彈性退休制下退休年金的隨機(jī)精算模型與模擬測算?

孫 榮

(重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400067)

1 引言

目前我國是世界上老齡化程度最高的國家之一，65歲以上的老年人口已接近1.3億人，處于快速老齡化階段.而到了2012年至2050年，我國將處于加速老齡化階段，這一階段老齡人口將穩(wěn)定在3–4億，超過總?cè)丝诘?3%，老年人口達(dá)到高峰，人口撫養(yǎng)將隨老年人口撫養(yǎng)比大幅提高.屆時，我國將面臨人口老齡化、總?cè)丝谶^多的雙重困境，這一切將會給我國的經(jīng)濟(jì)、社會帶來嚴(yán)峻挑戰(zhàn).不僅如此，中國人口的預(yù)期壽命已經(jīng)呈現(xiàn)穩(wěn)步上升的趨勢，1980年至2010年期間，平均每五年上升約1歲.如果退休年齡政策不變，則意味著老年人口退休后的余壽不斷增加，我國退休人員每年約增加300萬人，而我國的養(yǎng)老保險“空賬”卻以25%左右的速度擴(kuò)大，2011年城鎮(zhèn)基本養(yǎng)老保險個人賬戶記載為2.5萬億.但實(shí)賬部分卻僅為2.25萬億，給養(yǎng)老金支付帶來的壓力可想而知.而同時我國現(xiàn)有退休制度在人口老齡化背景下導(dǎo)致了退休年齡低齡化、退休人口贍養(yǎng)率提高、退休制度缺乏彈性導(dǎo)致人力資本浪費(fèi)、由于出生率與死亡率的變化，導(dǎo)致勞動力短缺等問題的出現(xiàn)，這些為我國退休制度改革提出了緊迫性的要求.

彈性退休制的最大特點(diǎn)是有彈性空間，公民擁有選擇權(quán)，即采取自愿的原則，讓公民在制度框架內(nèi)自行選擇自己的退休年齡.當(dāng)前彈性退休制度己成為眾多國家應(yīng)對人口老齡化、勞動力市場結(jié)構(gòu)調(diào)整的重要政策主張.法國是最先進(jìn)入老年型國家，從2004年開始，其法定的退休年齡從60歲延長到65歲，企業(yè)職工在14–16歲參加工作、保險年限達(dá)到40–42年間時，允許其在56–59歲間申請?zhí)崆巴诵荩辉谌鸬洌毠た梢栽?5歲的時候退休，也可以在70歲的時候退休，每推遲一個月退休，其養(yǎng)老金就增加0.6%，在60–64歲退休的，每提前一個月退休，其養(yǎng)老金就減少0.5%.在60–70歲之間可以繼續(xù)選擇工作，也可以部分的領(lǐng)取養(yǎng)老金而從事非全日制的工作；英國領(lǐng)取國民養(yǎng)老金的年齡分別為男性65歲，女性60歲.女性的退休年齡將在2010–2020年間逐步提高至65歲，男性公民國民年金繳費(fèi)滿44年，女性繳費(fèi)滿39年即可獲得全額養(yǎng)老金.女性的繳費(fèi)期限也將在2010–2020年間逐步延長為44年；美國的退休年齡為62歲，提前一個月退休的，其養(yǎng)老金水平為法定退休年齡的0.56%，推遲一年退休，其養(yǎng)老金水平增加3%，到2027年時，每推遲一年，其養(yǎng)老金即將增加8%[1].從西方較早進(jìn)入老齡化國家的實(shí)際情況來看彈性退休制具有可行性，應(yīng)當(dāng)是未來我國社會養(yǎng)老保險制度改革的選項之一，因此，作為社會養(yǎng)老保險隱性債務(wù)精算的基礎(chǔ)，研究彈性退休制假定下的退休年金模型是對保險精算中的退休年金理論的發(fā)展與完善，具有重要的理論意義.另一方面她也可以為彈性退休制下的保險金、均衡保險費(fèi)等的精算分析，為我國應(yīng)對人口老齡化進(jìn)行養(yǎng)老保險制度改革，防控養(yǎng)老保險帳戶風(fēng)險提供了精算基礎(chǔ)，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

對于年金理論，生存概率與利率等是影響年金現(xiàn)值的重要因素.精算函數(shù)中的生存概率模型的建立以合理預(yù)測死亡率為基礎(chǔ).Cairns等[2]指出合理預(yù)測隨機(jī)死亡率的模型要滿足：保證死力恒正，模型與歷史數(shù)據(jù)相符合，模型符合人類長期生存特征；長期看來死亡率應(yīng)該是非均值回復(fù)的；模型能夠?qū)崿F(xiàn)定價、參數(shù)估計和數(shù)據(jù)處理.早期由Lee和Cairns提出了預(yù)測死亡率的離散時間模型，假設(shè)死亡強(qiáng)度是時間和年齡的簡單時間序列.由于模型較簡單，不能很好的反映死亡率的隨機(jī)變化特征，他們的工作被Renshaw等學(xué)者進(jìn)行了的改進(jìn)和推廣.但隨著模型的完善，有關(guān)的計算也越來越繁瑣.連續(xù)時間模型中的仿射過程具有很好的隨機(jī)性質(zhì)，更重要的是可以簡化計算，為了使模型更加趨于合理，結(jié)合我國人口生存特征，本文利用非均值回復(fù)仿射過程刻畫死亡強(qiáng)度得到的生存函數(shù)模型[2-4].

對于精算函數(shù)中的利率模型，1976年Boyel考慮了壽險與年金中死亡率與利率均為隨機(jī)的情況，即所謂的“雙隨機(jī)性”，隨后又有不少學(xué)者做過這方面的研究，對于隨機(jī)利率他們都是以時間序列方法建模的，20世紀(jì)90年代，一些學(xué)者利用攝動方法建模，得到了具有“雙隨機(jī)性”的確定年金及壽險的一系列結(jié)果.Beekman等于1990、1991年分別由O-U過程和Wiener過程建模，得到了某些年金現(xiàn)值的前二階矩.何文炯等對隨機(jī)利率采用Gauss過程建模，得到了一類即時給付增額壽險的給付現(xiàn)值的各階矩，并在死亡均勻分布假設(shè)下，得到了矩的簡潔表達(dá)式.劉凌云等則將息力采用Gauss過程和Possion過程聯(lián)合建模，也給出了一類即時給付的增額壽險的給付現(xiàn)值的各階矩.吳耀華、Beekman等[4]、孫榮[5]采用Wiener過程對隨機(jī)利率建模分別分析了家庭聯(lián)合保險.

由于社會養(yǎng)老保險與商業(yè)人壽保險有著根本的不同，故不能簡單運(yùn)用壽險精算模型，需要根據(jù)社會養(yǎng)老保險的特點(diǎn)，對壽命精算模型進(jìn)行修正或重新推導(dǎo).北美精算師鮑爾斯等著的《精算數(shù)學(xué)》從兩個方面介紹了確定利率條件下退休金計劃的精算原理并推導(dǎo)出一

些基本精算模型：一是退休金計劃估價理論，推導(dǎo)出醵出金、退休受益等指標(biāo)的精算基本函數(shù)；二是退休基金累積理論，推導(dǎo)了用于描述精算成本方法的有用函數(shù).而國外對彈性退休制的相關(guān)研究主要集中退休制度的宏觀研究，如：Weller認(rèn)為，如果要通過延遲退休年齡來解決當(dāng)前社會保障資金短缺，需將法定退休年齡提高6.6歲；若只填補(bǔ)一半的社會保障資金短缺，法定退休年齡仍然要提1.4歲；Brothers指出，理解個人退休年齡的選擇來預(yù)測個人退休年齡的選擇，個人退休年齡的選擇受金錢、時間、個體情況以及參照人群的影響；Estell James認(rèn)為我國的退休年齡低、成本高，依據(jù)舊體系就必須得承擔(dān)相當(dāng)大的財政負(fù)擔(dān)，并且也會在一定程度上影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展，而當(dāng)2015年以后，勞動年齡人口比重下降的時候，其制度內(nèi)的贍養(yǎng)比率會更大，要解決這一問題的最好方法就是使公式在精算上具有合理性，對退休年齡做出相應(yīng)調(diào)整；Vineenzo Galasso指出，延遲退休年齡問題在政治學(xué)領(lǐng)域也有很大爭議，并對法國、美國、意大利和英國延遲退休年齡做了政治可行性分析等，而對于彈性退休制下的退休年金研究較少，這可能與西方國家較早實(shí)行了彈性退休制有關(guān).國內(nèi)對精算科學(xué)的研究包括養(yǎng)老保險精算研究起步較晚，現(xiàn)有國內(nèi)退休金的精算研究主要是對現(xiàn)有退休制度下確定利率與隨機(jī)利率條件下的精算研究.對確定利率條件下的退休金精算研究主要有：錢文浩和黃潔綱[6]建立了固定繳款養(yǎng)老金計劃和固定給付的保險費(fèi)繳納與養(yǎng)老金給付的精算公式；王曉軍通過建立多減因子模型、工資變動子模型、退休年金精算現(xiàn)值子模型等建立了養(yǎng)老金的給付精算現(xiàn)值；邱菀華和高建偉[7]，張文慧和吳君民[8]、高建偉和丁克詮[9]，分析了個人賬戶養(yǎng)老金給付及發(fā)放標(biāo)準(zhǔn)精算模型；王茶香利用養(yǎng)老保險平衡原理對個人賬戶和社會統(tǒng)籌賬戶職工在崗期間養(yǎng)老金繳納的終值和退休后養(yǎng)老金領(lǐng)取的現(xiàn)值建立了精算模型.這些模型為我國養(yǎng)老賬戶核算提供了精算基礎(chǔ)，由于養(yǎng)老金計劃時間上的長期性，確定利率不能夠反映利率變動的風(fēng)險性，所以理論上對隨機(jī)利率下的退休金精算研究是大趨勢，這方面的研究主要有：高建偉和李春杰[10]對利率分別以AR(p)與廣義的AR(p)建模分析了繳費(fèi)預(yù)定型企業(yè)年金保險生存年金的精算現(xiàn)值模型；東明[11]等對利率以Wiener過程建模得到了養(yǎng)老金給付現(xiàn)值的期望值和方差的具體表達(dá)式；高建偉和丁克詮[9]，高建偉等[12]對利率分別以MA(q),ARMA(q)建模分析了繳費(fèi)預(yù)定型企業(yè)年金精算函數(shù)；孫榮[13]以利息力服從變化過程建立了養(yǎng)老金計劃的多重衰減模型，這些模型對利率進(jìn)行了隨機(jī)化處理，反映了利率變動的風(fēng)險性，但這些利率模型多是連續(xù)的或平穩(wěn)的隨機(jī)模型，不能夠反映利率在時間上的非穩(wěn)定性；為了彌補(bǔ)這一不足，尚勤和秦學(xué)志[14]引入了帶跳的非連續(xù)隨機(jī)微分方程生存模型及連續(xù)的CIR隨機(jī)微分方程利率模型對隨機(jī)條件下的退休年金進(jìn)行了討論，用統(tǒng)計模擬的方法分析了長壽風(fēng)險對年金成本的影響，該模型可以保證死力恒正、死亡率發(fā)生的跳躍及利率的均值回復(fù)特征，具有一定的理論與實(shí)踐意義，但上述模型均沒有考慮利率時間上的突變性的特征，沒有考慮退休年齡變化對年金的影響，不適用于彈性退休制.目前還沒有針對彈性退休制下退休金的相關(guān)精算研究，故研究彈性退休制下的退休金精算模型即具有重要的理論價值，又具有現(xiàn)實(shí)的緊迫性.本文擬對現(xiàn)有研究模型進(jìn)行改進(jìn)與完善的基礎(chǔ)上，運(yùn)用非連續(xù)的利率與死亡率隨機(jī)模型對彈性退休制下的生命年金、退休年金與均衡凈保費(fèi)等相關(guān)精算函數(shù)進(jìn)行分析.

2 退休年金與保費(fèi)的計算

2.1 退休年齡模型

設(shè)為年齡為x歲的退休年齡，彈性退休制度假設(shè)為男性退休年齡為是在[60,65]取整的隨機(jī)變量，服從二項分布，概率為p,p＞0為右偏分布，p＜0為左偏分布，

2.2 利率模型

無風(fēng)險利率采用帶跳的Cox-Ingersoll-Ross隨機(jī)模型

其中Nt是一個Possion過程，強(qiáng)度為λ,b,c,σ＞0,2bc≥σ2，a為每次跳的幅度，Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動.

Cox,Ingersoll與Ross提出了一種短期利率模型

Feller證明了當(dāng)2bc≥σ2時，利率非負(fù)[15].模型(1)實(shí)際上是跳幅為a的帶跳的Cox-Ingersoll-Ross利率模型.經(jīng)典的Cox-Ingersoll-Ross利率模型具有均值回復(fù)項與非負(fù)性的典型特征，同時又考慮到利率變化的偶然性.Cox-Ingersoll-Ross過程與跳過程的結(jié)合，可以很好的反映我國利率的均值回復(fù)特征及時間上的突變性.令

由Feynman-Kac定理可得到

其中A為無窮小算子，由(2)可得

令

由(3)可得

解方程組(5)得

其中

同理由(4)可得

其中

2.3 生存概率模型

死力強(qiáng)度采用帶跳的Feller過程

其中Wt是標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動，Jt是純復(fù)合Possion過程，強(qiáng)度為λ?，均值為μ，Wt與Jt相互獨(dú)立.帶跳的Feller過程沒有均值回復(fù)項是非均值回復(fù)過程，符合死亡率長期變化特征.同時，此過程還可以保證死力恒正，并且反映死亡率發(fā)生的跳躍.由文獻(xiàn)[2]得生存概率

其中Tx代表年齡為x歲的余壽，C(t),D(t)滿足以下常微分方程

初值條件為A(0)=0,B(0)=0，則

其中

2.4 退休年金精算模型

2.4.1 退休年金與生命年金

在彈性退休制下x歲年初支付額為1的退休年金現(xiàn)值為

在彈性退休制下x歲年初繳納額為1至Tx?年的定期生命年金現(xiàn)值為

w代表極限壽命，假定利率過程、死力過程與退休時間相互獨(dú)立，v(t)為折現(xiàn)系數(shù)，由利息理論可知

利用r(s)的Markov性，由(3)–(11)可得彈性退休制下x歲年初支付額為1的退休年金精算現(xiàn)值x歲年初繳納額為1至Tx?年的定期生命年金精算現(xiàn)值為

2.4.2 均衡保費(fèi)和退休年金二階矩

保險損失L=Z1?PZ2由平衡原理得均衡凈保費(fèi)

退休年金二階矩

3 實(shí)證研究

由于精算函數(shù)涉及參數(shù)較多，需要對相關(guān)參數(shù)進(jìn)行設(shè)定，依據(jù)我國的實(shí)際利率水平并參考文獻(xiàn)[2]及其他相關(guān)文獻(xiàn)的方法設(shè)定參數(shù)的結(jié)果，見表1.

根據(jù)參數(shù)設(shè)定表，對相關(guān)精算函數(shù)運(yùn)用統(tǒng)計軟件進(jìn)行模擬測算，其結(jié)果見表2.

表1:退休年金精算函數(shù)參數(shù)設(shè)定表

表2:退休年金精算函數(shù)模擬測算表

從表2可以看出，在其它參數(shù)保持不變的情況下，p=0.4與p=0.7的年金精算相比，p=0.4時各年齡現(xiàn)值都低于p=0.7時，p=0.4時各年齡現(xiàn)值都高于p=0.7時，變動幅度大約在4個百分點(diǎn)左右，相應(yīng)的均衡凈保費(fèi)p=0.4時都高于p=0.7時，這是由于p＜0.5為正偏分布，p＞0.5為負(fù)偏分布.正偏分代表期望退休年齡變小，負(fù)偏分布代表期望退休年齡延遲.

為了進(jìn)一步研究死亡率與利率帶跳過程中參數(shù)變化對退休年金精算現(xiàn)值的影響，表3列出了在過程中死亡率初值ux(0)、參數(shù)a?,λ?對退休年金價值的影響.可以看出，在其它參數(shù)保持不變的情況下，初值ux(0)對年金現(xiàn)值的影響較為明顯.隨著初值ux(0)的增加年金精算現(xiàn)值顯著減小，呈現(xiàn)一定的負(fù)相關(guān)關(guān)系.以x=35為例，ux(0)由0.00020增加到0.0030，減少14.13%左右，減小5%左右.ux(0)由0.00030增加到0.00040，減少11.84%，減少7%左右.在固定的初值下，參數(shù)a?和退休年金精算現(xiàn)值也呈現(xiàn)一定的負(fù)相關(guān)關(guān)系，跳躍強(qiáng)度λ?的變化對年金現(xiàn)值的影響比較小.

表3:ux(0),a?,λ?對年金現(xiàn)值的影響(p=0.7)

4 結(jié)論

彈性退休制的最大特點(diǎn)是有彈性空間，公民擁有選擇權(quán)，即采取自愿的原則，讓公民在制度框架內(nèi)自行選擇自己的退休年齡，相比較簡單延長退休年齡的觀點(diǎn)，“彈性退休制”更符合我國實(shí)際.目前，我國相關(guān)部門正在對彈性退休制進(jìn)行調(diào)研，而退休年金是養(yǎng)老保障體系的重要組成部分，因此對彈性退休制下的相關(guān)退休年金進(jìn)行研究有現(xiàn)實(shí)的緊迫性.本文研究了彈性退休制下退休年金的多隨機(jī)精算函數(shù)，針對退休年齡運(yùn)用二項分布，利率及死亡力度均采用非連續(xù)帶跳隨機(jī)微分方程模型，對相關(guān)的生命年金、退休年金、退休年金二階矩精算現(xiàn)值與均衡凈保費(fèi)等精算函數(shù)進(jìn)行了分析，給出了相應(yīng)的表達(dá)式，并運(yùn)用這些公式對相關(guān)精算函數(shù)進(jìn)行了靈敏度測算，反映了模型中各主要因素對于精算函數(shù)的影響程度.這些公式一方面是對保險精算中的退休年金理論的發(fā)展與完善，具有重要的理論意義，另一方面也可以為彈性退休制下的保險金、均衡保險費(fèi)等的精算分析，為我國應(yīng)對人口老齡化進(jìn)行養(yǎng)老保險制度改革，控養(yǎng)老保險帳戶風(fēng)險提供了精算基礎(chǔ)，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

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