非奇異H-矩陣的一組判定條件?

崔靜靜,陸 全,徐 仲,安曉虹

(西北工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，西安 710072)

1 引言

在實(shí)際應(yīng)用中如何有效地判定一個(gè)矩陣是否為非奇異H-矩陣，一直是人們關(guān)注的問題.近年來國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)非奇異H-矩陣進(jìn)行了深入的研究[1-11].本文利用矩陣指標(biāo)集的k-級(jí)劃分給出了非奇異H-矩陣一組判定條件，該判定條件推廣和改進(jìn)了已有的相關(guān)結(jié)果，豐富和完善了非奇異H-矩陣的判定方法.

用Cn×n表示n×n階復(fù)矩陣的集合.設(shè)矩陣的指標(biāo)集的k-級(jí)劃分為

記

在本文總假設(shè)

定義1設(shè)如果則稱A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，為A∈D；若存在正對(duì)角矩陣X，使得AX∈D，則稱A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣(即A為非奇異H-矩陣)，記

定義2設(shè)若存在使得

則稱A為α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，記為若式中的不等式均嚴(yán)格成立，則稱A為嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，記為若存在正對(duì)角矩陣X，使得則稱A為廣義嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，記為若式中至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式成立且A不可約，則稱A為不可約α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，記為；若對(duì)式中每個(gè)等式成立的下標(biāo)i，都存在非零元素鏈滿足則稱A為具非零元素鏈α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，記為

引理1[1]設(shè)若滿足下列條件之一，則

1)2)3)

引理2[2]設(shè)若存在正對(duì)角矩陣X，使得則

2 非奇異H-矩陣的一組判定條件

利用α-對(duì)角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)，并利用劃分矩陣指標(biāo)集的方法，給出了如下的判定非奇異H-矩陣的新充分條件.

記

定理1設(shè)存在使得對(duì)任意的，有

令Wα為所有滿足以上嚴(yán)格不等式的Nt之并集，若下列條件之一成立，則

1)Wα=N；2)A為不可約矩陣，且

3)對(duì)任意的存在非零元素鏈，使得

證明 由Ri/=0知，N.對(duì)，由Wα定義知

從而存在正數(shù)ε，使得

取正對(duì)角矩陣令其中

不失一般性，設(shè)

1)對(duì)任意的由(1)、(2)及

得

2)對(duì)任意的有

綜上所知：且：

1)若Wα=N，則

2)因B不改變A的不可約性，且故由定義2知

3)因B不改變A的非零元素鏈，故由定義2知

于是，由引理1知再由引理2知

注1文獻(xiàn)[4]中定理2.1(III)是本文定理1當(dāng)k=1時(shí)特例；文獻(xiàn)[7]中定理2為本文定理1當(dāng)k=2,α=1時(shí)特例；文獻(xiàn)[9]中定理1為本文定理1當(dāng)α=1時(shí)特例.

記

定理2設(shè)存在使得對(duì)任意的有

且

若A還滿足下列條件之一，則

1)

2)A為不可約矩陣，且

3)對(duì)任意的存在非零元素鏈?zhǔn)沟?/p>

圖1中陰影部分為空白部分為

圖1:J1(α),J2,(α),J3(α)之間關(guān)系圖

證明 由Ri/=0知且由式(3)，有

令

其中

下證

(a)對(duì)任意的

首先，考慮情形.

當(dāng)時(shí)，有

從而

其次，考慮與至少有一個(gè)不為零的情形.

故對(duì)任意的

(b)對(duì)任意的當(dāng)時(shí)，有

當(dāng)時(shí)，有

綜上所述：且：

1)由(b)可知，當(dāng)J1(α)=?時(shí)，有

由(a)可知，當(dāng)時(shí)，有

故當(dāng)時(shí)，

2)當(dāng)時(shí)，有

由于

故由(a)及(b)可知，當(dāng)時(shí)

又因B不改變A的不可約性，故若則

3)由于對(duì)任意的存在非零元素鏈?zhǔn)沟霉蔅具非零元素鏈，則

于是由引理1知再由引理2知

注2文獻(xiàn)[4]中定理2.2(II)是本文定理2當(dāng)k=2時(shí)特例；文獻(xiàn)[9]中定理2為本文定理2當(dāng)α=1時(shí)特例；文獻(xiàn)[10]中定理1為本文定理2當(dāng)都是單點(diǎn)集，并且都是A的對(duì)角占優(yōu)行，而Nk是A的非對(duì)角占優(yōu)行集時(shí)特例.

3 數(shù)值算例

例1 設(shè)矩陣

則用文獻(xiàn)[3]中定理1(3°)，文獻(xiàn)[4]中定理2.1(III)，文獻(xiàn)[10]中定理1及文獻(xiàn)[11]中定理1均不能判定A是否為非奇異H-矩陣，而用本文定理1可判定A為非奇異H-矩陣.事實(shí)上，對(duì)文獻(xiàn)[3]中定理1，有

文獻(xiàn)[4]中定理2.1，有

對(duì)文獻(xiàn)[10]中定理1，有且

對(duì)文獻(xiàn)[11]中定理1，有且

而對(duì)本文定理1，取α=0.1,k=3，即

則

滿足本文定理1條件(1)，故用本文定理1可判定A為非奇異H-矩陣.事實(shí)上，取正對(duì)角矩陣D=diag(1,1,5,0.5,1,1,1,0.5,1)時(shí)，有

即A確為非奇異H-矩陣.

例2設(shè)矩陣

則用文獻(xiàn)[3]中定理2(2°)，文獻(xiàn)[4]中定理2.2(II)，文獻(xiàn)[10]中定理1及文獻(xiàn)[11]中定理1均不能判定A是否為非奇異H-矩陣，而用本文定理2可判定A為非奇異H-矩陣.事實(shí)上，在文獻(xiàn)[3]中，有且

在文獻(xiàn)[4]中，對(duì)任意的均有且令則對(duì)任意的有

在文獻(xiàn)[10]中，有且

在文獻(xiàn)[11]中，有且

而對(duì)本文定理2，取α=0.1,k=3，即

則

且

滿足本文定理2條件(1)，故用本文定理2可判定A為非奇異H-矩陣.事實(shí)上，取正對(duì)角矩陣D=diag(1,1,2,0.5,0.5,1,1,0.5,1)時(shí)，有

即A確為非奇異H-矩陣.

參考文獻(xiàn)：

[1]Sun Y X.An Improvement on a theorem by ostrowski and its applications[J].Northeastern Mathematical Journal,1991,7(4):497-502

[2]Liu J Z,Zhang C Q.Some criteria for nonsingularH-matrices[J].Natural Science Journal of Xiangtan University,2008,30(3):21-29

[3]徐仲，陸全.判定廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的一組充分條件[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2001,18(3):11-15 Xu Z,Lu Q.A set of sufficient condition for identifying generalized strictly diagonally dominant matrices[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2001,18(3):11-15

[4]匡巧英.H-矩陣和廣義H-矩陣的一些判別方法[D].湘潭：湘潭大學(xué)，2013 Kuang Q Y.Some determinate conditions for nonsingularH-matrices and generalizedH-matrices[D].Xiangtan:Xiangtan University,2013

[5]孫玉祥.廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣的充分條件[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1997,19(3):216-233 Sun Y X.Sufficient condition for generalized dominant matrices[J].Numerical Mathematics a Journal of Chinese Universities,1997,19(3):216-233

[6]王磊磊，席博彥，劉建州.非奇異H-矩陣的幾個(gè)充分條件[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2014,29(1):55-62 Wang L L,Xi B Y,Liu J Z.Several sufficient conditions for judging nonsingularH-matrices[J].Applied Mathematics a Journal of Chinese Universities,2014,29(1):55-62

[7]侯進(jìn)軍，李斌.H-矩陣的一組新判定[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008,31(2):266-270 Hou J J,Li B.Some new condition for nonsingularH-matrices[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2008,31(2):266-270

[8]謝清明.判定廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣的幾個(gè)充分條件[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006,23(4):757-760 Xie Q M.Sufficient condition for generalized diagonally dominant matrices[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2006,23(4):757-760

[9]冷春勇.非奇異H-矩陣的判定[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2011,34(1):50-56 Leng C Y.Criteria for nonsingularH-matrices[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2011,34(1):50-56

[10]黃廷祝.非奇H-矩陣的簡(jiǎn)捷判據(jù)[J].計(jì)算數(shù)學(xué)，1993,15(3):318-328 Huang T Z.Some simple determinate conditions for nonsingularH-matrices[J].Mathematical Numerica Sinica,1993,15(3):318-328

[11]Gan T B,Huang T Z.Simple criteria for nonsingularH-matrices[J].Linear Algebra and its Applications,2003,374:317-326