波浪水槽中Stokes五階波的數(shù)值生成

李邦華　鄭向遠(yuǎn)　李　煒　榮維棟

(大連理工大學(xué)船舶工程學(xué)院1)　大連　11602)　(清華大學(xué)深圳研究生院2)　深圳　518055)

(中國(guó)電建集團(tuán)華東勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司3)　杭州　310014)

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波浪水槽中Stokes五階波的數(shù)值生成

李邦華1)鄭向遠(yuǎn)2)李煒3)榮維棟1)

(大連理工大學(xué)船舶工程學(xué)院1)大連11602)(清華大學(xué)深圳研究生院2)深圳518055)

(中國(guó)電建集團(tuán)華東勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司3)杭州310014)

摘要：在Fluent軟件平臺(tái)下運(yùn)用邊界造波法，通過給定造波邊界處流體的五階速度和波面瞬時(shí)升高，實(shí)現(xiàn)了在數(shù)值波浪水槽中使用流體體積VOF法對(duì)Stokes五階波浪的精確模擬，得到的波浪與傳統(tǒng)理論值在時(shí)域和頻域內(nèi)均吻合很好.此外，為了更好地確定邊界水質(zhì)點(diǎn)輸入?yún)?shù)，對(duì)現(xiàn)有的若干種五階波理論解與流函數(shù)解在相同的波浪參數(shù)下進(jìn)行對(duì)比,發(fā)現(xiàn)波浪參數(shù)在Ursell判據(jù)所定義的五階波使用范圍內(nèi)時(shí)，理論解在波長(zhǎng)、波速、波面瞬時(shí)升高等參數(shù)上區(qū)別甚微，但在接近破碎和橢圓余弦波的波浪條件下，波長(zhǎng)和波速有較大的差別.

關(guān)鍵詞：斯托克斯五階波；數(shù)值波浪水槽；邊界造波法；VOF方法；流函數(shù)

0引言

在計(jì)算流體力學(xué)飛速發(fā)展的背景下，通過在計(jì)算機(jī)上建立成本低、易于改造和拓廣的二維或三維的多相數(shù)值波浪水槽已經(jīng)得到了大量的使用.

劉霞等[1]運(yùn)用FLUENT軟件中的UDF功能,通過定義造波邊界處波浪的速度和波形，曾成功模擬了二階Stokes波的產(chǎn)生和傳播.楊錦凌等[2]利用動(dòng)量源方法開發(fā)了能夠消除二次反射波的消波方法.廉靜靜等[3]建立了三維規(guī)則波數(shù)值波浪水槽，通過搖板造波方法得到了質(zhì)量較好的波形.路寬等[4]在三維數(shù)值波浪水槽中建立閉環(huán)控制系統(tǒng)，解決了數(shù)值水槽造波過程中輸入端與采集端數(shù)據(jù)不相符的問題.陸萍[5]使用源函數(shù)造波法并用VOF法對(duì)自由表面進(jìn)行追蹤，成功地模擬出不同工況下的線性規(guī)則波.

對(duì)于海洋結(jié)構(gòu)物波浪荷載的計(jì)算有時(shí)采用線性波理論或者低階的非線性波理論不能達(dá)到工程精度的要求.竺艷蓉[6]根據(jù)海洋結(jié)構(gòu)物的受力特性，通過理論計(jì)算與水槽試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，認(rèn)為使用Stokes五階波理論可以獲得比低階波理論更為精確的結(jié)果，因此在數(shù)值波浪水槽中生成五階波是十分必要的.Skjelbreia等[7]發(fā)表的論文中，斯托克斯五階波公式有微小的錯(cuò)誤，然而很多國(guó)內(nèi)外出版物中均直接采用此公式，并沒有對(duì)錯(cuò)誤項(xiàng)進(jìn)行修正.當(dāng)進(jìn)行數(shù)值波浪水槽模擬時(shí)若直接采用此公式，將引起波形和水質(zhì)點(diǎn)速度等誤差，從而影響水中結(jié)構(gòu)物所受的波浪力.因此本文在二維和三維數(shù)值水槽中進(jìn)行了Stokes五階波的生成，并饒有興趣地將修正前后的公式(Nishimura等[8]，邱強(qiáng)[9])、Fenton[10]傅里葉級(jí)數(shù)法,以及流函數(shù)法進(jìn)行了對(duì)比.

1控制方程

對(duì)于求解三維不可壓縮，密度為常數(shù)的波浪運(yùn)動(dòng)，可將控制方程簡(jiǎn)化如下.

根據(jù)質(zhì)量守恒得到的連續(xù)性方程：

(1)

根據(jù)牛頓第二定律得到的動(dòng)量方程：

(2)

式中：u，v，w分別為速度矢量x，y，z方向上的分量；Sx，Sy，Sz分別為x，y，z方向上的動(dòng)量源項(xiàng)；p為流體內(nèi)部壓強(qiáng)；μ為粘度；ρ為流體的密度;t為時(shí)間.

2VOF方法

流體體積法[11]其核心思想是通過網(wǎng)格單元的流體體積比φq來準(zhǔn)確地追蹤流體的自由液面.φq是標(biāo)量，表示第q相流體在網(wǎng)格單元中所占的體積分?jǐn)?shù).當(dāng)φq=1時(shí)，則表示該網(wǎng)格單元內(nèi)全部為第q相流體；當(dāng)φq=0時(shí)，則表示該網(wǎng)格單元內(nèi)沒有第q相流體；若0<φq<1時(shí)，則表示該網(wǎng)格單元中有一部分為q相流體.φq需滿足如下方程：

(3)

(4)

式中：u，v，w分別為速度矢量在x，y，z方向上的分量；t為時(shí)間.對(duì)于追蹤數(shù)值波浪水槽里的自由液面，只需設(shè)置氣液兩相即可.

3造波與消波

3.1邊界造波法

本文在FLUENT軟件平臺(tái)上進(jìn)行了二次開發(fā)，通過給定造波邊界處的流體在x和z方向上的速度以及波面瞬時(shí)升高實(shí)現(xiàn)了波浪的生成.對(duì)于Stokes五階波浪，在造波邊界處的速度和波面瞬時(shí)升高滿足以下條件.

x方向速度：

(5)

z方向速度：

(6)

波面瞬時(shí)升高：

(7)

其中各項(xiàng)系數(shù)如下：

式中：ω，d，k分別為圓頻率、水深和波數(shù).定義c=coshkd；s=sinhkd，其余各項(xiàng)系數(shù)參見文獻(xiàn)[7]，但應(yīng)注意其中的C2系數(shù)在1977年被Nishimura等指出有錯(cuò)誤.因此本文在計(jì)算時(shí)采用文獻(xiàn)[8]修正后的C2系數(shù).

3.2消波方法

本文采用阻尼消波法，該方法是通過在特定的計(jì)算區(qū)域內(nèi)的動(dòng)量方程中添加阻尼項(xiàng)來削弱或消除該區(qū)域的波動(dòng).添加阻尼項(xiàng)后的動(dòng)量方程為

(8)

式中：μ(x)為阻尼系數(shù)，沿波浪傳播方向?yàn)榫€性分布；υ為運(yùn)動(dòng)粘度；α為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)；x1和x2為消波區(qū)起始位置和終止位置在x軸上的坐標(biāo)值.

4波浪的數(shù)值模擬

4.1數(shù)值水槽模型的建立與網(wǎng)格劃分

本文中首先在二維數(shù)值波浪水槽實(shí)現(xiàn)了五階波的模擬，但由于二維數(shù)值水槽不能對(duì)具有復(fù)雜三維幾何構(gòu)造的結(jié)構(gòu)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，因此又建立了三維數(shù)值波浪水槽，見圖1.為了減少網(wǎng)格數(shù)量、提高計(jì)算效率，對(duì)于本文所要生成的五階波(波浪參數(shù)為水深1.2 m，周期1 s，波高0.123 4 m、波長(zhǎng)1.647 2 m)，造波區(qū)的長(zhǎng)度約一個(gè)波長(zhǎng)取1.7 m，試驗(yàn)區(qū)的長(zhǎng)度根據(jù)模型的大小進(jìn)行設(shè)置，本文取0.8 m，過渡區(qū)的長(zhǎng)度為0.7 m，消波區(qū)的長(zhǎng)度約兩個(gè)波長(zhǎng)取3.2 m.建立了二維和三維數(shù)值波浪水槽的幾何模型后，需要對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格劃分，為了在試驗(yàn)區(qū)得到較好模擬結(jié)果，本文在造波區(qū)和試驗(yàn)區(qū)以及靜水面上下一個(gè)波高范圍內(nèi)設(shè)置了較密的網(wǎng)格(見圖2)，所得到的二維和三維數(shù)值水槽的網(wǎng)格數(shù)量分別為21 952和439 040.

圖1　數(shù)值波浪水槽的縱向圖

圖2　數(shù)值波浪水槽網(wǎng)格劃分圖(側(cè)視圖)

4.2離散以及求解方法

本文中的數(shù)值波浪水槽使用了層流模型，水的密度取為1 024 kg/m3，粘度取0.001 003 Pa·s.對(duì)于計(jì)算域內(nèi)偏微分方程組的離散，F(xiàn)luent軟件使用了計(jì)算效率較高的有限體積法，對(duì)于控制體積界面上的物理量及其導(dǎo)數(shù)的插值本文均采用二階迎風(fēng)格式.運(yùn)用SIMPLE算法的分離式解法對(duì)離散后的方程組進(jìn)行求解，求解時(shí)的時(shí)間步長(zhǎng)取0.002 5 s.

4.3模擬結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證數(shù)值波浪水槽的造波和消波效果，在數(shù)值水槽的造波區(qū)x=1.4 m、試驗(yàn)區(qū)x=2 m、消波區(qū)x=6.4 m處均設(shè)置了虛擬浪高儀來監(jiān)測(cè)波面變化.由于二維和三維數(shù)值水槽得到的波形基本相同(圖3)，因此下文中的比較均使用了三維數(shù)值波浪水槽得到的結(jié)果.首先，將試驗(yàn)區(qū)距離造波端2 m處虛擬浪高儀得到的波面時(shí)域曲線與文獻(xiàn)[8]得到的理論解進(jìn)行了對(duì)比，見圖4.圖4中比較的是若干秒后的穩(wěn)定波形；其次，本文進(jìn)一步分析其頻譜特性(見圖5)，檢驗(yàn)其頻率含量與相應(yīng)的能量是否與理論值吻合；最后，圖6中比較的是造波區(qū)和消波區(qū)的波形，以檢驗(yàn)消波效果如何.

圖3　二維與三維數(shù)值波浪水槽在試驗(yàn)區(qū)的波形比較

圖4　造波區(qū)的波面瞬時(shí)升高與理論值的在時(shí)域上的比較

圖5　造波區(qū)波面瞬時(shí)升高與理論值在頻域譜上的比較

圖6　造波區(qū)與消波區(qū)波浪比較

為了定量對(duì)比數(shù)值水槽生成的五階波浪與Stokes五階波修正后解的差距，在此引入以下誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)數(shù)值水槽生成的五階波浪的精確度進(jìn)行評(píng)價(jià).

1) 峰值誤差Erp是指數(shù)值水槽生成的波浪在穩(wěn)定后的波面瞬時(shí)升高Eta′(t)的峰值和谷值相對(duì)于理論值Eta(t)的峰值和谷值的2個(gè)相對(duì)誤差的求和平均值，數(shù)學(xué)定義如下.

(9A)

2) 絕對(duì)誤差Ers是指數(shù)值水槽生成的波浪的波面瞬時(shí)升高Eta′(t)與理論值Eta(t)之差的絕對(duì)值之和與理論值Eta(t)的絕對(duì)值之和的比值，數(shù)學(xué)定義如下.

(9B)

3) 波峰的平均誤差Eap指數(shù)值水槽生成的波浪在穩(wěn)定后的波峰值Wp′(i)與理論解的波峰值Wp之差的求和平均值與理論解波峰值Wp的比值.

(9C)

4) 波谷的平均誤差Eav指數(shù)值水槽生成的波浪在穩(wěn)定后的波谷值Wv′(i)與理論解的波谷值Wv之差的求和平均值與理論解波峰值Wv的比值.

(9D)

使用4種誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)數(shù)值水槽生成的五階波的波面瞬時(shí)升高與理論值的誤差進(jìn)行了定量的分析，見表1.

表1　數(shù)值水槽模擬與理論值的誤差分析

由圖4、圖5，以及表1可知，數(shù)值波浪水槽生成的五階波與理論值在周期、波高等波浪參數(shù)上基本相同并且誤差較小，在頻域上的頻譜特性也十分一致，尤其是從圖5b)中可以看到5個(gè)顯著的峰值，對(duì)應(yīng)5個(gè)不同頻率的諧波.表1中的誤差主要來自于粘性作用，而傳統(tǒng)的五階波解大多基于無粘的攝動(dòng)解.由圖6造波區(qū)與消波區(qū)的波面瞬時(shí)升高對(duì)比知，所使用的阻尼消波能夠在消波區(qū)將波浪進(jìn)行有效的衰減，消波效果良好.

5五階波理論解的比較

對(duì)于邊界造波法，輸入的水質(zhì)點(diǎn)速度與波面瞬時(shí)升高等參數(shù)直接影響著水槽造波質(zhì)量的好壞.文獻(xiàn)[7]認(rèn)為文獻(xiàn)[8]中的C2系數(shù)有誤，即“+2 592”實(shí)際上是“-2 952”； 文獻(xiàn)[9]也按照Skjelbreia提出的方法進(jìn)行了推導(dǎo)并修正了C2系數(shù)；文獻(xiàn)[10]將流函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的形式，并將波陡kH/2作為攝動(dòng)參數(shù)進(jìn)行展開得到了五階波的解.文獻(xiàn)[12]提出了流函數(shù)波浪理論，與Stokes五階波浪理論相比，能夠更好的滿足邊界條件，因此計(jì)算結(jié)果最為精確.本文對(duì)以上幾種五階波公式與流函數(shù)波浪理論在8種具有代表性的波浪參數(shù)下得到的理論解進(jìn)行了對(duì)比，見表2.其中，RW7為的波浪參數(shù)為文獻(xiàn)[7]中波浪接近破碎和橢圓余弦波時(shí)的參數(shù)，RW8和RW3的波陡(在流函數(shù)解下)為最大和次大.此外，圖7～11更為顯著的展示了各浪理論解在波面上的差異.

圖7　RW3波浪條件下波面瞬時(shí)升高的對(duì)比(T=4 s，d=16 m，H=3.11 m)

圖8　RW5波浪條件下波面瞬時(shí)升高的對(duì)比(T=7 s，d=3.9 m，H=1 m)

圖9　RW6波浪條件下波面瞬時(shí)升高的對(duì)比(T=7 s，d=3 m，H=0.8 m)

對(duì)于各種波浪理論的適用范圍，很多學(xué)者進(jìn)行了相應(yīng)的研究.Le Méhauté[14]通過實(shí)驗(yàn)畫出了目前工業(yè)界廣泛使用的各種波浪理論的適用范圍圖，見圖12. Fenton[15-16]使用Ursell判據(jù)得到了Stokes與橢圓余弦波浪理論的分界線，從而代替了1990年所確定的分界線.本文在Fention所確定的波浪理論適用范圍圖(見圖13)中畫出了以上2種界線,其中Fention(1990)和Ursell=40分別表示他在1990年和1998年給出的分界線.

表2　8種波浪參數(shù)下五階波與流函數(shù)的比較

注：T為周期；d為水深；H為波高；L為波長(zhǎng)；H/L為波陡；ΔL為與用流函數(shù)波浪理論得到的波長(zhǎng)值之差；ΔPeak為與用流函數(shù)波浪理論得到的波峰值之差；Δux為與用流函數(shù)波浪理論得到的水質(zhì)點(diǎn)在x方向的最大速度值之差；Δuz為與用流函數(shù)波浪理論得到的水質(zhì)點(diǎn)在z方向的最大速度值之差.

圖10　RW7波浪條件下波面瞬時(shí)升高的對(duì)比(T=7.72 s，d=9.144 m，H=5.689 6 m)

圖11　RW8波浪條件下波面瞬時(shí)升高的對(duì)比(T=6.1 s，d=13 m，H=6.5 m)

文獻(xiàn)[14]給出的波浪破碎界限公式為

淺水區(qū)：

(10)

有限水深采用Michell公式：

(11)

深水區(qū)：

(12)

文獻(xiàn)[14]給出的Stokes與橢圓余弦波浪理論的分界線公式為

(13)

文獻(xiàn)[15-16]擬合出的波浪破碎界限公式為

(14)

文獻(xiàn)[15]給出的Stokes與橢圓余弦波浪理論的分界線公式為

(15)

文獻(xiàn)[16]給出的Stokes與橢圓余弦波浪理論的分界線公式為

(16)

式中：H，L，k，d分別為為波高、波長(zhǎng)、波數(shù)和水深.

本文將RW1～RW8所代表的波浪參數(shù)表示在以上2種常用的波浪理論適用范圍圖中(見圖12、圖13)，每種工況都有相應(yīng)的幾何形狀.在圖13中，波長(zhǎng)值均使用流函數(shù)波浪理論計(jì)算得到的波長(zhǎng)值.

圖12　波浪理論適用范圍圖(Le Méhauté 1969)

圖13　波浪理論適用范圍圖(Fenton)

1) 由表2和圖7，11，12可見，波浪參數(shù)在文獻(xiàn)[14]得到的斯托克斯波范圍內(nèi)時(shí)，Skjelbreia原文中和修正后的五階波公式得到的理論解區(qū)別甚微，同時(shí)與用Fenton推出的五階波公式得到的解也沒有太大區(qū)別，但用Fenton推出的五階波公式得到的解與用流函數(shù)波浪理論得到的解更為接近，對(duì)于RW1，2，3，4，8五種波浪條件均是如此.圖11表明，由于RW8的波陡大且接近破碎界限，各種五階波公式解的精度有所降低，但仍在工程誤差范圍內(nèi).

2) 圖11再度表明RW3在斯托克斯波的適用范圍內(nèi)，雖然其波陡為次大，但在圖7中由各種斯托克斯五階波理論得到的解和流函數(shù)得到的解有著很高的吻合度.不同于圖12，RW5在圖13中落入斯托克斯波的范圍內(nèi)，但從圖8中良好的吻合度可以看出， 用Ursell=40作為斯托克斯波與橢圓余弦波的分界線對(duì)RW5來說更為合理，而圖12的波浪理論適用范圍圖偏保守.

3) 對(duì)于RW6，圖13的Ursell=40判據(jù)表明其落入橢圓余弦波的范圍，而Fenton(1990)的判據(jù)卻將其納入斯托克斯波的范圍內(nèi)，從圖9中和表2中的差異可以看出，F(xiàn)enton得到的五階波公式對(duì)RW6并不適用，而其余3種五階波依然適用.

4) 對(duì)于RW7，從圖9中和表2中的差異可以看出，F(xiàn)enton的五階波解與流函數(shù)解相差就更大了，其余3種五階波解也有不小的誤差，但修正后的斯托克斯五階波公式得到的解在波長(zhǎng)和波速上誤差更小.

綜上所述，使用圖13中Ursell=40作為斯托克斯波與橢圓余弦波的分界線是最為合理的，其右域?yàn)闄E圓余弦波，其左域?yàn)樗雇锌怂共?其次，F(xiàn)enton的五階波理論僅適用于落入此判據(jù)左側(cè)的波浪參數(shù)，甚至不適合其1990年的直線判據(jù).

6結(jié)論

1) 本文以FLUENT軟件為計(jì)算平臺(tái)，采用VOF法進(jìn)行自由液面的追蹤，使用斯托克斯五階波浪理論、邊界造波法和阻尼消波法，建立了有效的數(shù)值波浪水槽并生成了精度良好的斯托克斯五階波浪.

2) 波浪參數(shù)在文獻(xiàn)[14]通過實(shí)驗(yàn)確定的五階波范圍內(nèi)時(shí)，Skjelbreia原文中和修正后的五階波公式得到的波理論解區(qū)別甚微，F(xiàn)enton導(dǎo)出的五階波公式的解與流函數(shù)解最為接近.在接近破碎和橢圓余弦波的波浪參數(shù)下，幾種五階波公式得到的解雖然在波面上相差不大，但波長(zhǎng)和波速以及波陡有較大的差別.Fenton導(dǎo)出的五階波公式甚至不適用于其1990年定義的斯托克斯波范圍.因此，在運(yùn)用數(shù)值水槽進(jìn)行模擬時(shí)，比如波浪對(duì)淺水中海洋風(fēng)力發(fā)電機(jī)基礎(chǔ)的作用，針對(duì)不同的波浪參數(shù)應(yīng)選擇正確的五階波公式或直接使用流函數(shù)計(jì)算出的水質(zhì)點(diǎn)速度與波形作為造波端的邊界輸入，此時(shí)應(yīng)使用Ursell=40作為斯托克斯波與橢圓余弦波的分界線.

參 考 文 獻(xiàn)

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LI Banghua1)ZHENG Xiangyuan2)LI Wei3)RONG Weidong1)

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DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China)1)(ShenzhenGraduateSchool,TsinghuaUniversity,Shenzhen518055,China)2)

(POWERCHINAHuadongEngineeringCorporation,OffshoreWindPowerR&DCenterof

POWERCHINAHuadong,Hangzhou310014,China)3)

Abstract：Using FLUENT, simulation of the fifth-order Stokes waves is achieved in the numerical wave flume by defining the inlet boundary conditions and using VOF solver. Comparison with theoretical wave profiles in both time- and frequency-domain shows that the simulated waves are accurate. In order to better determine the inlet water particle kinematics, the existing several models of fifth-order Stokes waves are compared with the stream function method being the most accurate method. These nonlinear solutions all agree well with each other when the wave conditions fall into the Stokes range specified by the Ursell criteria. However, they differ significantly from each other when waves approach the breaking limit and elliptical cosine wave conditions.

Key words：fifth-order stokes wave; numerical wave flume; wave-generation by defining inlet boundary conditions; VOF method; stream function

doi:10.3963/j.issn.2095-3844.2016.02.008

中圖法分類號(hào)：U66

收稿日期：2016-01-17

李邦華(1992- )：男，碩士生,主要研究領(lǐng)域?yàn)楹Ｑ蠼Y(jié)構(gòu)物結(jié)構(gòu)分析

*國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51379035，41206075)、中國(guó)電建集團(tuán)華東勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司“波浪在單立柱三樁式風(fēng)機(jī)基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)上的爬升及對(duì)工作平臺(tái)的砰擊作用研究”項(xiàng)目資助