生的認(rèn)知障礙在哪里

教學(xué)前，我以為這個知識點(diǎn)很簡單，學(xué)生通過圈圈畫畫、數(shù)數(shù)算算應(yīng)該可以輕松地學(xué)會，沒想到卻出了大問題。學(xué)生在建構(gòu)“倍”的概念時，認(rèn)知障礙究竟在哪里？

通過學(xué)生的錯誤分析可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生主要對“倍”這一概念中的兩個核心要素沒有理解，即“一份數(shù)”和“總數(shù)”。只有找準(zhǔn)了“一份數(shù)”，再看“總數(shù)”中有幾個這樣的“一份數(shù)”，就是這樣的幾倍。看來，要想清晰地建構(gòu)“倍”的概念，要設(shè)計有針對性的練習(xí)，讓學(xué)生找準(zhǔn)“一份數(shù)”。

2.簡單的模仿能正確形成概念嗎

本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生概念建構(gòu)的主要手段是“模仿”，學(xué)生出現(xiàn)大面積的錯誤就不難理解了。

教師告訴學(xué)生“2只雞和8只鴨”的倍數(shù)關(guān)系，并讓學(xué)生用不同的方法反復(fù)記憶。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生根據(jù)剛剛形成的膚淺認(rèn)知，尋找“2只雞和12只鴨”的倍數(shù)關(guān)系，學(xué)生便“依葫蘆畫飄”，畫了6個圈。“3只雞和12只鴨”的倍數(shù)，學(xué)生在“合理性的推測”中找到了倍數(shù)。但當(dāng)學(xué)生獨(dú)立解題時，沒有形成對“倍”的正確理解，就只能機(jī)械地照搬剛才的錯誤經(jīng)驗(yàn)，還把2只看作一份。

經(jīng)過反思，我認(rèn)識到：在教學(xué)中，我把概念的建構(gòu)單純地依賴于外部作用的反復(fù)刺激，讓學(xué)生通過不斷模仿來建構(gòu)概念。事實(shí)上，學(xué)生對概念的理解都是個性化的，它是學(xué)生思維過程的產(chǎn)物。唯有針對學(xué)生的認(rèn)知障礙，在不斷對比中理解知識的本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的“精致”建構(gòu)過程。

我找準(zhǔn)了本節(jié)課中學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)——“一份數(shù)”和“總數(shù)”的關(guān)系，設(shè)計了不斷對比、辨析的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在不斷對比中深刻建構(gòu)起“倍”的概念。

三、第二次教學(xué)：概念在對比中精致建構(gòu)

1.圈圈畫畫，在對比中初步建立“倍”的表象——“一份數(shù)”不變，“總數(shù)”變化

（教師出示2只雞和8只鴨）

師：如果把2只雞看作一份，圈一圈，那么8只鴨可以圈出這樣的幾份？

師總結(jié)：把2只雞看作一份，鴨有4個2只，也就是這樣的4份，所以鴨的只數(shù)是雞的4倍。

（教師出示2只雞和12只鴨）

師：鴨的只數(shù)是雞的幾倍？先估計一下，比剛才的4倍多？還是少？

（教師出示2只雞和8只鴨、2只雞和12只鴨的對比圖）

師：同樣是2只雞，為什么第一題里鴨的只數(shù)是雞的4倍？第二題里是雞的6倍？

生：雞有2只，看作一份，鴨有幾個2只，就是雞的幾倍。

（教師出示2只雞，鴨是9個2只）

師：如果鴨的只數(shù)是9個2只，那么鴨的只數(shù)是雞的幾倍？

2.錯例辨析，在對比中突出“倍”的意義——“總數(shù)”不變，“一份數(shù)”變化

（教師出示3只雞和12只鴨）

師：與上題相比，誰的只數(shù)變了？現(xiàn)在，鴨的只數(shù)是雞的幾倍？有兩個小朋友也圈好了，你同意哪個小朋友的圈法？（學(xué)生都同意小明的圈法）

師反問：鴨不是有6個2只，不就是6倍嗎？

生：雞有3只，應(yīng)該把3只雞看作一份，鴨就3只3只地圈。

（教師出示4只雞和12只鴨）

教師引導(dǎo)學(xué)生用計算的方法求鴨是雞的幾倍。

（教師出示前三題的對比圖）

■

師：鴨的總數(shù)沒變，都是12只，要求的問題沒變，都是求鴨的只數(shù)是雞的幾倍。但為什么有的是6倍，有的是4倍，有的是3倍呢？

生：雞的只數(shù)雖然變了，但是不管怎么變，我們都是把它看作一份，鴨有這樣的幾份，就是幾倍。

3.變式練習(xí)，在對比中深化“倍”的內(nèi)涵——“總數(shù)”或“一份數(shù)”不確定

（教師擺出6個圓片）

師：有6個圓片，圓片的個數(shù)是三角的幾倍？試試看。（生沉默后，發(fā)出抗議：這題不好解，不知道三角形的個數(shù)。不知道幾個看作一份，就不好求圓片是三角形的幾倍）

師：是呀，幾個三角形看作一份，還不知道呢！那你覺得三角形可能是幾個，你在圓片下試著擺出來，再算算，圓片的個數(shù)是三角形的幾倍。

學(xué)生匯報，分別呈現(xiàn)結(jié)果，引導(dǎo)對比。

生1：擺了1個三角形，圓片的個數(shù)是三角形的6倍。

生2：擺了2個三角形，圓片的個數(shù)是三角形的3倍。

生3：擺了3個三角形，圓片的個數(shù)是三角形的2倍。

生4：擺了6個三角形，圓片的個數(shù)是三角形的1倍。

師指著最后一個答案：這種方法比較特殊，6個圓片和6個三角形，我們把6個三角形看作一份，圓片的個數(shù)是三角形的1倍。

師：如果我們把圓片看作一份，那么三角形的個數(shù)是圓片的幾倍？

生：1倍。

把圓片看作一份，三角形的個數(shù)是圓片的倍數(shù)，你可以怎么擺呢？

改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計取得了很好的教學(xué)效果。

第一個環(huán)節(jié)，“一份數(shù)”不變，“總數(shù)”不斷變化，再引導(dǎo)學(xué)生對比，用語言及時提煉與反思自己的感知，“總數(shù)”里有幾個這樣的“一份數(shù)”，就是幾倍。于是，有關(guān)“倍”的表象便初步形成。

第二個環(huán)節(jié)，教師提供兩種不同的圈法，讓學(xué)生辨析，幫助學(xué)生從對錯誤的反省中引起對知識更為深刻的正面思考：圈不是隨意的，要根據(jù)一份數(shù)來圈，“倍”的內(nèi)涵也就在這樣的思辨中被強(qiáng)化。接著，教師又呈現(xiàn)了“總數(shù)”不變，“一份數(shù)”變化的情境，讓學(xué)生在對比中理解，無論一份數(shù)怎樣變，都是進(jìn)行“總數(shù)”與“一份數(shù)”之間的比較，鞏固了“倍”的數(shù)學(xué)模型。

第三個環(huán)節(jié)，創(chuàng)造了變式情境，讓學(xué)生在困惑中感受“一份數(shù)”的重要性與關(guān)鍵性。在看似簡單的操作中，學(xué)生對倍的認(rèn)識展開了更為廣泛的概括，獲得更一般的理解。盡管這里的概括與理解是以內(nèi)部語言悄悄地進(jìn)行的，但學(xué)生已經(jīng)深刻地體驗(yàn)到：這里的“倍”指的是每份數(shù)的幾倍，每份數(shù)不一樣，圈出的份數(shù)就不一樣，倍數(shù)關(guān)系也隨之變化，為下一節(jié)課學(xué)習(xí)過一個數(shù)的幾倍是多少作出了有效鋪墊。

四、我的再思考

數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基石，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的前提。在概念教學(xué)中，教師要有效地引導(dǎo)學(xué)生初步形成數(shù)學(xué)概念，同化數(shù)學(xué)概念，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的有效建構(gòu)。強(qiáng)化對比，促進(jìn)學(xué)生對概念中每一個要素的認(rèn)識，無疑是實(shí)現(xiàn)概念精致化建構(gòu)的有效路徑。

1.縱向?qū)Ρ龋瑴贤ǜ拍畹拿}絡(luò)

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論認(rèn)為：學(xué)生遇到新概念時，總是先用已有認(rèn)識結(jié)構(gòu)去同化。因此，學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對新概念的學(xué)習(xí)起著非常重要的作用。教師要充分利用學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生展開有意義的學(xué)習(xí)。“倍”的認(rèn)識是在學(xué)生掌握了“包含除”的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，因此，教師課始讓學(xué)生利用學(xué)習(xí)“包含除”時的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)進(jìn)圈圈畫畫，從而初步理解了8只鴨是2只雞的幾倍，實(shí)際上就是8里面有幾個2。“包含除”與“倍”，在前概念與后概念的縱向?qū)Ρ戎校瑴贤藘烧叩穆?lián)系，初步建構(gòu)起“倍”的概念。

2.橫向?qū)Ρ龋沂靖拍畹谋举|(zhì)

抽象與概括是形成和掌握概念的前提。如果相關(guān)的概念始終停留在問題的具體情境中，未能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)必要的抽象概括，那就不能認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)較好地掌握了概念。所以，在教學(xué)中除了需要給學(xué)生提供適量的、具有代表性的、新穎有趣的實(shí)例外，更重要的是在抽象與概括中，引導(dǎo)學(xué)生通過對比，去除概念的非本質(zhì)屬性，發(fā)現(xiàn)共同屬性，形成概念。本課的第二次教學(xué)設(shè)計中，讓學(xué)生經(jīng)歷“一份數(shù)”不變“總數(shù)”變化、“總數(shù)”不變“一份數(shù)”變化的兩次對比，雖然條件不停地變化，但是本質(zhì)屬性是一定的，“總數(shù)”除以“一份數(shù)”得到“倍數(shù)”。

3.多元對比，拓展概念的內(nèi)涵

概念教學(xué)不是教“形式化的定義”，而要追求思維上的真理解。所以，應(yīng)該利用各種方式對概念的內(nèi)涵和外延做盡量詳細(xì)的“深加工”。通過多元化的對比，讓學(xué)生在不同的對比中逐步把握概念的深刻性，從而更清晰地理解概念。本節(jié)課的第一次教學(xué)中，由于未通過必要的對比，學(xué)生只停留在機(jī)械的模仿層次，導(dǎo)致未能真正理解概念。第二次教學(xué)中，教師在多次對比的基礎(chǔ)上，設(shè)計了“擺三角形”的練習(xí)，讓學(xué)生通過多元化的對比，拓展了學(xué)生對“倍”的理解，提升了本課的思維含量，發(fā)展了學(xué)生的思維水平。