周期結構帶隙的能效觀點

周　俊，饒柱石，塔　娜（.上海交通大學振動、沖擊、噪聲研究所，上海0040；.上海交通大學機械系統與振動國家重點實驗室，上海0040）

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周期結構帶隙的能效觀點

周俊1，饒柱石2，塔娜2
（1.上海交通大學振動、沖擊、噪聲研究所，上海200240；2.上海交通大學機械系統與振動國家重點實驗室，上海200240）

摘要：在幾何構型或材料特性方面具有空間重復特性的一類結構，稱為周期結構，如桁架、加強筋板等。在一定頻率范圍內，周期結構能夠阻斷彈性行波在其中傳遞，該特性可應用于隔振器開發。現有周期結構隔振分析大多基于無限長假設，即假設周期結構在幾何空間中可無限延伸，因此只有行波解具有物理意義，非行波模式則被忽略。然而，工程中隔振系統都是有限長的，因此非行波解的確存在，故其能量傳輸特性具有研究價值。周期桁架有限元數值仿真結果表明，周期結構行波解的功率因數始終等于1，說明頻散曲線與能量傳輸效率有關。據此引入效率指標函數，通過其響應表面局部極大值、極小值的連線，將頻率-波數空間劃分為能量傳輸高效區和低效區。該劃分方式能統一處理行波解和非行波解的情況，拓展原有帶隙分析適用范圍，為有限周期結構能量傳輸效率分析提供新途徑，對于隔振器開發設計具有重要參考價值。

關鍵詞：振動與波；周期結構；功率因數；效率；帶隙；桁架

周期結構理論起源于牛頓在計算聲速時所引入的一維彈簧振子鏈模型[1]，隨后在多個物理學分支中被廣泛應用，例如金屬導電性問題[2]。所謂周期結構，就是指一類具有單元重復特性的結構，例如晶體就是由晶胞在空中重復陣列而形成的。此類結構最為重要的特性之一就是對某些頻率的行波（光波、彈性波等）具有阻斷作用，或者說特定頻率范圍內的行波，在周期結構中無法傳遞，該特定頻率范圍稱為帶隙、阻帶、禁帶。對于宏觀周期性固體結構，例如桁架、鐵軌、加強筋板等，對固體中的彈性波能形成帶隙，因此，在振動噪聲控制領域，周期結構被視為一種有效隔振手段，受到廣泛關注和研究[3- 5]。Bondaryk對周期桁架隔振特性進行研究，證實其具對彈性波具有低通濾波器特性，能較好地抑制高頻振動傳遞[6]。黃修長等設計具有較低阻帶中心頻率的曲梁周期結構，可用于機械設備隔振支撐[7]。肖勇等對具有周期減振支撐的管道的彎曲波帶隙特性及其形成機制進行深入研究，指出通過調節減振支撐間距與參數，可以使局域共振帶隙與布拉格帶隙發生耦合，從而有效拓寬阻帶頻率范圍[8]。尹劍飛等將周期結構能量隧穿效應納入周期加強筋板的統計能量分析中，從而提高了子系統響應預測精度[9]。Mei等將周期結構帶隙與局域共振原理結合，設計一種薄膜式聲超材料，其對空氣中低頻噪聲具有強烈吸收作用[10]。Yan等設計由混凝土包覆、內嵌橡膠和鐵芯的元胞，由元胞組成的三維周期性地基，可用于上層建筑物抗震[11]。Wang等利用屈曲狀態下梁剛度可變這一特性，實現了帶隙中心頻率可調節的周期結構[12]。

周期結構隔振特性分析的一般步驟是：首先計算無限長周期結構的帶隙[13]，從而確定振動傳遞的衰減頻率范圍，然后在有限周期結構上，根據具體邊界條件，計算振動傳遞率，確定有限長情況下的振動衰減量以及衰減頻率范圍。在振動帶隙分析中，以行波解為主，忽略振幅隨空間程指數衰減的倏逝波解——近場解。然而，現實中隔振系統都是有限長的，因此倏逝波解的確存在，對振動傳遞特性必然產生一定影響，例如隧穿效應[14]，所以有必要對周期結構非行波解的能量傳輸特性做進一步研究。

利用有限單元法，對有限周期桁架在一般情況下的能量傳輸效率進行計算，通過效率指標函數響應表面[15]的局部極大值、1/2局部極大值以及極小值分布，將頻率-波數空間，劃分為一系列能量傳輸高效區和低效區（對應隔振區）。上述劃分方式為有限周期結構的能量傳輸特性分析提供新途徑和視角，對隔振器的設計和開發具有重要參考價值。

1　帶隙理論回顧

1.1一維縱波

為了與周期結構中行波解作對比，不妨首先回顧均勻介質中的一維縱波。眾所周知，等截面細長桿中的單列縱波解可表示為

式中v表示縱向振速，譜系數v?表示波幅以及相位。令桿中橫截面的縱向拉力N為

上式中cL為縱波波速，負號是由于截面正應力取拉為正造成的。該式表明，右行波解的截面內力與縱向速度之間的相位相差180°，注意到截面拉力N所做的時均功率Pˉ計算式為

式中cos?稱為功率因數。

根據以上討論可以得出行波解具有如下兩個重要特性：

特性1.由式(1)和式(2)可知，沿波傳播方向上，截面狀態變量(力、速度等)幅值相等，且滯后的相位差相同，即

式中N和v如圖1所示。

圖1　截面狀態變量

特性2.由式(2)和式(3)可知，截面內力功率的功率因數等于cos?=?1，換句話說，行波解是以最大效率的方式傳輸能量（行波解內力所做的無工功率為零）。需要說明的是：特性1和2之間是相互獨立的。特性2與應力-應變關系有關，無法由特性1直接推出。

除了從功率因數角度衡量能量傳輸效率以外，還將引入效率指標η來衡量傳輸過程中所需付出的能量代價問題。注意到功率是力與速度的乘積，滿足傳輸功率不變的前提下，如果輸入端驅動力過大，容易誘發承載件的疲勞破壞，影響使用壽命；另一方面，如果驅動力不大，但輸入端振速過大，則意味著浪費在粘滯損耗上的功率在加大，換句話說，輸入端所需付出的動能和應變能之和越小越好。因此，可以將功率與輸入端比機械能（單位質量的機械能）之比作為另一種能量傳輸效率指標

相比于功率因數，指標η還考慮了輸入端驅動力和速度，因此是一個綜合性能指標。注意到縱波時均功率計算式為以及

代入式(5)得到單列縱波的效率指標η=1。指標η的物理意義是：在輸入端，每增加單位比機械能，傳輸功率的提高量為ρAcLη，顯然η越大，相同傳輸功率條件下，在輸入端所需維持的場能越小。進一步可以證明，如果存在反射波，則η<1，這意味單列行波模式具有如下特性：

特性3.單列行波解的能量傳輸效率指標η取到最大值。

由一維縱波特性2和3可知，從能量傳輸效率角度，行波解具有顯著地位。那么對于周期結構中的行波解，是否也具有特性2和3則有待進一步驗證。

1.2周期結構帶隙

在周期結構中，如果在某些頻率范圍內找不到行波解，說明振動能量的傳遞在此頻帶內受到抑制，這一特殊頻率范圍就是所謂帶隙。以圖2所示的一維周期結構為例，假定其兩側均可無限延伸，現截取若干個元胞（周期）作隔離體分析，并令左側為輸入端，右側為輸出端。設輸入/輸出端的簡諧內力和振速分別為和

圖2　一維周期結構示意圖.

一維周期結構行波解的判定準則如下[16]

式中+π的原因是由于輸入/輸出端截面外法線方向不一致造成的，該判定準則本質上等價于行波特性1。需要注意的是，單純依靠式(7)同樣無法判定周期結構行波解的功率因數cos?是否一定等于1。

令圖2中隔離體的輸入/輸出端的振速幅值比為λ

根據判定準則式(7)可知，λ=1是周期結構行波解的必要而非充分條件，換句話說滿足λ=1的解并不一定就是行波解。在某些情況下，駐波解同樣可以滿足λ=1的條件；除行波解外，周期結構還可存在倏逝波解，此類解的特點是波幅隨空間坐標增加而指數增長或衰減，顯然此時λ≠1。

如果采用無限周期結構假設，這意味著倏逝波解不具有物理意義。事實上，倏逝波解的振速幅值將在正或負無窮遠端發散，因而通常不予考慮。然而，對于一般工程結構，無限周期假設并不十分恰當。注意到工程結構都是有限長的，無限周期假設僅僅是一個理想假設，因此在應用周期結構帶隙特性進行隔振器開發設計過程中，如果完全排除λ≠1的振動傳遞模式而僅考慮行波解，則無法全面地描述有限長周期結構的動態特性。因此，下面將對非行波解的能量傳輸的效率問題做進一步探討。

由縱波的討論可知，功率傳輸效率高低可以用輸入端所需的總能大小來衡量。對于周期桁架結構，其效率指標η不妨定義為如下形式

首先，根據式(3)，注意到時均功率可表示為譜系數點乘的形式

式(11)表明，按式(9)所定義效率指標最大值不超過1（有上界），因此確實可以作為一種效率指標。引入該指標的好處是可以更全面地反映周期結構能量傳輸特性。

對于非行波解，如果指定輸入/輸出端的振速幅值比λ及其相位差，則不同頻率下的效率值η將是個確定值，因此η是關于λ、Δφ和ω的三元函數

若固定λ，η函數可表示成一張二維曲面，稱為響應表面；當λ變化時，將形成一系列曲面簇。利用響應表面的局部極大值和極小值分布情況，就可以表征不同狀態下的能量傳輸效率。下面將針對有限周期桁架結構的傳輸效率問題進行仿真計算。

2　數值仿真

有限周期桁架計算模型如圖3所示。桁架類型為布朗型（Brown）。為了簡單起見，各桿件規格統一為：空心圓鋼管，外徑×壁厚=38 mm×3 mm。

在數值仿真中，輸入/輸出端采用位移激勵，并假定截面位移是均勻的，所以邊界條件為

圖3　有限周期桁架計算模型

下面首先研究行波解的情況。

表1　桁架帶隙頻率

均勻媒質中的縱波特性2表明行波解的功率因數為1，那么周期結構中的行波解是否也存在上述特性？答案是肯定的，下面通過數值仿真的方式予以證明。

首先注意到行波解的λ=1，換句話說此時的功率因數cos?僅與輸入輸出端振速相位差Δφ和角頻率ω有關，因此功率因數可視為關于頻率和輸入/輸出端相位差的二元函數，在三維空間中可以繪制出一張曲面——功率因數響應表面：。需要特別說明的是，該響應表面給出λ=1時所有振動傳遞模式的功率因數。將響應表面的最大值（cos?=1）連線——形成所謂“脊線”，并向Δφ-ω平面投影，如果脊線的投影曲線與頻散曲線重合，則表明在λ=1的所有可能解中，僅有行波解能取到cos?=1。

為了證明這一點，不妨用平面Δφ=φi作為橫截面，與功率因數響應表面相交，所得橫截曲線如圖4 (b)所示。該曲線簇反映不同相位差下，功率因數隨頻率變化情況。對比圖4(a)和圖4(b)可知，給定輸入輸出端相位差Δφ，功率因數等于1的頻率恰好就是存在行波模式時的頻率。這就證明了在周期結構中，僅有行波模式能夠以最大功率因數方式傳輸能量——與均勻媒質中縱波特性2保持一致。上述現象也說明周期結構中行波解的確是均勻媒質中彈性波一種推廣。

圖4　頻散曲線與功率因數之間的關系

對于有限長周期結構，其真實工作狀態下的(Δφ,ω )并不一定恰好落在頻散曲線上。因此，在圖4(a)所示的Δφ-ω平面上，還有大片空白區域的能量傳輸特性有待進一步梳理。根據圖4所示的仿真結果，既然頻散曲線具有效率意義，若加以推廣，再將前述功率因數響應表面上極大值、極小值相連，即可繪制出所謂“半高線”、“槽線”。根據脊線、半高線和槽線，可將Δφ-ω平面劃分為一系列能量傳輸高效區和低效區。下面將用效率指標η代替cos?繪制上述各類曲線，其理由如下：

(1)效率指標η綜合考慮了輸入端驅動力和速度，能更全面地體現描述傳輸功率時所需建立的輸入端場能，特別在λ≠1情況下更有實際意義；

(2)對于均勻媒質中的單列縱波，效率指標η=1與功率因數cos?=1存在等價關系（根據縱波特性3），因此指標η可以視為一種廣義的功率因數。

圖5(a)和圖5(b)的左半部分分別給出λ=1和λ=0.5時，效率指標η響應表面的脊線、半高線、槽線在Δφ-ω平面上投影線；在右半圖中，特給出Δφ=90°時的η隨頻率變化曲線。在左半圖中，槽線的投影線恰為過fi(i=1…4)的水平坐標線，故略去；fi(i=1…4)分別對應前4階自由-自由邊界下的固有頻率：f1、f2、f3、f4分別為210 Hz、421 Hz、629 Hz和800 Hz。在右半圖中，特給出Δφ=90°時的η隨頻率變化曲線。

圖5　效率指標η響應表面的脊線（——）、半高線（––––）、槽線的投影線

3　討論

若輸入/輸出端振幅相同，在Δφ-ω平面上所繪制出的功率因數響應表面的脊線，就是周期結構行波解的頻散曲線。這意味著可以用效率指標的等高線簇，將Δφ-ω平面劃分為能量傳輸高效區和低效區。其中能量傳輸低效區意味著傳輸相同功率，需要在輸入端維持較高的能量水平，換句話，如果輸入端能量一定，該區域內的振動能量傳遞受到抑制。由此可見，效率觀點的引入，有助于將周期結構帶隙理論拓展到非行波解范疇，為描述有限周期結構的能量傳輸特性提供有力工具。

圖5(a)左半圖所示η函數的脊線，其形狀與如圖4(a)所示的頻散曲線相近：均為一條從原點出發的螺旋線（在圓柱面上一條螺旋線沿徑向投影可形成圖5(a)左半圖中的脊線），在脊線兩側分布有效率半高線。利用脊線與相鄰半高線就可確定某一頻率下，落在能量傳輸高效區時對應的Δφ范圍。顯然，Δφ范圍越窄意味著對應頻率的能量傳輸能力越差。例如，在圖5(b)左半圖中的灰色條形區域內，無論Δφ取任何值，都對應能量傳輸低效區。顯然，上述頻率范圍劃分方法與帶隙頻率確定方法是完全一致的。

對比圖5(a)和圖5(b)中的左半部分，不同振幅比λ下，脊線與半高線所圍面積有所不同，這反映了效率指標η頻域曲線陡峭程度不同，這一點也可以從右半圖對比看出。對比圖5(a)和圖5(b)中右半部分所示的曲線峰值，可以發現λ=1時，η的局部極大值均小于λ=0.5的情況。注意到行波模式屬于λ=1的情況，這說明對于有限周期結構，某些非行波解的能量傳輸效率反而要高于行波解，所以非行波模式對于有限周期結構的能量傳輸貢獻不可忽視。

利用Δφ-ω平面上的η函數等高線族，可以對已有周期結構隔振設計方案進行評估，例如根據實際邊界條件，可計算出，從而確定其是否落在所期望的能量傳輸區域內；然而，根據上述等高線族，如何在輸出端確定合適的邊界阻抗參數；或者根據已有邊界阻抗，如何設計合適的周期結構，都是下一步需要研究的。

4　方法

本文所涉及的仿真均在ANSYS軟件中實現。其中桁架的各桿單元類型為Link180。利用Harmonic模塊，獲得圖3(b)中的各邊界角點I～IV的幾何約束反力FI、…、FIV。針對不同Δφ，逐個計算節點力F的頻率響應，即可獲得一張二維數據表

其中頻率步長為1 Hz，相位差Δφ步長為1°，范圍從1°～179°。利用輸入端的節點力即可方便地計算出功率因數cos?以及效率指標η的響應表面，從而在平面上繪制出有關曲線。

圖4(a)所示的頻散曲線按如下方式繪制：根據二維數據表Fij(i為行指標，j為列指標)，針對每一列數據，查詢符合行波解判定式的行指標i，從而確定一系列存在行波解的角頻率ω*；遍歷指標j，重復上述查找過程，即可在平面上繪制出頻散曲線。圖5中的脊線、半高線的繪制方法類似，不再贅述。

5　結語

(1)周期結構行波解對應的頻散曲線可視為功率因數等于1的等高線。因此，頻散曲線具有功率傳輸效率意義。

(2)對于有限長周期結構，可以引入效率指標函數η，用于刻畫一般振動模式下（行波或非行波）的能量傳輸效率。利用η函數響應表面的脊線、槽線和半高線，可以將頻率-波數平面劃分為一系列能量

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Study on the Band-gap of Periodic Structures in the Viewpoint of Power Efficiency

ZHOU Jun1, RAO Zhu-shi2, TA Na2
（1. Instituteof Vibration Shock & Noise, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China; 2. StateKey Laboratory of Mechanical Systemand Vibration, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China）

Abstract:Periodic structureistherepetitivein geometric configurationsor material properties, such astrussesand ribstiffened plates. In certain frequency bands, periodic structure can isolate the incident travelling waves. This property is widely applied in vibration isolator’s design. Generally, the analysis of periodic structure’s attenuation property is always based on infinite length assumption. It means that the periodic structure can extend infinitely in space. So, only travelling wave solutions have physical significance and the non- travelling wave solutions are neglected. However, the periodic structure in engineering is finite and the non-travelling wave solutions exist indeed. Therefore, the investigation of their power transfer propertiesisof significance. Thefiniteelement simulationsof theperiodic trussshow that thepower factor of the travelling wave solution is always equal to unity. It means that the dispersion curves are related to power transfer efficiency. Hence, the efficiency index function is introduced. According to the local maximum and minimum values of the index function’sresponsesurface, thefrequency-wavenumber spacecan bedivided into aseriesof high efficiency and low efficiency transfer regions. This method can be applied to both traveling and non-traveling wave solutions. The method extends the scope of band-gap analysis and gives an alternative approach for finite periodic structure’s power transfer analysis. Theresultsof thepresent work areof significancefor vibrationisolator’sdevelopment.

Key words:vibrationandwave; periodicstructure; power factor; efficiency; band-gap; truss

通訊作者：饒柱石，男，博士生導師。E-mail:zsrao@sjtu.edu.cn

基金項目：國家重點基礎研究發展計劃資助項目(2014CB046302)

作者簡介：2015-0-17 周俊(1983- )，男，上海市人，博士生，主要研究方向為結構波動分析計算。

文章編號：1006-1355(2016)02-0001-05+45

中圖分類號：O328；TB535

文獻標識碼：ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.02.001