古典概型的教學思考與教學新設計

林品吟+何小亞+朱源

【摘要】在古典概型的學習中，學生的困惑常常表現為：對基本事件的內涵把握不到位；混淆具體問題與概率模型的關系；存在等可能性偏見.其原因主要有以下三點：教材處理簡單化，對基本事件本質屬性的解讀不足；教師的概率統計知識相對薄弱，對古典概型的認識不夠深刻；高中數學課程內容較多，古典概型部分學時過少.為幫助學生在有限的學時內解決上述困惑，建議在古典概型第一課時的教學中淡化計算、突出概念，最后以一個教學設計作為示范.

【關鍵詞】基本事件；古典概型；等可能性偏見1問題的提出

概率有四種常見的定義：古典概型、統計定義、幾何概型、公理化定義.在數學史上，古典概型是最早出現的，它既是解決現實生活中概率問題的一個重要工具，也對后續概率統計的學習有著深遠意義.在2003年頒布的《普通高中數學課程標準》（實驗）中，古典概型的教學目標是：通過實例，理解古典概型及其概率計算公式，會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率[1].然而國內外的一些調查均發現，學生乃至教師對古典概型的相關概念存在錯誤認識[2-5].

那么在古典概型的實際教學中，學生究竟存在哪些常見的理解困難？是什么原因導致的？有怎樣的教學對策？本文將對上述問題進行一一探討.

2古典概型的難點、原因及教學對策

2.1理解難點

基本事件

學生在確定基本事件的時候經常困惑的一點是：基本事件究竟有幾個？

例如人教A版[6]32古典概型：學生不理解例1“從4個字母中任意取出兩個不同的字母”是否需要考慮順序；學生對“將一顆骰子先后拋擲2次產生36個基本事件”容易理解，而對例3中“同時拋擲兩個骰子產生36個基本事件”不易理解，為什么要給兩顆相同的骰子分別標上1，2的記號，以示“有順序”所得的不同結果方為正確；又如人教B版教材[7]32古典概型：例1“拋一枚骰子，觀察擲的點數，求擲得奇數點的概率？”有的學生列出的試驗結果是{1點，2點，3點，4點，5點，6點}，有的學生列出的試驗結果是{奇數點，偶數點}.試驗可能出現的結果究竟是否唯一等等.學生存在這些困惑均表明其對基本事件概念的把握不到位.

“基本事件”在柯氏的概率公理化定義中就是指樣本空間中的樣本點，“基本事件組”則是樣本空間.用樣本點來理解“基本事件”、樣本空間來理解“基本事件組”，可概括出“基本事件”與“基本事件組”本質屬性包括：（1）基本事件組是隨機試驗中所有可能出現的結果所構成的集合，不同研究者出于不同的研究目的，其眼中的試驗結果（即基本事件組）可能不同.如擲一枚骰子，研究者A關心的可能是具體點數，其基本事件組就是{1點，2點，3點，4點，5點，6點}，研究者B關心的可能是奇偶性，其基本事件組就是{奇數點，偶數點}；（2）基本事件組中的元素即為基本事件；（3）在同一基本事件組中，任意兩個基本事件是獨立的；（4）研究者一旦將基本事件組確定下來，則其所能研究的任意隨機事件均可由該基本事件組中的基本事件構成.基于以上認識，基本事件的確定方式不是唯一的.

具體問題與概率模型的關系

學生在理解古典概型時的一個主要難點是問題與概率模型的關系，例如在人教B版33隨機數的含義與應用例1的轉盤問題，學生常常糾結于它是幾何概型還是古典概型？實際上，學生在此犯的錯誤是混淆了具體問題與概率模型的關系。兩者的邏輯關系是：針對具體的問題，通過構建合理的概率模型，進而解決之.因此，幾何概型和古典概型可能同時適用于解決同一個問題，它們只是針對該問題所構建的概率模型，而不是實際問題本身.

等可能性偏見

學生在運用古典概型解決問題時的一個常見錯誤是等可能性偏見，即：若一個隨機試驗中有n個可能結果，則每個結果的可能性都是1n.例如人教A版例3“同時擲兩個骰子，一共有多少種不同的結果”.有的學生認為有21種可能的結果，每一個結果的可能性都是121.

另外，針對古典概型等可能性偏見，張敏、何小亞對廣東省高中數學教師進行了調查，發現教師也和學生一樣，存在等可能性偏見的誤區，而且程度比較嚴重[8].

2.2原因分析

1.教材編寫層面

各版本教材采用“基本事件”的說法替代“樣本點”乃出于將抽象概念具體化的目的，使之符合高中生的認知水平.然而縱觀使用范圍較為廣泛的新課標教材，或是采用揭示外延的方式定義基本事件，如人教A版；或是簡單地定義基本事件是試驗中不能可再分的最簡單的隨機事件，如人教B版.其共同特點是對基本事件的本質屬性的解讀不夠，使學生誤以為一個試驗只有一種構造基本事件的方式，從而對后續古典概型和幾何概型的學習產生負遷移.

2.教學設計層面

高中數學的教學任務重、時間緊，而古典概型的教學只有2個課時，因此教師在進行教學設計時容易忽視分析問題、從不同視角構建基本事件組的過程，導致學生缺少建立概率模型的活動經驗，從而難以對古典概型形成準確而深刻的認識.

2.3教學對策

1.引入基本事件組的概念

基本事件組對應著公理化定義中的樣本空間，在高中古典概型的教學中，引入基本事件組的概念能在保證定義較為直觀的基礎上，更好地解釋基本事件組的不唯一性，而基本事件的完備性僅指研究者希望研究的所有隨機事件均在基本事件組的子集簇中.通過具體實例，引導學生從不同的視角構建起基本事件組，進而對上述基本事件組進行逐一檢驗，從中概括基本事件組與基本事件的本質屬性.

2.讓學生經歷數學建模的全過程

《普通高中數學課程標準》（實驗）將古典概型安排在必修3，計數原理安排在選修23，其目的是為了在必修3中淡化古典概型的運算，將重點聚焦到古典概型的理解上.因此，教師應把握課標的理念，在教學中通過具體問題，總結并強調建立概率模型的主要步驟，其中包括：表征問題、構造基本事件組、根據基本事件組鑒別所屬概率模型、解模、對原問題作出回答.通過建立概率模型解決問題的全過程，幫助學生區分實際問題與概率模型，滲透數學建模的思想.

3古典概型的教學新設計

3.1學情分析

認知基礎學生在初中階段對概率有了初步的認識，在高中階段學習了隨機事件的概率以及互斥事件和對立事件的概念，了解隨機事件的不確定性和頻率的相對穩定性，并體驗通過大量重復的的試驗得到隨機事件的頻率的近似值.

認知障礙如何確定一個隨機試驗中的基本事件組.

3.2教學重難點

教學重點

（1）理解基本事件兩個特點：互斥性、完備性.

（2）理解古典概型的兩個特點：等可能性、有限性.

教學難點

（1）理解基本事件是人為規定的，對于同一問題，可能存在不同的基本事件組，如擲一枚骰子，研究者A關心的可能是具體點數，其基本事件組就是{1點，2點，3點，4點，5點，6點}，研究者B關心的可能是奇偶性，其基本事件組就是{奇數點，偶數點}.

（2）理解基本事件的第二個特征（完備性）是指研究者感興趣的任何隨機事件都能通過若干基本事件構成.

3.3關鍵點

1.引入基本事件組的概念，引導學生從不同角度構建基本事件組并從中概括基本事件的特點.

2.引導學生通過對具體問題的表征從而構造基本事件組，并根據基本事件組鑒別是否滿足古典概型的兩個特征，最后對問題作出解答.

3.4教學目標

知識與技能

（1）了解基本事件提出的合理性和必要性，理解其兩個特征：互斥性和完備性.

（2）學會運用列舉法列出隨機試驗的所有基本事件.

（3）理解古典概型的兩個特征：有限性和等可能性.

（4）掌握建立古典概型解決問題的主要步驟：表征問題→構造基本事件組→檢驗是否為古典概型→解模→對原問題作出回答.

過程與方法

（1）通過將具體問題的解法提煉上升為古典概型的過程，領悟從特殊到一般的數學探究方法.

（2）經歷建立古典概型解決問題的過程，滲透數學建模思想.

情感態度與價值觀

從具體問題出發，經歷基本事件和古典概型的“再發現”，體驗數學源于現實，高于現實的特點.

3.5教學過程

復習引入，提出問題

（1）復習

①互斥事件、對立事件的概念

②概率加法公式及其前提條件

設計意圖互斥事件的概念和概率加法公式是學習古典概型的知識基礎，在此復習是為了激活學生的相關圖式，為接下來的學習做準備.

（2）提出問題

師：在17世紀的歐洲宮廷中盛行著“賭博游戲”，貴族們熱衷于估計游戲中各種可能結果發生的概率，這直接影響到他們在游戲中的收益.作為當時大名鼎鼎的數學家，帕斯卡、費馬等人也因此被不少貴族咨詢關于賭博的問題.以下就是當時一個非常經典的問題：同時拋擲兩枚骰子，游戲參與者事先可以選擇點數之和小于等于6或點數之和大于6，問應選擇何者可使獲勝的機會更大？今天我們穿越時空，來到文藝復興后的歐洲宮廷，各位同學可否幫助貴族們解決上述問題？

師：其實問題的實質就是比較上述兩個事件發生的概率大小，那么怎樣才能知道兩者的概率呢？

生1：做重復試驗.

師：嗯，也就是通過多次重復試驗，用頻率估計概率.但是這種方法耗時耗力，并且只要游戲規則一變，就必須再做試驗，比如好事者把游戲參與者可選擇的結果改為：①點數之和小于等于5和點數之和大于5；②點數之和為2～5、6～9或9～12；③…….同樣是拋擲兩枚骰子，花樣層出不窮，難道我們也只能跟著做反反復復的試驗？這可不是數學家的風格，我們追求的是以不變應萬變！有沒有更好的辦法？

（班上一時陷入沉默）

設計意圖在數學史上，概率理論的研究源于賭博游戲.為學生設置一個具有歷史背景的實際問題，可幫助其發現原有知識（用頻率估計概率）的局限性，從而產生對新知識、新方法的訴求，起到了先行組織者的作用.

分析問題，明確目標

師：我們先來分析一個簡單點的問題，把骰子減至一枚.那么拋擲它一次，所有可能的結果是什么？

生1：1點、2點、3點、4點、5點、6點.

師：這六種結果的概率分別是多少？

生2：都是16.

師：前提是這枚骰子是質地均勻的，換句話說，這里沒有居心不良的玩家.在這種合理的假設之下，P（1點）=P（2點）=P（3點）=P（4點）=P（5點）=P（6點），又由于其概率之和為1，所以六種結果的概率均為16.那么隨機事件“點數為1或2”的概率呢？

生3：13，用概率加法公式.

師：很好，因為點數為1的事件與點數為2的事件是互斥的，因此可以用概率加法公式.點數為偶數的概率呢？

生4：12.

師：點數小于4的概率呢？

生5：12.

師：很好！其實在這個游戲里邊，只要知道了P（1點）=P（2點）=P（3點）=P（4點）=P（5點）=P（6點）=16，那么其他事件的概率都可以通過概率加法公式計算出來，因為：①上述6個事件是互斥的；②其他事件可由上述6個事件組合得到.

師：這個游戲可以給我們一個啟發，即在一個隨機試驗中，如果我們能夠獲知它的某些互斥的隨機事件發生的概率，那么就可以利用概率加法公式求得其他可由上述事件組合而成的事件發生的概率.這是一個非常棒的想法！這樣看來，上述互斥的隨機事件可跟其他事件的地位不一樣啊！鑒于其突出貢獻，我們有理由給它一個專屬的名字，大家有什么想法？

生6：“小”事件.

生7：“父母”事件.

師：“父母”事件，有意思！這個比喻非常傳神，那么其他事件就是“兒子”事件咯.可惜我們晚出生了幾百年，已經有人為這些隨機事件命名了，他們把它稱作“基本事件”，也很貼切.現在同學們能不能總結一下基本事件的特點？

生8：互斥.

師：嗯，只有這樣才能運用概率加法公式.還有嗎？

生9：能組合成其他事件.

師：也就是完備性.任何我們感興趣的事件都可以由基本事件組合而成.那我們可以總結出基本事件的特點是：（1）互斥性：任何兩個基本事件是互斥的；（2）完備性：任何隨機事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

設計意圖通過對實際問題的分析，幫助學生明確解決問題的目標，即用少數互斥的隨機事件來研究其他隨機事件，從而自然地提出基本事件的概念，既反映了此概念的合理性，也反映了其必要性.

達成目標，總結通法

師：現在，我們回到賭博的情景中來——同時拋擲兩枚骰子的隨機試驗.通過剛才的分析，我們現在的目標是找到這個試驗的基本事件，請各位同學思考幾分鐘，把它們找出來，用列舉法把它們一一列出來.另外，大家不妨把所有的基本事件用大括號括起來，表示它們組合成了一個整體，我們把它叫做“基本事件組”.

生10：{2點，3點，4點，…，11點，12點}.

生11：{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），…，（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}.

師：誰對誰錯？

生：……

師：如果我們研究的是點數和的問題，那么上述兩種構造基本事件的方法都是對的，因為它們都符合基本事件的特點：互斥性和完備性.但是從實際解決問題的效用來看，生11的方法更可行，因為在他的基本事件組中有36個基本事件，其中每個基本事件發生的概率都是相同的，為136.我們可以很容易準確地數出滿足點數和小于等于6的基本事件有10個.根據概率加法公式，這10個基本事件的概率之和即是事件A（點數和小于等于6）的概率P（A）=1036=518.我們再看生10構造的基本事件組{2點，3點，4點，…，11點，12點}，其難以解決問題的原因在于基本事件組中11個基本事件是不等可能的，所以它們的發生概率不容易求.現在我們算是完美地解決了貴族們的擲骰子問題，但是數學家的眼光可絕不僅限于解決一個具體問題，而要追求將解決一個具體問題的方法上升到解決一類問題的通法.剛剛已經談到，對于一個隨機試驗，它的基本事件組是不唯一的，按照研究者的視角，只要其中的基本事件符合互斥性和完備性即可.但是，基本事件組中的基本事件必須是易求概率的，否則用基本事件研究其他隨機事件的想法將成為無米之炊、無本之源.那么，什么樣的基本事件滿足易求概率的要求呢？請各位同學參考拋擲骰子的例子總結一下.

生12：各基本事件發生的概率相等.

師：非常好，這是第一個特點.如果基本事件組中有n個等可能的基本事件，那么由概率的加法公式可得：每一個基本事件發生的概率就是基本事件總數的倒數即1n.還有其他要求嗎？

生：……

師：還有一個特點，基本事件的總數應該有限.我們觀察一下n，當基本事件有無數個的時候那么n無窮大，取倒數得每個基本事件發生的概率都為0，而其他事件又由上述基本事件組成，是否意味著其他任何事件的概率都為0？

生13：不可能……

師：嗯，顯然是有問題的！這種情況我們以后再研究，有其他的方法可以解決.現在我們來總結一類易求概率的基本事件組的特點：①基本事件組內各基本事件發生的概率相等；②基本事件組中的基本事件總數有限.

師：對于一個實際問題，如果我們構造的基本事件組滿足上述兩個特點即其基本事件滿足有限性和完備性，那么各基本事件發生的概率就是基本事件總數的倒數.從而，當我們要研究其他隨機事件發生的概率時，只需要分析其由多少個基本事件組成即可.我們總結一下：如果基本事件總數為n，事件A中包含m個基本事件，那么我們用mn描述隨機事件A出現的可能性大小，稱它為隨機事件A的概率，記作P（A）=mn.并且，滿足上述兩個特點的基本事件組是很多的，特別在17世紀，可以解決大部分賭博問題了！由于這種概率模型相較于其他模型而言提出的時間更早，已有近400年歷史，因此數學家現在把它叫做“古典概型”.接下來我們再通過一些問題來感受一下它的妙用！

設計意圖通過前述目標的達成，將解決擲骰子問題的方法上升到解決一大類問題的通法，從而自然地提出古典概型及其概率計算方法.

例題講解，強化概念

例1從字母a，b，c，d中任意取出兩個不同的字母，問含有a的概率有多大？

分析：該題有兩種構造基本事件組的方法：①不考慮順序，X1={（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}；②考慮順序，X2={（a，b），（a，c），（a，d），（b，a），（b，c），（b，d），（c，a），（c，b），（c，d），（d，a），（d，b），（d，c）}.并且兩個基本事件組均符合古典概型的特點，故運用古典概型的概率計算公式可得含有a的概率為12.

設計意圖通過該例題，強調基本事件組的構造方式是不唯一的.同時讓學生經歷建立古典概型解決實際問題的全過程（圖1），從而厘清具體問題與古典概型的關系：后者是為了解決前者而構建的一種數學模型.

圖1建立古典概型解決問題的過程

例2拋擲兩枚硬幣，求結果為一正一反的概率？

分析該題有兩種構造基本事件組的方法：①X1={（正，正），（正，反），（反，反）}；②X2={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}.兩種方式所構造的基本事件都滿足互斥性和完備性，但方式①中三個基本事件的發生概率是不相等的，因此X1不屬于古典概型.

設計意圖通過該例題，強調運用古典概型解決問題必須對等可能性和有限性進行檢驗，預防學生犯等可能性偏見的錯誤.

變式練習，鞏固概念

練習1在20瓶飲料中，有2瓶已經過了保質期.從中任取1瓶，取到已過保質期的飲料的概率是多少？

練習2在夏令營的7名成員中，有3名同學已去過北京.從這7名同學中任取2名同學，選出的這2名同學恰是已去過北京的概率是多少？

練習35本不同的語文書，4本不同的數學書，從中任意取出2本，取出的書恰好都是數學書的概率為多少？

設計意圖由于設置練習的目的是幫助學生鞏固這節課的重點內容：理解基本事件及古典概型的概念，而古典概型的運用放在第二課時展開，因此選擇人教A版必修三P130的三道練習題供學生隨堂鞏固，難度不大.

課堂小結，布置作業

小結

（1）基本事件的兩個特點：互斥性；完備性.

（2）古典概型的兩個特點：等可能性；有限性.

（3）建立古典概型解決實際問題的步驟（圖1）.

作業

人教A版必修三習題32第1題，第3題.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[S].北京：人民教育出版社，2003

[2]Liu，Y. Teachers understanding of probability and statistical inference and their implications for professional development. Vanderbilt University. Nashville， Tennessee， The United States.

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[4]朱丹.高中生概率知識的認知水平研究[D].重慶：西南大學，2014年

[5]李玉超.高中生概率學習問題的調查研究[D].北京：首都師范大學，2012年

[6]普通高中課程標準實驗教科書.數學（選修3，A版）[M].北京：人民教育出版社，2007

[7]普通高中課程標準實驗教科書.數學（選修3，B版）[M].北京：人民教育出版社，2007

[8]張敏，何小亞.高中數學教師古典概型等可能性偏見的調查報告[J].數學教學，2015（6）：44-46.