變保費(fèi)率復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù)?

賀麗娟,王成勇,張 鍇

(1-文華學(xué)院基礎(chǔ)學(xué)部，武漢 430074;2-湖北文理學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，襄陽(yáng) 441053)

1 引言

自Gerber和Shiu于1998年首次提出罰金折現(xiàn)期望函數(shù)以后，研究風(fēng)險(xiǎn)模型的罰金折現(xiàn)期望函數(shù)的學(xué)者越來(lái)越多.如Gerber和Landry[1]、Tsai和Willmot[2]、Chiu和Yin[3].由于罰金折現(xiàn)期望函數(shù)具有很多性質(zhì)，故其成為風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程研究的熱點(diǎn)之一.

目前，有關(guān)經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的罰金折現(xiàn)期望函數(shù)的研究已趨于成熟.但在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中，用來(lái)刻畫(huà)風(fēng)險(xiǎn)事件和賠付事件的過(guò)程為Poisson過(guò)程，收到的保費(fèi)率為常數(shù).以上假設(shè)條件過(guò)于理想化，導(dǎo)致很多情況下與保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的實(shí)際經(jīng)營(yíng)過(guò)程不相符，如：災(zāi)難性保險(xiǎn)、交通事故保險(xiǎn)等.為了使模型更加符合實(shí)際，毛澤春和劉錦萼[4]提出了一類稱為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程的計(jì)數(shù)過(guò)程，包振華等[5]給出了復(fù)合Poisson-Geometric分布的幾個(gè)性質(zhì)，廖基定等[6]則給出了復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型Gerber-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù).

本文將經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的索賠到達(dá)過(guò)程推廣為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程，并且考慮到保費(fèi)收入的變化，研究了變保費(fèi)率復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù)，推廣后的模型對(duì)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的經(jīng)營(yíng)者或決策者更具有實(shí)際的指導(dǎo)意義.

2 模型介紹

在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中，單位時(shí)間收取的保費(fèi)為常數(shù)，而在現(xiàn)實(shí)情況中，保費(fèi)率不一定是常數(shù).王刈禾和胡亦鈞[7]考慮到這種情況，提出一類變保費(fèi)率風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了其Gerber-Shiu懲罰函數(shù)滿足的積微分方程.

同時(shí)，經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)用Poisson過(guò)程來(lái)描述索賠次數(shù)過(guò)程，Poisson分布的一個(gè)重要性質(zhì)是方差與均值相等，這就意味著，風(fēng)險(xiǎn)事件與賠付事件是等價(jià)的.但在現(xiàn)實(shí)的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，保險(xiǎn)公司為了規(guī)避自身風(fēng)險(xiǎn)，會(huì)采取回避風(fēng)險(xiǎn)機(jī)制，推出免賠額制度和無(wú)賠款折扣制度等，使得賠付次數(shù)小于事故發(fā)生次數(shù).

在這種背景下，毛澤春和劉錦萼[4]提出了復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程(簡(jiǎn)記為PG過(guò)程，引入詳情可參閱文獻(xiàn)[4])，用PG過(guò)程來(lái)描述索賠次數(shù)過(guò)程，定義如下：

定義1[4]如果某隨機(jī)變量ζ對(duì)應(yīng)的母函數(shù)為

則稱母函數(shù)G(t)所對(duì)應(yīng)的分布為復(fù)合Poisson-Geometric分布，記為PG(λ,ρ).

定義2[4]設(shè)λ＞0,0≤ρ＜1，稱{N(t),t≥0}為參數(shù)為λ,ρ的復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程，如果滿足：

1)N(0)=0；

2){N(t),t≥0}具有獨(dú)立平穩(wěn)增量；

3)對(duì)t＞0，有N(t)～PG(λt,ρ)，而且

注1[4]之所以稱為復(fù)合Poisson-Geometric分布，是因?yàn)槲覀兛梢杂靡韵路椒ǖ玫酱朔植迹涸O(shè)隨機(jī)變量N服從參數(shù)為的Poisson分布，為獨(dú)立同參數(shù)為1?ρ的Geometric分布，記則?的矩母函數(shù)與ζ的矩母函數(shù)相同.

注2[4]定義2中的ρ稱為偏離參數(shù)，刻畫(huà)事故發(fā)生次數(shù)與索賠次數(shù)的差異.當(dāng)ρ=0時(shí)，復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程就是Poisson過(guò)程.因此，復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程是Poisson過(guò)程的一種推廣.

綜合以上因素，本文考慮如下風(fēng)險(xiǎn)模型

其中u=U(0)為初始資本，c(t)是時(shí)間t的函數(shù)，表示t時(shí)刻的保費(fèi)率.一般而言，c(t)是一有界函數(shù)，設(shè)其下界為c，上界為d.S(t)為索賠過(guò)程，表達(dá)式為

表示t時(shí)刻的索賠總額.其中為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程；Xi表示第i次索賠額，假設(shè)是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，分布函數(shù)為F(x)，相應(yīng)的密度函數(shù)為f(x)，期望為μ，且與相互獨(dú)立.

與經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型一樣，我們定義破產(chǎn)時(shí)刻為

相應(yīng)的破產(chǎn)概率定義為

若安全負(fù)載記為θ，則保費(fèi)函數(shù)的下界應(yīng)滿足

Gerber和Shiu在1998年引入了Gerber-Shiu懲罰函數(shù)，其定義為

其中ω(·,·)是二元非負(fù)可測(cè)函數(shù)，稱為懲罰函數(shù)，0＜v≤1為折現(xiàn)率，IA是示性函數(shù)，U(T?)為破產(chǎn)前瞬時(shí)盈余，|U(T)|為破產(chǎn)時(shí)赤字.我們假設(shè)ψ(u,ω,v)關(guān)于u是可微的.

本文根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的馬爾科夫性，首先推導(dǎo)出懲罰函數(shù)ψ(u,ω,v)滿足的更新方程.在此基礎(chǔ)上，得到破產(chǎn)概率，破產(chǎn)前瞬時(shí)盈余分布，以及破產(chǎn)時(shí)刻赤字分布這些特征量滿足的更新方程.最后，在索賠服從指數(shù)分布的情形下，得到了該風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率滿足的不等式.

3 主要結(jié)果

引理1[4]若是參數(shù)為λ,ρ的復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程，記若ρ=0，則取α=λ，則當(dāng)t→0時(shí)，有

其中

o(t)與k無(wú)關(guān)，且一致收斂.

引理2[4]索賠過(guò)程具有獨(dú)立平穩(wěn)增量.

以上兩個(gè)引理的證明，詳情可參閱文獻(xiàn)[4].引理2也說(shuō)明，本文提出的風(fēng)險(xiǎn)模型(1)仍然是一個(gè)馬爾科夫過(guò)程.

記

為索賠分布F(x)的k重卷積，

為f(x)的k重卷積，

定理1在滿足(5)的條件下，模型(1)的折現(xiàn)懲罰函數(shù)滿足以下更新方程

其中

證明 由于索賠過(guò)程具有獨(dú)立平穩(wěn)增量，對(duì)充分小的Δt，考慮內(nèi)索賠發(fā)生的情況，記

表示(0,Δt)內(nèi)收到的保費(fèi)，由全概率公式可得

當(dāng)內(nèi)索賠總量大于時(shí)，必然破產(chǎn)，故

將(9)代入(8)得

由于ψ(u,ω,v)關(guān)于u是可微的，故有

將(11)代入(10)式，可得

由引理1知，(12)中各項(xiàng)級(jí)數(shù)均一致收斂，將(12)式移項(xiàng)后等號(hào)兩邊同時(shí)除以Δt，并令Δt→0，整理得

將代入上式，再一次運(yùn)用級(jí)數(shù)的一致收斂性，并考慮到

則上式化為

(13)式兩端對(duì)u從0到z積分并化簡(jiǎn)，得

其中

在(14)式兩端令z→∞可得

將(15)式代入(14)式整理，得

記

則(16)式寫為

命題得證.

注3若則根據(jù)(6)可知

即文獻(xiàn)[4]中定義的破產(chǎn)發(fā)生時(shí)的盈余懲罰期望ψ(u;ω).

推論1破產(chǎn)發(fā)生時(shí)的盈余懲罰期望滿足以下更新方程

注4若則根據(jù)(6)可知即破產(chǎn)概率.

推論2破產(chǎn)概率滿足以下更新方程

特別地，當(dāng)初始資本為0，即u=0時(shí)，破產(chǎn)概率為

其中θ為安全負(fù)載.

注5若則根據(jù)(6)可知

表示破產(chǎn)時(shí)刻赤字分布，記為G(u,z).

推論3破產(chǎn)時(shí)刻赤字分布函數(shù)滿足以下更新方程

定理2假設(shè)個(gè)體索賠額Xi服從參數(shù)為β＞0的指數(shù)分布，則有

證明Xi服從參數(shù)為β＞0的指數(shù)分布，即

因此，是參數(shù)為(k,β)的Gamma分布，即

從而有

在(15)式中令則(15)式化為

等價(jià)于

(22)式兩端對(duì)u求導(dǎo)得

(22)式兩端同時(shí)乘以(1?ρ)β，加到(23)式得

該微分方程的通解為

其中

當(dāng)u→∞時(shí)，ψ(u)→0，從而k1=0；當(dāng)u=0時(shí)，由此得到破產(chǎn)概率的表達(dá)式

進(jìn)一步的，可以得到破產(chǎn)概率滿足的不等式

命題得證.

在(27)式中，令ρ=0，可得

(28)式即為經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中，當(dāng)個(gè)體索賠服從參數(shù)為β的指數(shù)分布時(shí)，破產(chǎn)概率滿足的不等式[8].

4 數(shù)值計(jì)算與實(shí)例

定理2給出了破產(chǎn)概率與u,ρ,c(0)之間的關(guān)系.這為我們分析u,ρ,c(0)的變化對(duì)破產(chǎn)概率的影響，提供了理論以及數(shù)值分析的可能性.下面針對(duì)個(gè)體索賠額服從指數(shù)分布的情況，取θ=0.2，利用定理2作數(shù)值計(jì)算，分析u,ρ,c(0)的變化對(duì)破產(chǎn)概率的影響.圖1給出了的(Ψ,ρ,u)三維圖，圖2給出了(Ψ,c(0),u)的三維圖.

圖1:(Ψ,ρ,u)三維圖

圖2:(Ψ,c(0),u)的三維圖

從圖1可以直觀的看到：當(dāng)u增大時(shí)，Ψ會(huì)很快地減??；當(dāng)ρ增大時(shí)，Ψ會(huì)增大.

從圖2可以看到：當(dāng)u增大時(shí)，Ψ會(huì)很快地減小；當(dāng)c(0)增大時(shí)，Ψ也會(huì)減小.

下面我們給出一個(gè)應(yīng)用算例，來(lái)具體說(shuō)明保險(xiǎn)公司的賠付政策和保費(fèi)政策對(duì)自身風(fēng)險(xiǎn)的影響.

假設(shè)我國(guó)某保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)的某險(xiǎn)種，初始準(zhǔn)備金1000萬(wàn)元，該保險(xiǎn)的個(gè)體索賠服從指數(shù)分布，平均索賠額5萬(wàn)元，安全附加系數(shù)θ=0.2.

當(dāng)索賠次數(shù)無(wú)偏離，即ρ=0時(shí)，假設(shè)c(0)=5萬(wàn)元，λ=0.2，由定理2，可計(jì)算出該險(xiǎn)種的破產(chǎn)概率Ψ.

1)當(dāng)索賠次數(shù)無(wú)偏離，即ρ=0時(shí)，假設(shè)c(0)=5萬(wàn)元，λ=0.2，由定理2，可計(jì)算出該險(xiǎn)種的破產(chǎn)概率Ψ1=6.51498×10?71.

2)若索賠次數(shù)有偏離，偏離量ρ=0.2時(shí)，假設(shè)c(0)=5萬(wàn)元，λ=0.2，由定理2，可計(jì)算出該險(xiǎn)種的破產(chǎn)概率Ψ2=1.9169120×10?53.

以上兩種情況的破產(chǎn)概率都很小，但我們可以看到，當(dāng)索賠次數(shù)有偏離時(shí)，破產(chǎn)概率的增速為2.942316×1017倍.

對(duì)第二種情況，如果將初始時(shí)刻收到的保費(fèi)c(0)提高至50萬(wàn)元，在其他數(shù)據(jù)不變的情況下，由定理2，可計(jì)算出此時(shí)的破產(chǎn)概率為Ψ3=2.22316×10?69，大大降低了破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn).

以上分析說(shuō)明，足夠充足的初始準(zhǔn)備金是降低風(fēng)險(xiǎn)的有力保證，但同時(shí)，索賠規(guī)律的偏離，會(huì)導(dǎo)致保險(xiǎn)公司破產(chǎn)概率的增大，而增大初始時(shí)刻收到的保費(fèi)額，可以適度減小保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn).

5 結(jié)論

本文主要研究了變保費(fèi)率復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)模型的罰金折現(xiàn)期望函數(shù)，給出了其滿足的更新方程，進(jìn)而得出破產(chǎn)概率，破產(chǎn)前瞬時(shí)盈余，破產(chǎn)赤字的聯(lián)合分布所滿足的積分方程，并得到了當(dāng)個(gè)體索賠服從指數(shù)分布時(shí)，破產(chǎn)概率的表達(dá)式及其滿足的不等式.最后，通過(guò)數(shù)值模擬和計(jì)算，分析了賠付偏離和保費(fèi)政策對(duì)破產(chǎn)概率的影響.

當(dāng)然，如果考慮利率、分紅等因素，可以建立更加貼近現(xiàn)實(shí)的風(fēng)險(xiǎn)模型，這也是今后研究的一個(gè)方向.

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