齒厚與螺旋角對(duì)人字齒行星輪動(dòng)態(tài)特性的影響

吳文敏，荀　超，龍新華（.中國(guó)直升機(jī)設(shè)計(jì)研究所，江西景德鎮(zhèn)333000；.上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海0040）

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齒厚與螺旋角對(duì)人字齒行星輪動(dòng)態(tài)特性的影響

吳文敏1，荀超2，龍新華2
（1.中國(guó)直升機(jī)設(shè)計(jì)研究所，江西景德鎮(zhèn)333000；2.上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240）

摘要：利用多尺度法分析人字齒行星輪輪齒厚度和螺旋角對(duì)人字齒行星輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響。建立人字齒行星輪的動(dòng)力學(xué)模型，該模型考慮時(shí)變嚙合剛度、脫齒等非線性因素。利用該模型，分析齒厚與螺旋角對(duì)人字齒行星輪動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響，多尺度法與數(shù)值模擬的計(jì)算結(jié)果一致。結(jié)果表明，齒厚與螺旋角對(duì)時(shí)變嚙合剛度各階波動(dòng)幅值有著周期性影響，選取適當(dāng)?shù)凝X厚與螺旋角可明顯降低系統(tǒng)各自由度振動(dòng)幅值和動(dòng)態(tài)傳遞誤差。

關(guān)鍵詞：振動(dòng)與波；螺旋角；齒厚；人字齒行星輪；動(dòng)態(tài)特性；動(dòng)態(tài)傳遞誤差；多尺度法

行星齒輪因其承載能力強(qiáng)、傳動(dòng)比大、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)，廣泛地應(yīng)用于機(jī)械傳動(dòng)領(lǐng)域。在船舶、飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)等重載和傳遞精度要求較高的領(lǐng)域，則多采用傳動(dòng)更加平穩(wěn)的人字齒輪取代直齒輪。國(guó)內(nèi)外已有大量學(xué)者對(duì)行星齒輪動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行全面且深入的研究，得到很多較為成熟的結(jié)論。利用集中質(zhì)量法建立的離散模型[1-5]是目前常用的動(dòng)力學(xué)分析模型，此類模型將齒輪主體部分視為剛體，而將嚙合的輪齒視為沿著嚙合線方向的彈簧。基于此類離散模型，有許多研究針對(duì)主要參數(shù)對(duì)行星輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性[6–9]的影響而展開。這些參數(shù)包括重合度[10]、嚙合剛度[11]、各類誤差[12–14]以及各行星輪間的相位差[15]等。

由于這些分析主要針對(duì)直齒行星齒輪，重合度也主要是指端面重合度。人字齒的重合度包括端面重合度與縱向重合度，縱向重合度不僅影響著總重合度的大小，與端面重合度相比，縱向重合度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性有著不同的影響。縱向重合度則取決于人字齒的螺旋角與輪齒厚度，目前還鮮有研究涉及到這兩個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。

通過(guò)多尺度法，分析時(shí)變嚙合剛度的前幾階波動(dòng)幅值對(duì)人字齒行星輪動(dòng)態(tài)特性的影響。利用傅里葉級(jí)數(shù)展開式，獲取了端面重合度、縱向重合度與時(shí)變嚙合剛度各階波動(dòng)幅值的表達(dá)式，并利用縱向重合度與螺旋角、齒厚的關(guān)系式，直接分析了螺旋角、齒厚對(duì)人字齒行星輪動(dòng)態(tài)特性的影響。計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)螺旋角和齒厚優(yōu)化后的人字齒行星輪系統(tǒng)振動(dòng)明顯減弱，動(dòng)態(tài)傳遞誤差明顯降低。研究為人字齒行星輪的設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)，對(duì)理論研究和工程實(shí)際都有著重要的意義。

1　模型

文獻(xiàn)[2]中所建立的行星輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型主要針對(duì)直齒輪，參考該模型建立人字齒行星輪機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。行星輪機(jī)構(gòu)如圖1所示，各輪的局部坐標(biāo)系以及符號(hào)含義參考文獻(xiàn)[1]。

N行星輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

對(duì)于純扭轉(zhuǎn)的行星輪系統(tǒng)

式中ui、ri、Ii（下標(biāo)i為c、r、s和1…N）分別為各輪沿嚙合線方向上的扭轉(zhuǎn)線位移（即ui= riθi）、基圓半徑和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其中rc則表示太陽(yáng)輪圓心與行星輪圓心之間的距離。下標(biāo)c、r、s和1…N分別表示行星架、內(nèi)齒環(huán)、太陽(yáng)輪和各行星輪。mn為各行星輪的質(zhì)量。E為系統(tǒng)的內(nèi)部激勵(lì)，包括時(shí)變嚙合剛度和輪齒修形的激勵(lì)，F(xiàn)T為外部的載荷向量。在所討論的行星輪系統(tǒng)中，行星架固定，扭矩從太陽(yáng)輪通過(guò)行星輪傳遞至內(nèi)齒環(huán)。E和FT的具體表達(dá)形式為

式中g(shù)r(n,m)和gs(n,m)分別為內(nèi)齒環(huán)和太陽(yáng)輪與第n個(gè)行星輪嚙合處的輪齒修形量，hn為同時(shí)參與嚙合的輪齒數(shù)量。外部載荷F=Ts/rs，其中Ts為外加在太陽(yáng)輪上的扭矩。km為時(shí)變嚙合剛度矩陣。ksn(t)和krn(t)分別為太陽(yáng)輪和內(nèi)齒環(huán)與第n個(gè)行星輪的嚙合剛度。脫齒現(xiàn)象由階躍函數(shù)Θ(δ)來(lái)實(shí)現(xiàn)。δ為輪齒嚙合時(shí)的壓縮變形，當(dāng)δ為正時(shí)，輪齒處于接觸狀態(tài)，Θ(δ)= 1；當(dāng)輪齒脫離時(shí)，δ為負(fù)，此時(shí)Θ(δ)=0。

圖1　行星輪質(zhì)量集中模型圖

2　時(shí)變嚙合剛度

圖2為無(wú)量綱的人字齒輪單齒嚙合剛度示意圖，圖3為綜合重合度c=2.4時(shí)的綜合嚙合剛度示意圖，其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式可以表達(dá)為式(2)，各項(xiàng)系數(shù)如式(3)所示：

圖2　時(shí)變嚙合剛度示意圖

圖3　綜合嚙合剛度示意圖

c1=min(cβ,ct ),c2=max(cβ,ct )，cβ、ct、c分別為縱向重合度、端面重合度和綜合重合度。N是同時(shí)參與嚙合的輪齒數(shù)量的最大值，即N是大于綜合重合度c的最小整數(shù)。由a0=2c2/N可知，縱向重合度與端面重合度中較大的那一個(gè)決定了時(shí)變嚙合剛度的平均值。由式(3)可以看出，cβ或ct為整數(shù)時(shí)，綜合剛度的各階幅值皆為零，綜合剛度為一個(gè)恒定值［16］。綜合嚙合剛度的第n階波動(dòng)系數(shù)可以表示為

表1　五行星輪均布人字齒行星輪的主要參數(shù)

采用表1中的數(shù)據(jù)，由縱向重合與齒厚、螺旋角的關(guān)系式(5)和式(4)可以得到圖4和圖5。

圖4　螺旋角和齒寬對(duì)嚙合剛度第1階波動(dòng)幅值的影響

3　多尺度法分析

通過(guò)多尺度法分析，可以得到系統(tǒng)振動(dòng)幅值與嚙合頻率的近似關(guān)系式。分別為太陽(yáng)輪-行星輪、內(nèi)齒環(huán)-行星輪的時(shí)變嚙合剛度的第1階傅里葉系數(shù)。脫齒函數(shù)可以表示為[17]

圖5　螺旋角對(duì)嚙合剛度各階波動(dòng)幅值的影響

其中Gsniw和Grniw分別為矩陣Gsn和Grn的第(i,w )個(gè)元素。為模態(tài)矩陣，ωi是i階固有頻率，θsm是太陽(yáng)輪-行星輪嚙合脫齒函數(shù)的第m階傅里葉系數(shù)

對(duì)于?r=?s，內(nèi)齒環(huán)-行星輪嚙合脫齒函數(shù)的θr0和θrm為將式(9)中的下標(biāo)s換為r。對(duì)于?r=?s+π，則θr0=θs0，且

其中ξs、ξr分別為太陽(yáng)輪-行星輪、內(nèi)齒環(huán)-行星輪在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的脫齒時(shí)間，T為振動(dòng)周期。

4　實(shí)例分析

以表1中的人字齒行星輪機(jī)構(gòu)為例，利用式和龍格庫(kù)塔法分別分析螺旋角和齒厚對(duì)該機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)、動(dòng)態(tài)傳遞誤差的影響。

利用式(4)、和式(5)、式(8)可以得到在固有頻率附近太陽(yáng)輪振動(dòng)幅值與人字齒齒厚、螺旋角的關(guān)系，如圖6所示。可以看出，螺旋角與齒厚對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)幅值有著周期性的影響。結(jié)合式(5)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)螺旋角和齒厚的取值使得縱向重合度接近整數(shù)時(shí)，行星輪機(jī)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)可被極大地減小。

為進(jìn)一步說(shuō)明螺旋角和齒厚對(duì)人字齒行星輪機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，從圖6中選取了A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，利用式(1)建立的離散模型，借助龍格-庫(kù)塔法分別計(jì)算這四個(gè)點(diǎn)上太陽(yáng)輪扭轉(zhuǎn)方向在第1階固有頻率附近的振動(dòng)響應(yīng)以及太陽(yáng)輪-行星輪的頻域動(dòng)態(tài)傳遞誤差。

圖7得到與圖6相吻合的結(jié)果，A點(diǎn)處的振動(dòng)幅值最大，B、C次之，而D點(diǎn)振動(dòng)幅值最小。可以看出，選取恰當(dāng)?shù)穆菪呛妄X厚可以有效降低人字齒行星輪振動(dòng)幅值。

圖7　在第1階固有頻率附近A、B、C、D四點(diǎn)處太陽(yáng)輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)

借助龍格-庫(kù)塔法進(jìn)一步計(jì)算太陽(yáng)輪-行星輪在A、B、C、D四點(diǎn)處的動(dòng)態(tài)傳遞誤差，如圖8所示。

與圖7和圖6中的結(jié)果相吻合，A點(diǎn)處動(dòng)態(tài)傳遞誤差最大，且在第2階扭轉(zhuǎn)固有頻率附近出現(xiàn)了脫齒現(xiàn)象，動(dòng)態(tài)傳遞誤差曲線有明顯軟化現(xiàn)象。而B、C兩點(diǎn)動(dòng)態(tài)傳遞誤差則明顯減小，已經(jīng)沒有了脫齒現(xiàn)象。D點(diǎn)處的動(dòng)態(tài)傳遞誤差則最小，此時(shí)行星輪傳遞精度得到了極大提高。

圖8　A、B、C、D四點(diǎn)處，太陽(yáng)輪-行星輪的動(dòng)態(tài)傳遞誤差

5　結(jié)語(yǔ)

研究了人字齒行星輪的螺旋角和齒厚對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)、動(dòng)態(tài)傳遞誤差的影響。首先利用傅里葉展開式，分析了螺旋角、齒厚對(duì)時(shí)變嚙合剛度各階波動(dòng)幅值的影響；利用多尺度法得到了固有頻率附近機(jī)構(gòu)振動(dòng)幅值與時(shí)變嚙合剛度、嚙合頻率的關(guān)系式。進(jìn)而可以直接得到螺旋角與齒厚對(duì)機(jī)構(gòu)振動(dòng)幅值的影響。并通過(guò)一個(gè)實(shí)例分析驗(yàn)證推導(dǎo)結(jié)果，得到以下幾個(gè)結(jié)論：

(1)建立的人字齒行星輪動(dòng)力學(xué)模型考慮時(shí)變嚙合剛度、齒廓側(cè)隙、脫齒等非線性因素的影響，并利用該模型分析人字齒齒厚與螺旋角對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)幅值的影響，得到與多尺度法一致的結(jié)果。

(2)人字齒的螺旋角與齒厚對(duì)齒輪組的時(shí)變嚙合剛度有著周期性影響，當(dāng)二者取值使得縱向重合度接近整數(shù)時(shí)，時(shí)變嚙合剛度的各階波動(dòng)幅值接近為零。

(3)實(shí)例分析證明，選取適當(dāng)?shù)穆菪呛妄X厚，可以同時(shí)降低太陽(yáng)輪-行星輪、內(nèi)齒環(huán)-行星輪時(shí)變嚙合剛度的波動(dòng)幅值，繼而減小結(jié)構(gòu)振動(dòng)幅值，提高其傳動(dòng)精度。

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Influence of Tooth Width and Helical Angle on Dynamic Characteristics of Herringbone Planetary Gears

WU Wen-min1, XUN Chao2, LONG Xin-hua2
( 1. ChinaHelicopter Researchand Development Institute, Jingdezhen 333000, Jiangxi China; 2. StateKey Laboratory of Mechanical Systemand Vibration, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China)

Abstract:The influences of tooth width and helical angle on the dynamic characteristics of herringbone planetary gears were analyzed through multi- scale approach. A lumped parameter model of herringbone planetary gears was established with theconsideration of time-varying meshing stiffnessand contact loss. Based on thismodel, theinfluenceof helical angleand tooth width on thedynamic responsewasanalyzed. Theresult showsthat, helix angleand tooth width have periodical effectson thetime-varying mesh stiffnessof each order, thereforethedynamic responseamplitudesand dynamic transmissionerror canbereducedby proper choiceof thehelix angleandtoothwidth.

Key words:vibration and wave; helix angle; tooth width; herringbone planetary gear; dynamic characteristics; dynamictransmissionerror; multi-scaleapproach

通訊作者：荀超（1990-），男，山西臨汾人，博士生，主要研究方向?yàn)辇X輪動(dòng)力學(xué)。E-mail:xhlong@sjtu.edu.cn

作者簡(jiǎn)介：吳文敏，男，江西人，主要研究方向?yàn)橹鄙龣C(jī)設(shè)計(jì)、研究。

收稿日期：2015-10-23

文章編號(hào)：1006-1355(2016)02-0052-04+79

中圖分類號(hào)：THO322；

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.02.011