含非線性部件的船舶推進軸系自由振動解析

肖能齊，周瑞平，林晞晨(武漢理工大學能源與動力工程學院，武漢430063)

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含非線性部件的船舶推進軸系自由振動解析

肖能齊，周瑞平，林晞晨
(武漢理工大學能源與動力工程學院，武漢430063)

摘要：通過分析含非線性元件的扭轉振動數學模型特點，建立單一質量點的非線性扭轉振動方程，從而推導得到多自由度系統非線性扭轉振動通用方程。研究諧波平衡法以及攝動法在求解非線性系統的優缺點，提出采用攝動-諧波法求解多自由度系統非線性振動方程，推導得到自由振動通用計算公式，為求解非線性多自由度系統自由振動提供了一定的理論指導和參考。

關鍵詞：振動與波；非線性；扭振；推進軸系；自由振動

隨著造船技術的發展，船舶動力裝置向著大型化、復雜化和自動化發展，其推進軸系中會出現多個高彈性聯軸器等非線性部件，使得該系統具有非線性扭轉振動特性。與軸系線性振動問題求解相比較，含非線性元件的軸系扭轉振動問題在理論和方法上有很大的差異。

非線性振動問題在工程上廣泛存在[1–3]，國內外許多學者對求解非線性振動問題進行了研究。如文獻[4]采用多尺度法對剛度分段線性系統的非線性振動方程進行求解，得到分段線性保守自治系統自由振動解析解的通用公式。文獻[5]提出在單自由度強非線性振動方程中，引入人工參數以及采用Lindstedt-Poincare方法，求解非線性自由振動。文獻[6]采用非線性振動平均法求解具有非線性特性的三圓盤扭轉振動模型在系統滿足3:1型內共振的解。

以含非線性元件的扭轉振動數學模型為研究對象，分析線性部分、非線性部分和既含線性部分也含非線性部分三種基本模型的特點，建立某質量點的扭轉振動基本方程，從而得到含非線性元件的多自由度系統扭轉振動方程；同時通過對多自由度系統扭轉振動方程的分析，采用攝動-諧波平衡法推導得到自由振動通用計算公式。

1　數學模型與一般方程

由船舶推進軸系扭轉振動當量系統集總參數理想模型的簡化原則可知，在推進軸系系統中，大部分元件的慣量、剛度和阻尼特性均可以以線性來簡化或者近似線性特性來簡化。由于高彈性聯軸器依靠橡膠等實現扭矩的傳遞，因此在船舶推進軸系系統實際工程中其剛度和阻尼非線性總是存在，且剛度具有三次非線性特性[7]。

不論是對于傳統的船舶推進軸系還是當前廣泛運用的復雜混合動力推進軸系，按照扭轉振動當量系統簡化原則，均可以簡化成類似于如圖1所示的推進軸系集總參數扭轉振動模型，其扭轉振動模型由線性部分和非線性部分組成。下面將討論線性部分、非線性部分和既含線性部分也含非線性部分三種基本模型，建立質量點扭轉振動一般方程。

圖1　推進軸系集總參數扭轉振動模型

如圖2所示模型只含線性部分時，第k質量點的扭轉振動一般方程為

式（1）可轉化為

圖2　模型只含線性部分

如圖3所示，模型只含非線性部分時，即剛度具有三次非線性特性時有

其中常數K10、K11、K12、K20、K21、K22均與材料特性有關；Uk-1,k和Uk,k+1表示彈性力矩；。

由式(3)—式(4)，第k質量點的非線性扭轉振動一般方程為

圖3　模型只含非線性部分

如圖4所示，模型含線性和非線性部分時，同理可知第k質量點的扭轉振動一般方程為

圖4　模型含線性和非線性部分

2　攝動-諧波平衡法求解軸系自由振動

不考慮非線性元件的推進軸系理想扭轉振動數學模型，根據式（1）可以得到扭轉振動方程

其中，轉動慣量矩陣[J]為對角矩陣；剛度矩陣[K]為三對角矩陣；阻尼矩陣[C]為內阻尼（三對角矩陣）和外阻尼矩陣（對角矩陣）之和；{T(t)}為作用于系統的激勵力矩向量。

而對于含非線性元件的推進軸系扭轉振動模型，由式（1）、式（5）和式（6）可得到扭轉振動方程

其中[J]、[C]和[K]0含義同上；而[K]1為{?}的一次函數，[K]2為{?}的二次函數。顯然，對于線性部分{?}的一次函數和二次函數系數為0。

對于非線性系統的求解，若采用傳統的諧波平衡法，但其具有精度不高的不足，需對解的結果有一定的預判，在實際應用中較為困難；而傳統攝動法需要進行大量繁瑣的微分運算，隨著攝動方程階數的提高而求解難度增加。因此提出在諧波平衡法的基礎之上引入攝動思想，實現二種方法的優勢互補。由于篇幅原因，僅討論含非線性元件的推進軸系扭轉振動模型的非線性無阻尼自由振動求解問題，即

假定式（9）解的形式為

將式（10）代入式（9）各項，可知

將式(11)—式(14)左右兩邊相加，變形后可得

通過比較cosθ、cosiθ等各項前的系數可以得到：

1）常數項

2）當i=1時cosθ前系數

3）當i=2時cos2θ前系數

4）當i=3時cos3θ前系數

5）當i＞3時cosiθ前系數

λ值使得

其中[I]為單位矩陣。

為將式(16)至式(20)進行線性等價變換，設

將式(22)、式(23)代入式(16)至式(20)，變形后可得

(1)常數項

(2)當i=1時cosθ前系數

(3)當i=2時cos2θ前系數

(4)當i=3時cos2θ前系數

(5)當i＞3時cosiθ前系數

根據式(25)至式(28)和式(9)可知

按照同次冪系數關系對上述方程進行求解，根據式(24)求解得

根據式(25)、式(29)和式(30)聯合求解得

根據式(26)求解得

根據式(27)求解得

根據式(28)求解得

綜上所述，可以得到

3　實例計算與分析

某船舶推進軸系系統按照當量系統集總參數理想模型的簡化原則，推進軸系扭轉振動當量參數如表1所示。當量系統圖如5所示，其中高彈性聯軸器剛度具有三次非線性特性，即彈性力為

表1　某船舶推進軸系扭轉振動當量參數

圖5　某船舶軸系扭轉振動當量系統圖

α=0.7 MNm/rad3。

利用攝動-諧波平衡法求解，對船舶推進軸系系統進行自由振動計算，計算結果如表2所示。表中給出了系統一階固有頻率的計算結果，其中振幅為系統第9質量點處振幅。對于系統其他階固有頻率同理也可以求出。

表2　1階固有頻率值

為了驗證攝動-諧波平衡法得到的非線性扭轉振動自由振動通用計算公式的正確性，采用ANSYS軟件用有限元法進行驗證。其中轉動慣量通過MASS21質量單元表述，扭轉剛度通過彈簧單元COMBIN14表述，可以得到如圖6所示的某船舶軸系扭轉振動有限元模型。

圖6　某船舶軸系扭轉振動有限元模型圖

利用彈性聯軸器具有非線性剛度的特點和表格2所示的振幅計算得到彈性聯軸器的剛度，將剛度值依次代入到ANSYS軟件所建立的振動模型中進行模態分析，從而驗證了攝動-諧波平衡法得到的非線性扭轉振動自由振動通用計算公式的正確性。由于篇幅有限，僅給出振幅為0.2 rad時,系統一階固有頻率有限元模態分析結果，其大小為8.477 Hz，與理論計算結果基本一致，如圖7所示。

若不考慮彈性聯軸器的非線性特性，按照線性特性求解上述船舶推進軸系系統，其一階轉速為53.084 rad/s，即固有頻率為8.448 Hz，且與振幅的大小沒有任何關系。根據表2以及攝動-諧波平衡法求解軸系系統自由振動的計算公式可知，含非線性部

圖7　振幅為0.2rad時系統1階固有頻率

件的軸系系統固有頻率值隨振幅的變化而變化，并非如同線性系統固有頻率一樣為固定值，因此按照部件實際的非線性特性計算，可以得到更為準確的系統固有頻率，避免系統共振點的遺漏；同時可為后續研究含非線性部件的軸系系統強迫振動計算提供指導。

4　結語

(1)通過對含有非線性元件數學模型特點的分析，得到非線性扭轉振動的一般方程，具有一定的通用性。

(2)結合諧波平衡法和攝動法的優缺點，提出運用攝動-諧波平衡法求解非線性扭轉振動方程，從而得到非線性元件自由振動通用計算公式；使得軸系非線性振動問題求解過程變得簡單。

(3)求解含非線性元件船舶推進軸系扭轉振動固有頻率，為后續研究含非線性元件軸系強迫振動提供了一定的理論指導和參考。

參考文獻：

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Analysis of Free Vibration of Marine Propulsion Shafting System with Nonlinear Components

XIAO Neng-qi , ZHOU Rui-ping , LIN Xi-chen
( School of Energy and Power Engineering, Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, China)

Abstract:Through the analysis of the characteristics of torsional vibration of the marine propulsion shafting system with nonlinear components, a single- mass nonlinear torsional vibration equation was established, and then the general equations for multi- DOF nonlinear torsional vibration of the system were derived. Harmonic balance method and perturbation method were used to solve these equations, and the advantage and disadvantage of these methods were analyzed. The general free- vibration formulas were formulated. This work may provide a theoretical guidance and a referencefor multi-DOFnonlinear freevibrationanalysis.

Key words:vibrationandwave; nonlinear; torsional vibration; propulsionshafting; freevibration

通訊作者：周瑞平(1964- )，男，教授，博士生導師。E-mail:rpzhouwhut@126.com

作者簡介：肖能齊（1987-）男，湖北省漢川市人，博士生，主要研究方向為船舶動力裝置性能分析與減振降噪。E-mail:xiaonengqi@126.com

基金項目：科技部2013年專項船舶柴電混合電力系統關鍵技術開發資助項目（2014BAG04B02）

收稿日期：2015-10-12

文章編號：1006-1355(2016)02-0135-04+214

中圖分類號：U664.21

文獻標識碼：ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.02.030