初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題的解題策略

王妮妮（大連市107中學(xué)　遼寧大連　116106）

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初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題的解題策略

王妮妮
（大連市107中學(xué)遼寧大連116106）

摘要：動點(diǎn)問題通常會將一個(gè)大主題細(xì)化成若干個(gè)小問題，由淺入深，層層遞進(jìn)，該題型有助于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用動態(tài)思維去分析問題、解決問題的能力。在解決動點(diǎn)問題時(shí)，首先必須把握好"動中有靜"的解題思想，通過動中求靜、確定問題中的不變關(guān)系，動靜互化，把握運(yùn)動中的特殊位置，以動制動，建立圖形中變量的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而探索出解決問題的方法。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題解題策略

動點(diǎn)問題是用“運(yùn)動和變化”的眼光去觀察和研究問題，挖掘運(yùn)動和變化的全過程。要求學(xué)生要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識，較好的閱讀理解能力以及較強(qiáng)的數(shù)學(xué)建模能力。解決動點(diǎn)問題一般需要經(jīng)歷觀察、思考、畫圖、推理、反思等實(shí)踐活動，需要去觀察、分析、概括所給的問題，找出其中不變的量和相等關(guān)系，揭示它的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并且轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題，從而解決問題。因其“綜合性強(qiáng)，知識點(diǎn)多，對能力要求高”的特點(diǎn)，它為考查初三不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和思維水平提供了平臺。

1．注重對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)

動點(diǎn)問題條件往往不少，在教學(xué)中不能就題論題，要引導(dǎo)學(xué)生逐步地分解問題，并歸納到解題步驟中去，題目中給出的條件是什么意思，對應(yīng)著哪個(gè)步驟，對每一個(gè)步驟中出現(xiàn)的，我們可以運(yùn)用學(xué)過的什么知識去解題，只有分析透徹了，下次學(xué)生遇到別的題目才能學(xué)著按照步驟去分析，才能避免出現(xiàn)“眉毛胡子一把抓”，不知道題目里出現(xiàn)的條件派什么用場的情況；數(shù)學(xué)的分類討論其實(shí)是思維深刻性的體現(xiàn)，教師在教學(xué)中對根據(jù)什么分類，分類標(biāo)準(zhǔn)是否明確，還有沒有更好的分類方法，討論要盡可能地深入，不能點(diǎn)到為止，為以后的學(xué)習(xí)帶來隱患。

2．注重學(xué)生閱讀能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)的閱讀能力是一種很重要的數(shù)學(xué)能力，對于解決問題是有首當(dāng)其沖的關(guān)鍵作用。在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，一般都是教師講，學(xué)生很少有時(shí)間去閱讀課本和相關(guān)資料，以至于有的學(xué)生看到文字就頭暈，就怕做或不做。所以，在教學(xué)中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀的教學(xué)安排就顯得很有必要。另外，加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀對學(xué)生自主學(xué)習(xí)也很有好處。

3．注重運(yùn)用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)

在“動點(diǎn)問題”的教學(xué)中，因?yàn)閯狱c(diǎn)問題比較抽象，學(xué)生不容易進(jìn)行想象，教師往往用計(jì)算機(jī)來輔助教學(xué)。如，“幾何畫板”模擬圖形的運(yùn)動，也有缺點(diǎn)，因?yàn)槲覀儾豢赡軙r(shí)刻都帶著計(jì)算機(jī)，而且用了計(jì)算機(jī)，學(xué)生只是看明白了,下次自己做還是不能夠合理分析。所以，在教學(xué)中，要用計(jì)算機(jī)，但要適當(dāng)使用，最終還是要有要學(xué)生脫離計(jì)算機(jī)，關(guān)鍵還是學(xué)生要學(xué)會分類作圖。

如圖1，A（0，2），B（2，0），C（2，2），線段OB上有一動點(diǎn)P，在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)以P為邊長作正方形APQR，試判斷三角形ACR的形狀，并說明理由。

圖1　

解析：此題易證△AOP≌△ACR（SAS），即∠ACR=∠AOP=90°，故ACR是直角三角形。在教學(xué)中可繼續(xù)問學(xué)生：在點(diǎn)P從原點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中，線段AP的數(shù)量大小如何變化？正方形APQR的大小如何變化？點(diǎn)R的位置如何變化？如果學(xué)生能答出以下結(jié)論，才算是該問題弄明白、想透徹了。從原點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中，線段AP的長度越來越長；正方形APQR逐漸變大；點(diǎn)R的位置在直線CB上，且從點(diǎn)C逐漸向上運(yùn)動到（2，4）。這一運(yùn)動過程中始終不變的是∠ACR=90°。

如圖2，上題中如果點(diǎn)P運(yùn)動越過點(diǎn)B，在線段OB的延長線上運(yùn)動，若點(diǎn)P（m，0），試求線段BQ所在直線的解析式。

圖2　

解析：此問易證△AOP≌△PTQ（AAS），

∴PT=AO=2，QT=OP=m；

∵P（m，0）∴OP=m，BP=m-2

∴BT=m-2+2=m，∴BT=QT，∴∠QBT=45°

∴BQT是等腰直角三角形，

∴易求線段BQ所在直線的解析式是：y=x-2

這一問題中隨著點(diǎn)P越過點(diǎn)B向右運(yùn)動，正方形APQR逐漸變大，但是蟻QBT始終是45°，點(diǎn)Q在定直線y=x-2上運(yùn)動。

例3，

①當(dāng)點(diǎn)E在CD上運(yùn)動時(shí)，如圖3。分別過點(diǎn)A、D作AF上BC于點(diǎn)F，DH上BC于點(diǎn)H，則四邊形ADHF為矩形，且AABF—ADCH，從而FH=AD=75，于是BF=CH=30。∴DH=AF=40。又QC=3t。從而QE=QC· tanC=3t·DH，CH=4t．∴s=SQCE=1／2QE·QC=6t2；

②當(dāng)點(diǎn)E在DA上運(yùn)動時(shí)，如圖4。過點(diǎn)D作DH上BC于點(diǎn)H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，從而ED=QH=QC—CH=3t一30。

∴S=S0CDE=1／2（ED+QC）DH=120t-600。

評析：主要考查學(xué)生分類討論的思想，對用含有t的代數(shù)式表示線段的要求有了進(jìn)一步的提高。

4．動點(diǎn)問題的解題關(guān)鍵是：在運(yùn)動過程中找出變化的量與不變的量

1）解決動點(diǎn)問題的解題方法

動中覓靜：這里的“靜”就是問題中的不變量或不變關(guān)系，動中覓靜就是在圖形的運(yùn)動變化中探求問題中的不變量。

動靜互化：有些問題是求最值或者形成的特殊幾何圖形，其實(shí)就是在運(yùn)動變化的過程中，動點(diǎn)在某些特殊位置形成的特殊圖形或特殊的數(shù)量關(guān)系。動靜互化就是抓住靜的瞬間，把一般問題轉(zhuǎn)化成為特殊情況，從而找到“動”和“靜”的關(guān)系。

2）解決動點(diǎn)問題的基本步驟

結(jié)束語

總之，動點(diǎn)問題綜合性強(qiáng)，知識點(diǎn)多，對能力的要求也高，既有助于系統(tǒng)地考查和分析學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的困難以及產(chǎn)生困難的原因和學(xué)生的能力缺陷，又有助于培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題、分類討論的能力以及發(fā)散思維能力，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。教師在引導(dǎo)學(xué)生解決動點(diǎn)問題時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生主動觀察、分析、概括、推理所給的問題，從中找出隱含的不變量和變量關(guān)系，把握運(yùn)動中的某些極端位置和特殊位置，進(jìn)而揭示問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并將其轉(zhuǎn)化成熟悉的數(shù)學(xué)問題，使問題得到有效地解決。

參考文獻(xiàn)：

[1]王中文。初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題的解題策略卟讀與寫：教育教學(xué)刊，2012

[2]呂小利。關(guān)于初中數(shù)學(xué)解題策略的探討卟數(shù)理化學(xué)習(xí)，2011

王妮妮，遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院2014教育碩士

作者簡介：