Holmes型Duffing系統動力學特性仿真及實驗

孫方旭，劉樹勇，何其偉（海軍工程大學動力工程學院，武漢430033）

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Holmes型Duffing系統動力學特性仿真及實驗

孫方旭，劉樹勇，何其偉
（海軍工程大學動力工程學院，武漢430033）

摘要：針對混沌研究中缺乏可進行有效可重復性實驗混沌振動平臺問題，設計混沌振動實驗臺架并開展實驗研究。建立近似于在雙勢阱中粒子運動的數學模型，并分析系統動力學特性，觀察到系統出現的周期解和混沌解。利用系統響應隨參數變化的分岔特性，得到系統混沌參數區。在實驗研究中，進一步確定混沌參數區間，并觀察到了Holmes型Duffing系統中初值敏感性現象以及在通往混沌過程中出現的對稱破缺分岔和倍周期分岔現象。

關鍵詞：振動與波；混沌實驗；Duffing系統；雙勢阱；分岔

目前針對混沌現象的實驗研究主要集中在三個領域：高速旋轉機械、柔性體結構以及非線性電路。其中，梁山、鄭劍等[1]通過兩自由度非線性隔振系統模擬汽車懸架系統，并進行實驗研究，系統通過伺服電機加載激勵，以空氣彈簧作為非線性元件，將實驗結果和仿真結果進行比較，揭示該系統運動特性。劉凌，蘇燕辰等[2]通過改進Lorenz系統，建立一種新的混沌系統并通過仿真分析該系統動力學特性，通過振蕩電路系統實現了該類混沌系統，振蕩電路主要由運算放大器、模擬乘法器、線性電阻、電容等組成。張雨、任成龍等[3]對汽車懸架系統中非線性振動情況進行研究，討論了在特定激勵下導致其混沌振動的可能性。Shi Peiming、Liu Bin等[4]分析諧波激勵下一類扭轉振動系統全局動力學特性，通過Melnikov方法分析該系統出現的混沌振動現象，并進一步進行數值仿真，通過實驗觀察到該系統通過倍周期分岔走向混沌的道路，該研究可以指導路面機械的結構設計。張小龍、東亞斌[5]對Duffing隔振系統的力傳遞率及跳躍現象進行理論分析。在上述文獻中，針對Duffing系統的機械振動實驗研究相對很少。

1　全局動力學特性研究

Duffing方程中，當α1<0,α2>0時，此類型被稱為Holmes型Duffing方程。當激勵為0時Holmes型Duffing方程對應的保守系統勢能曲線如圖1所示。

可以直觀地看到，圖1中保守系統存在雙勢阱，其存在兩個穩定平衡點和一個不穩定平衡點，故Holmes型Duffing系統在較小的激勵下就能產生混沌現象。這種混沌現象被歸結為在兩個平衡點之間的跳躍。

圖1　方程x¨+δx. -x+x3=0勢能曲線

典型Holmes型Duffing系統如圖2所示。圖2中一端帶質量塊的有阻尼彎曲梁在自由端受到磁力作用，同時固定端受到框架運動帶給它的慣性力，其運動模式近似于在雙勢阱中運動的粒子，可以用如下方程描述

其中δ為無量綱阻尼；ω為驅動頻率；A為無量綱激勵力幅值。系統動力學行為受這些參數的影響。

圖2　雙勢阱振動模型

式（1）中取δ=0.1，對此系統的動力學特性做初步研究。

通過延拓算法，求得頻率從5 Hz逐漸增加到35 Hz情況下的系統全局分岔圖，如圖3所示，縱軸為輸出響應幅值。當激勵力幅值足夠大時，在頻率逐漸增加過程中，系統呈現出混沌解與周期解交錯出現的特性，如圖3（a）所示；而當激勵幅值較小時，兩個混沌參數區間變得很小，如圖3（b）所示。將頻率從35 Hz逐漸降低至5 Hz，通過延拓算法得出的全局分岔圖如圖4所示。

兩種不同迭代方式的區別在于在特定頻率處的初始條件不同，全局分岔圖也呈現出很大的差異，說明此時Duffing系統的解和初始條件有很大的關系。以f =31 Hz為例，只改變系統的初值，可能得到如圖5所示的兩種截然不同的運動狀態。具體而言，Duffing系統的吸引域可以通過胞映射方法得到直觀驗證。實際上，在實驗過程中，也觀察到了這種現象。

圖3　全局分岔圖

圖4　全局分岔圖

2　實驗研究

2.1實驗裝置及儀器

根據混沌產生的必要條件，在混沌振動實驗裝置設計過程中，選擇合適的非線性元件作為實驗臺的組成部分，主要利用元件的幾何非線性、結構非線性、材料非線性或者電路的非線性等產生混沌。在此基礎上，編制混沌識別程序對系統的動力學行為進行識別，通過定性分析技術對采集的時間歷程圖進行目視觀察；利用相空間重構原理，獲得實測時間序列相平面圖，Poincaré截面圖；利用定量分析方法提取信號的特征，進行Fourier分析得到信號頻譜特征；計算信號分形維數和LE指數等。調節系統不同參數，觀察到系統由周期進入混沌狀態的途徑。

基于以上考慮，雙勢阱單端磁吸式混沌振動裝置如圖6所示。裝置由如下部分組成：激振器、支座、薄彈片、磁鐵、小鐵片、外部固定框架、固定彈片裝置。實驗采用的激光位移傳感器型號為CD 33-30 NV，最大測試位移為±4 mm，最大允許誤差為± 0.1 % F. S.；激光位移傳感器與梁的距離為30 mm；梁的長與寬尺寸為155 mm×20 mm；磁鐵的長、寬、高分別為11mm、6 mm、9 mm；磁鐵頂端到底面高度為24mm；質量塊重量為5g。

實驗本質為正弦信號的慢速頻率掃描實驗，掃描頻率范圍為5 Hz～25 Hz，步長0.1 Hz，采樣頻率為2 kHz，數據采集時長為5 s。不斷調節磁鐵距中心線的距離、無激勵時薄彈片距底端的距離，通過Labview觀察輸出響應。

圖5　系統在不同初始條件下解的相圖(A=400，ω=31)

圖6　雙勢阱單端磁吸式混沌振動裝置

2.2測定混沌區間

根據掃頻調試，發現當激勵頻率大于10 Hz時，系統響應呈現豐富的動力學特征，因此，實驗中將重點研究的頻率范圍限制在10 Hz到25 Hz之間。同時，考慮到功率放大器增益過大時，將對實驗裝置產生破壞性作用，因此增益范圍確定為0～1.5 V。

當激振系統的增益為0.5 V時，不容易進入混沌狀態，而是在單邊勢阱內處于周期1運動；當激振系統增益大于0.95 V時，系統的動力學行為非常豐富，可以產生包括混沌在內的不同振動模式。為了證實該結論，在增益為0.5 V條件下，改變激勵頻率從10 Hz到20 Hz，系統響應都為周期1模式。在頻率為15 Hz到17 Hz之間，加入小的外部擾動，系統經過暫態過程后，落入勢阱內，處于周期1狀態。

為了觀察系統的混沌響應并進一步證實以上規律的準確性，將激振系統的增益固定為1 V，由小到大增加系統的激勵頻率。當頻率為5 Hz到10 Hz時，系統處于周期1狀態；當激勵頻率大于10 Hz時，系統的響應特征非常豐富：在10 Hz～16 Hz時，產生混沌振動；在16. 6Hz時，系統出現周期2行為。在17 Hz到19 Hz頻率范圍內時，又產生并保持穩定的混沌運動。而在高頻時，系統出現了切分岔，由混沌進入周期運動，19 Hz時，產生周期3運動；在19.4 Hz時，產生單勢阱內的多周期運動。此外，還觀察到了一些有趣現象，在23 Hz時，質量塊穿越勢阱壁壘在兩個勢阱之間來回運動，產生了大幅值的多周期振動；在30 Hz激勵時，裝置出現轟鳴聲，該系統可能出現了共振現象。越過共振頻率后，振子在右勢阱內呈周期1運動模式。

通過實驗，初步得到系統不同響應區域，以橫坐標為激勵頻率，縱坐標為激勵增益作出其示意圖如圖7所示。

由圖7，當增益為1 V時，實驗結果呈現出混沌、周期解交錯出現的特性，這和仿真結果是相一致的。

2.3初值敏感性實驗

激振器功率放大增益設為1 V，激勵頻率在22 Hz時系統狀態為混沌狀態，在23 Hz時為周期狀態。那么在22 Hz～23 Hz之間的激勵條件下，系統的狀態是值得研究的。這種參數范圍內，微小的改變能夠導致系統響應產生巨大的變化，可以為弱故障信號混沌檢測儀的研制、有害混沌的控制等提供最有效的參數區域。

激勵頻率在22 Hz時，以0.1 Hz為步長增加頻率，系統整體的運動特性如表1所示。在實驗中，發現22.2 Hz系統處于混沌態；而在22.3 Hz時，發生了有趣的現象，系統在經過2分鐘左右的混沌運動后，進于周期狀態，而且是在兩個勢阱之間大幅值振蕩。

相反地，激勵頻率在23 Hz時，以0.1 Hz為步長減小頻率。系統整體的運動特性如表2所示。在23 Hz時，系統為周期運動狀態，但減小到22.2 Hz時，系統有時處于穩定的周期態，有時處于穩定的混沌態。多次實驗表明，處于周期運動的概率大，而處于混沌態的概率小。

因此，22.2 Hz和22.3 Hz這兩個頻率點是值得重點關注的參數，因為系統沿著不同的方向改變參數時，在這兩個點有多種可能的工作狀態。在不同的初始狀態時，系統可以進入不同的狀態。這種性態可以為弱信號檢測提供參考。例如，當檢測信號中包含了早期弱故障信號時，混沌系統的運動特性將發生劇烈變化，從而給出明確的報警信號，預報故障的發生。

表1中說明了當頻率以不同的方式改變時系統的運動情況。

圖7　系統不同響應的參數區域示意圖

表1　激勵頻率變化時系統動力學行為特征

2.4對稱破缺分岔實驗驗證

另一方面，在實驗中，還觀測到了Duffing系統中當激勵頻率不斷變化時，系統解出現對稱破缺分岔、倍周期分岔并最終走向混沌的過程。

當激勵增益為0.92 V，激勵頻率從25 Hz逐漸降低，通過相空間重構得出的相圖見圖8。

從圖8中可以看到，當激勵頻率f =22.5 Hz開始出現對稱破缺，由于系統產生對稱破缺分岔必成對出現，在實驗中，取激勵頻率為21.9 Hz時，通過給系統一個擾動改變初始條件，觀察到了圖8（e）和圖8 （f）中成中心對稱的兩個對稱破缺分岔相圖。進一步降低激勵頻率，當f=21.5 Hz，系統產生了混沌運動，如圖9所示。

圖8　激勵頻率改變時的相平面圖

(3)基于組合結構的導納參數模型，可以分析各子結構參數變化對耦合結構振動傳遞特性的影響規律，作為發動機艙聲學設計的基礎。

參考文獻：

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Simulation and Experimental Study on the Dynamic Characteristics of the Holmes Duffing System

SUN Fang-xu , LIU Shu-yong , HE Qi-wei
( School of Power Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

Abstract:Currently, thereisthedeficiency of repeatablechaotic vibration experimentsin chaotic study. In thispaper, a chaotic vibration experiment platform was designed and researched. The model of approximate particle motion in double potential well was established and its dynamic characteristics were analyzed. As a result, the periodic solutions and chaotic solutions were observed. In experimental study, parameter interval of the chaos was determined. In addition, the sensitivity of initial value in Holmes Duffing system was observed. Symmetry breaking bifurcation and period doubling bifurcation wereall observedintheDuffingsystem.

Key words:vibrationandwave; chaoticexperiment; Duffingsystem; doublepotential well; bifurcation

作者簡介：孫方旭（1992-），男，內蒙古赤峰市人，碩士研究生，主要研究方向為噪聲與振動控制。E-mail:sunfx2013@hotmail.com

基金項目：國家自然科學基金資助項目（51179197）

收稿日期：2015-08-14

文章編號：1006-1355(2016)02-0017-04+26

中圖分類號：O322

文獻標識碼：ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.02.004