基于多目標規劃的連續鋼桁梁預拱度設置研究*

李佳莉　張謝東　陳衛東　徐順蓮　張　行

(武漢理工大學交通學院1)　武漢　430063)　(烏海市公路管理局2)　烏海　016000)

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基于多目標規劃的連續鋼桁梁預拱度設置研究*

李佳莉1)張謝東1)陳衛東2)徐順蓮2)張行1)

(武漢理工大學交通學院1)武漢430063)(烏海市公路管理局2)烏海016000)

摘要：大跨度連續鋼桁梁橋結構復雜、超靜定次數較高，預拱度設置時易產生不利的次內力.為了準確便捷地求解合理的預拱度設置曲線，根據運籌學目標規劃理論，提出了基于多目標規劃的升降溫計算方法，建立了綜合考慮理論預拱度、附加反力和附加應力的最優化模型，利用MATAB軟件求得最優解.以某三跨連續鋼桁柔性拱橋預拱度設置為例，研究了預拱度最優化模型的建立及其求解，驗證了該計算方法的實用與可靠性.

關鍵詞：橋梁工程；預拱度設置；多目標規劃；鋼桁梁；最優化模型

0引言

為了抵消梁、拱、桁架等結構在荷載作用下產生的撓度，提高線路的平順性和通行質量，橋梁在施工或制造時需設置與撓度方向相反的預拱度[1].大跨徑連續鋼桁梁預拱度設置不僅直接影響到桿件制作長度和節點板設計，而且在超靜定結構中可能會引起不利的附加反力和附加應力[2]，因此合理設置預拱度曲線非常重要.

很多學者對鋼桁梁預拱度設置的計算方法進行了研究，主要提出了幾何法、位移荷載起拱法和溫度法等.幾何法[3]按照圓弧形設置預拱度，僅適用于跨徑較小的簡支鋼桁梁橋；蔡祿榮等[4]提出的位移荷載起拱法以相對預拱度推導了桿件的伸縮公式，計算方法簡單，但僅適用于N形下承式鋼桁梁.溫度法通過桿件升降溫設置預拱度，在超靜定結構中必須控制次內力的大小，傳統的試算求解法已不適用.曾永平等[5]采用非線性規劃知識，提出了考慮支座附加反力的最優化模型，但未考慮的桿件附加應力；向律楷等[6]建立了綜合考慮預拱度、附加反力和附加應力的優化模型，但其約束方程冗雜，求解難度大，甚至無最優解.因此建立全面考慮各方面影響因素，且便于快速計算求解的預拱度最優化模型具有重要的意義.

為了簡化預拱度最優化模型，可采取對部分重要桿件進行附加應力控制來代替所有桿件的方法，達到快速便捷地求得最優解的目的.本文采用有限元方法求得溫度荷載對節點位移、支座反力和桿件應力的影響系數矩陣，結合運籌學多目標規劃理論，建立了預拱度最優化模型，并結合工程實例探討了模型的求解過程，利用MATLAB軟件快速求得了合理的預拱度設置方案，為類似橋梁預拱度設置提供了借鑒.

1預拱度設置原理

預拱度設置是大跨徑連續鋼桁梁橋設計中的一項重要內容，根據《鐵路橋梁鋼結構設計規范》(TB1002.2-2005)規定：橋跨結構應設置上拱度，上拱度曲線應與恒載和半個靜活載產生的撓度曲線形狀基本相同，但方向相反.利用有限元軟件求出橋梁結構分別在恒載、活載作用下的豎向撓度，按照式(1)進行組合計算得到各下弦節點的理論預拱度值.

(1)

式中：fp為結構在恒載作用下的豎向撓度；fk為結構在靜活載作用下的豎向撓度.

理論上，下承式鋼桁梁預拱度設置應將上弦桿的理論長度伸長，下斜桿的理論長度縮短來達到設計預拱度曲線.在實際構件制作中，為了方便制作和拼裝，小跨徑簡支鋼桁梁橋采用“保持上弦桿和下弦桿的實際長度一致，改變上弦節點之間理論長度”的方法設置預拱度，即整體式節點通過改變桿件間的拼接縫大小實現預拱度，散拼節點通過改變節點板上第一排螺栓孔軸線到豎桿中心線之間的距離來實現預拱度[7]；對于大跨徑的連續鋼桁梁橋，為了使預拱度的設置不影響橋面系，避免斜桿交匯點分開導致較大的預拱偏心力矩，一般采用直接伸縮上弦桿長度、保持其他桿件長度不變的方法設置預拱度，見圖1.

圖1　連續鋼桁梁預拱度設置示意圖

2基于多目標規劃的溫度法

溫度法是通過升降溫來控制弦桿的伸縮，使下弦節點達到設計預拱度.由于連續鋼桁梁超靜定次數較高，在調整桿件溫度時需同時滿足3個要求.

1) 各下弦節點的計算預拱度值與設計值要相符，誤差不得超過5%的工程精度.

2) 由于溫度荷載引起的各支座反力不能太大，盡量趨近于0.

3) 選擇部分受力較大桿件作為重要桿件，重要桿件的附加應力盡量小，不得超出一定的應力范圍.

由于連續鋼桁梁結構復雜、桿件眾多，在以上3個要求的約束下，計算上弦桿伸縮量的求解過程非常復雜，僅憑借人為試算難以完成，因此需借助運籌學多目標規劃的知識.

多目標規劃是數學規劃的一個重要分支，研究多個目標函數在指定區域內的最優化問題，廣泛應用于工程設計、經營管理和軍事規劃等領域.多目標規劃問題主要由兩個基本部分組成：(1)2個及以上的目標函數；(2)若干個約束條件.利用多目標規劃求解弦桿溫度，首先需建立最優化模型，再進行模型的求解.

2.1最優化模型的建立

建立最優化模型需選擇一個主要目標作為目標函數，其他目標處理為適當的約束.本文選擇“各支座附加反力的絕對值最小”作為目標函數，將“各下弦節點的豎向位移符合設計預拱度”和“重要桿件附加應力不得超出一定的允許范圍”作為約束條件.由于預拱度引起的桿件伸縮量遠小于構件本身的幾何尺寸，屬于小變形范圍，根據彈性力學知識，可采用線性疊加原理建立目標函數和約束條件表達式.

設需調整溫度的桿件數量為n，下弦節點數量為m，支點數量為p，控制附加應力的重要桿件數量為q，則預拱度最優化模型可表示成如下數學形式.

目標函數：

(2)

約束條件：

1) 預拱度約束條件

(3)

2) 桿件附加應力約束條件

(4)

式中：ti為第i根桿件的溫度變化值(i=1～n)，即決策變量；fnq,anm,bnp分別為第n根桿件發生單位溫度變化在支點q引起的附加反力、在下弦節點m產生的豎向撓度和在桿件p內產生的附加應力；Fi(T)為所有桿件溫度變化在支點i處引起的總附加反力(i=1～q)；dil,diu為第i個下弦節點豎向撓度的上限值和下限值(i=1～m)；δil,δiu為第i根控制桿件附加應力的上限值和下限值(i=1～p).

由于目標函數系數矩陣和約束條件系數矩陣均為線性，最優化模型可簡化成如下矩陣形式

目標函數：

(5)

約束條件：

(6)

式中：T為由各桿件溫度t1,t2，…，tn組成的n維決策變量向量；F為q×n維反力影響系數矩陣，即目標函數系數矩陣；A,B為m×n維位移影響系數矩陣和p×n維應力影響系數矩陣，均為約束方程系數矩陣；Dl,Du為m維位移約束向量；δl,δu為p維應力約束向量.

2.2最優化模型的求解

由于預拱度最優化模型的決策變量和約束方程較多，直接求解度很大，需借助數學計算軟件MATLAB進行求解[8].

多目標規劃常用的求解方法有線性加ti權法、理想點法、極大極小法和目標達到法等.最優化模型主要有2種求解方法:(1)將多目標規劃轉換成非線性單目標規劃問題，采用線性加權法將“所有支反力的絕對值線性加權之和”作為目標函數求最小值，非線性規劃的計算過程可用fmincon函數實現；(2)直接采用目標達到法，對目標函數中的各支反力設定一個目標值，將滿足約束條件且最接近目標的有效解作為最優解，此計算過程可調用fgaolattain函數實現.最優化模型求解的基本流程見圖2.

圖2　最優化模型求解基本流程圖

3實例分析

在建鐵路連云港至鹽城線灌河特大橋全長470 m，為120 m+228 m+120 m三跨連續鋼桁柔性拱橋，邊跨為平弦桁梁，中跨為剛性梁柔性拱桁梁.主桁為N形桁式，平弦桁高15 m，節間長12 m或13 m，中支點處向下設加勁腿，加勁腿至下弦桿中心的距離為15 m；柔性拱按圓曲線布置，矢高69 m，矢跨228 m，矢跨比為1/3.3，灌河特大橋總體布置圖見圖3.

圖3　1/2灌河特大橋總體布置圖(單位：m)

本橋設計標準為鐵路Ⅰ級，雙線鐵路，線間距4.4 m.利用有限元軟件分別計算結構在設計恒載、靜活載作用下的豎向位移，按照式(1)進行組合計算，得到各下弦節點的理論預拱度,見圖4.

圖4　1/2灌河特大橋理論預拱度(單位：mm)

在實際制作和拼裝時，連續鋼桁柔性拱橋預拱度設置在平行桁梁上，故在確定弦桿伸縮量時不考慮吊桿和拱圈的影響，按照連續鋼桁梁進行計算.由于中支座附近桿件E8G9,G9G10,E10G10和G10E11受壓較大，故選取這4根桿件進行附加應力控制.預拱度最優化模型建立和求解的具體步驟如下.

1) 利用有限元軟件建立連續鋼桁梁平面模型(見圖5).

2) 通過分別在上弦桿或加勁腿上施加單位溫度荷載，計算反力影響系數矩陣F、位移影響系數矩陣A和應力影響系數矩陣B.

3) 根據誤差允許范圍，確定下弦節點豎向位移約束向量Dl,Du及控制桿件應力約束向量δl,δu.取3%的預拱度偏差作為下弦節點豎向位移約束的上下限，由于控制桿件在結構中受壓，故附加應力僅取下限-10 MPa.

圖5　預拱度計算模型

表1　各弦桿計算溫度和伸縮量結果表

5) 由于決策變量較多、約束方程組維數較高，利用MATLAB軟件計算時需分步求解.先以E0～E9共10個預拱度約束和附加應力控制作為約束條件，求得解T1；再增加余下的9個預拱度約束條件，以T1作為初始值進行計算，求得最優解Tf.

各弦桿計算溫度值和伸縮量結果見表1，各下弦節點的計算預拱度和理論預拱度對比結果見表2，由表中數據可知，計算預拱度與理論預拱度的最大絕對誤差僅為3.9 mm，最大相對誤差僅為2.9%，滿足5%的工程精度要求.計算預拱度曲線和理論預拱度曲線對比見圖6，二者的變化趨勢幾乎完全重合，計算結果精度較高.此時，控制桿件最大附加壓應力為10.0 MPa，支座附加反力僅為0.059 kN，均滿足控制要求，說明該預拱度設置方法快速準確可靠.

表2　計算預拱度和理論預拱度對比結果表

圖6　計算預拱度曲線和理論預拱度曲線對比圖

4結論

1) 此方法綜合考慮了理論預拱度、支座附加反力和重要桿件附加應力的影響，模型易于求解，計算結果利于結構受力.

2) 預拱度最優化模型對于求解連續鋼桁梁結構預拱度設置較為通用，不受桁架形式和截面形式的約束，也適用于連續鋼桁梁斜拉橋、復雜桁式連續鋼桁梁橋等.

3) 最優化模型通過對目標函數進行變換具有多種求解方法，而不同的計算方法可能會得到不同的最優解，可將它們相互對比，選擇合適的最優解作為最終的預拱度設置方案.

參 考 文 獻

[1]中華人民共和國鐵道部.鐵路橋梁鋼結構設計規范:TB 10002.2-2005[S].北京：中國鐵道出版社，2005.

[2]胡步毛，艾宗良，袁明，等.基于非線性規劃實現鋼桁連續梁預拱度[J].鐵道工程學報，2010(4)：49-52.

[3]吳沖.現代鋼橋:上冊[M].北京：人民交通出版社，2006.

[4]蔡祿榮，王榮輝，王鈺.大跨度柏式鋼桁梁橋廠制預拱度設置研究[J].鐵道學報，2013(4)：96-101.

[5]曾永平，陳天地，袁明，等.大跨度鐵路鋼桁梁斜拉橋預拱度設置[J].鐵道工程學報，2010(10)：78-81.

[6]向律楷，鄢勇，袁明，等.鋼桁梁預拱度設置方法研究[J].四川建筑，2015(1)：150-153.

[7]劉勝春，張開銀，沈成武，等.神經網絡方法在大跨度橋梁施工預拱度控制中的應用[J].武漢理工大學學報：交通科學與工程版，2001(3)：270-272.

[8]龔純，王正林.精通MATLAB最優化計算[M].3版.北京：電子工業出版社，2014.

Multi-objective Programming Based Study on Pre-camber Setting of Steel Truss Continuous Girder Bridge

LI Jiali1)ZHANG Xiedong1)CHEN Weidong2)XU Shunlian2)ZHANG Hang1)

(SchoolofTransportation,WuhanUniversityofTechnology,Wuhan430063,China)1)

(HighwayAdministrationofWuhaiCity,Wuhai016000,China)2)

Abstract：Due to the structural complexities and high degrees of static indeterminacy, the pre-camber setting in a long span steel truss continuous bridge would probably cause harmful secondary force in the structure. In order to effectively and accurately calculate the feasible pre-camber setting curve, the temperature-up-and-down method, which is based on the multi-objective programming in operational research, is applied to establish the model with the help of MATAB computing software by considering theoretical camber, support reaction and subsidiary stress. Taking a three-span continuous steel truss flexible arch bridge as an example, the establishment and calculation of the pre-camber setting optimization model is studied and the reliability and applicability of the computing method are verified.

Key words：bridge engineering; pre-camber setting; multi-objective programming; steel truss girder; optimization model

doi:10.3963/j.issn.2095-3844.2016.02.032

中圖法分類號：U448.13

收稿日期：2016-01-12

李佳莉(1992- )：女，碩士生，主要研究領域為橋梁工程

*國家自然科學基金項目(51408450)、中央高校基本科研業務費專項基金項目(2014-IV-023)資助