利用系統(tǒng)理論的觀點學習高等數(shù)學

鄭銳麗 吳澤賓

摘 要：本文主要應(yīng)用系統(tǒng)理論的觀點，結(jié)合部分高等數(shù)學教學經(jīng)驗，指出把“學習高等數(shù)學”看作一個系統(tǒng)，分析該系統(tǒng)的組分、結(jié)構(gòu)、子系統(tǒng)。并試著利用系統(tǒng)的多樣性、整體性、相關(guān)性理論理解各個系統(tǒng)，從而啟示學者如何學好高等數(shù)學，為學習者學好高數(shù)提供思考，拓寬系統(tǒng)理論的實際應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：系統(tǒng)；子系統(tǒng)；學習；高等數(shù)學

高等數(shù)學是大學學習的基本內(nèi)容，更是理工科學生學好專業(yè)課的基礎(chǔ)理論支撐。然而，大部分學生對高等數(shù)學的學習存在畏難心理，對某些知識點理解不夠全面、深刻，更不能培養(yǎng)學生解決問題的數(shù)學思維能力。系統(tǒng)的相關(guān)性、整體性、多樣性觀點啟示我們在學習高等數(shù)學時，要聯(lián)系自身情況分析學習效果，思考各知識模塊之間的聯(lián)系和區(qū)別，并從整體的角度看待“學習高等數(shù)學”這個過程。避免“只見樹木，不見森林”的局限思維，不再只是哪個知識點不會學哪個，而是要帶著動態(tài)聯(lián)系的思維方式來學習。

1 系統(tǒng)的闡述

系統(tǒng)是指由若干要素相互作用、并以一定的結(jié)構(gòu)形式復合組成的、在特定的外部環(huán)境下具有某種特定功能的有機整體。[ 1 ]一切事物都不可能孤立于周圍的環(huán)境，事物的內(nèi)部必定存在相互關(guān)聯(lián)的事物子群體，因而我們都可以利用系統(tǒng)的觀點來描述和分析。組分是指事物中包含的各個部分，不可再細分的組分稱為系統(tǒng)的要素或元素。系統(tǒng)的特性包括整體性、相關(guān)性、多樣性等。

1.1 整體性

整體性指系統(tǒng)具有其整體的布局、整體的行為方式、整體的特性、整體的功能、整體的發(fā)展方向，與外部其他系統(tǒng)整體的聯(lián)系等。[ 2 ]高等數(shù)學知識具有整體的解題思路、整體的知識結(jié)構(gòu)、整體的數(shù)學思維方式、整體的邏輯結(jié)構(gòu)、整體的對理工學科產(chǎn)生的整體輔助作用等。

1.2 相關(guān)性

相關(guān)性指系統(tǒng)內(nèi)部不存在孤立的組分，任一組分或元素必定以系統(tǒng)或自身的發(fā)展為前提，與其他要素或組分相互關(guān)聯(lián)、相互依存、相互牽制、相互促進等。學習者學習高等數(shù)學的過程中，學習者的學習方法與學習者的學習效率密切相關(guān)，兩者間相互作用，相互促進或相互牽制。

1.3 多樣性

多樣性指系統(tǒng)內(nèi)部組分或要素、關(guān)系等的多元化、差異性，系統(tǒng)是多樣性的統(tǒng)一。學習者的學習動機、學習方法、學習工具、學習評價或效果、自身基礎(chǔ)、高等數(shù)學知識是系統(tǒng)的組分，這些組分相互之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，體現(xiàn)了系統(tǒng)的多樣性或差異性。

1.4 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)的可分性

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)指各組分之間相互關(guān)聯(lián)方式的總和。

系統(tǒng)的可分性或劃分子系統(tǒng)是指當系統(tǒng)的組分或要素的數(shù)量較多，且彼此之間存在較大的差異，為了方便系統(tǒng)分析，可以將特點相同或相近的組分或要素合并起來，形成若干子系統(tǒng)。若利用集合的思想來描述，可設(shè)表示某個系統(tǒng)，表示其元素或組分集合，根據(jù)子系統(tǒng)與系統(tǒng)間的關(guān)系，有，稱為系統(tǒng)的子系統(tǒng)，且具有系統(tǒng)的特性。[ 6 ]

2 如何利用系統(tǒng)理論學習高等數(shù)學

從學習者的角度分析，如果把“學習高等數(shù)學”看作一個系統(tǒng)，則可把其劃分為“學習者學習動機子系統(tǒng)、自身基礎(chǔ)子系統(tǒng)、學習方法子系統(tǒng)、知識子系統(tǒng)、學習工具子系統(tǒng)、評價或效果子系統(tǒng)，這些子系統(tǒng)或組分相互作用構(gòu)成整個學習系統(tǒng)。[ 3 ]學習者必須弄清自身的學習動機，根據(jù)自身的基礎(chǔ)特點確定學習方法并選擇合適的工具教輔書或?qū)W習伙伴，學習吸納知識，建立自身的知識系統(tǒng)，通過評價及時調(diào)整學習方法或樹立正確的學習動機，以此提高學習效率或效果，不斷優(yōu)化學習系統(tǒng)。從而提高自身學習的主觀能動性和實際應(yīng)用能力，不斷提高學習質(zhì)量。以下是系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖1：

如圖所示，箭頭方向表示子系統(tǒng)之間的作用關(guān)系，箭頭雙向說明各子系統(tǒng)之間的作用關(guān)系是雙向的。各個子系統(tǒng)之間的相互關(guān)系共同構(gòu)成了“學習高等數(shù)學”的有機整體系統(tǒng)。

從學習者的角度分析，下面給出“學習高等數(shù)學”系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)聯(lián)系圖2。

各個子系統(tǒng)又包含各個要素或組分，以下闡述各個子系統(tǒng)的組成。

1）學習動機系統(tǒng)包括興趣需求、專業(yè)需求、升學需求、拿學分需求等。學習者必須認清自身學習高等數(shù)學的目的，才能做出正確的學習選擇和學習評價。學習需求因人而異，有的出于學習興趣；有的僅僅為了拿學分畢業(yè)；有的則是因為專業(yè)學習的要求，如工程計算相關(guān)專業(yè)；也有的學習者是為了專插本或考取研究生，再有學習者出于多個學習需求。該子系統(tǒng)也可稱為“學習高等數(shù)學”的目標系統(tǒng)。

2）學習基礎(chǔ)子系統(tǒng)包括基礎(chǔ)好、基礎(chǔ)一般、基礎(chǔ)差三個要素。該子系統(tǒng)與其他子系統(tǒng)間均相互聯(lián)系、相互影響，它們之間存在直接聯(lián)系或間接聯(lián)系。例如：基礎(chǔ)好的學習者的學習動機傾向于升學需求或興趣需求，基礎(chǔ)差的則趨于拿學分畢業(yè)。反過來，不同的學習動機影響學習者的學習態(tài)度和方法，進一步影響學習者的知識結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)和評價效果子系統(tǒng)，最后又對學習者的學習基礎(chǔ)產(chǎn)生影響，使各子系統(tǒng)間形成作用閉環(huán)。

3）學習知識子系統(tǒng)包括概念、性質(zhì)、應(yīng)用三大組分。概念組分包括極限、導數(shù)、極值、不定積分、定積分等概念；另一方面，每個概念對應(yīng)的性質(zhì)，如導數(shù)的幾何意義；每個概念的實際應(yīng)用，如不定積分在經(jīng)濟學中的應(yīng)用等。學習者知識系統(tǒng)的豐富程度取決于其對各項知識的掌握程度，通過對知識點的消化理解，進而總結(jié)歸納出知識要點。知識系統(tǒng)也可理解為知識模塊，各個模塊之間相互關(guān)聯(lián)，相互補充。總之，學習應(yīng)該是一個“由薄到厚再由厚到薄”的過程，前階段注重知識的積累，后階段強調(diào)對知識的歸納、理解及應(yīng)用。

4）學習評價或效果子系統(tǒng)包括學習者平時練習的情況、學習考核結(jié)果、學習者自我評價、其他學習者的評價、教師評價。評價目的不在于證明，而在于改進學習高等數(shù)學系統(tǒng)。因為評價結(jié)果輸出后形成反饋信息輸入，學習方法子系統(tǒng)、學習動機子系統(tǒng)或?qū)W習工具子系統(tǒng)等子系統(tǒng)收到信息后必定作出系統(tǒng)調(diào)整，不斷改善和優(yōu)化學習方法，所以評價子系統(tǒng)直接影響學習者的學習效果，進而影響學習目標子系統(tǒng)。

5）學習方法子系統(tǒng)包括迂回學習法、理論式學習法、技巧性學習法、題海戰(zhàn)術(shù)法等。

高等數(shù)學與中學數(shù)學最大的區(qū)別在于高數(shù)側(cè)重數(shù)學理論的理解、應(yīng)用，中學數(shù)學側(cè)重計算和解題的技巧性，故學習者初學高數(shù)時無法適應(yīng)高數(shù)的學習內(nèi)容。無法理解數(shù)學概念及其實際應(yīng)用或者跟后面所學知識的關(guān)系，這時可采用迂回學習法。即暫時記下無法理解的內(nèi)容，繼續(xù)學習后面的知識并回顧已學知識，達到溫故知新，更知故的效果。[ 4 ]

另外，高等數(shù)學概念相對枯燥抽象，學習者學習時可采取理論聯(lián)系實際的方法理解和記憶概念。以導數(shù)為例，導數(shù)概念是高等數(shù)學中最重要的概念之一，它是工程、經(jīng)濟、管理、電子計算機等領(lǐng)域中一種重要的數(shù)學計算工具，如經(jīng)濟學中的彈性分析、邊際成本分析、邊際利潤分析、邊際產(chǎn)量分析等。所以學習者必須重視理論概念的學習和應(yīng)用。

6）工具子系統(tǒng)包括各類學習輔導書和學習文具，同時也包括教師和同學。選擇不同的輔導書對學習者必定產(chǎn)生不同的作用。

3 舉例

下面以高等數(shù)學知識系統(tǒng)的子系統(tǒng)“概念”為例說明。該子系統(tǒng)可再分為若干個主要子系統(tǒng)：數(shù)列極限、函數(shù)極限、導數(shù)、原函數(shù)、不定積分、定積分、二重積分、微分方程、常數(shù)項級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)。[ 5 ]

極限概念是高等數(shù)學理論體系中最基本的組成部分。由數(shù)列xn=f（n）當項數(shù)n→∞時極限概念（即“ε-δ語言”）進一步引申出函數(shù)y=f（x）在自變量x→∞和x趨于某一點x0時各自的極限定義；再將函數(shù)y=f（x）中因變量y對自變量x的平均變化率Δy/Δx在Δx→0時極限值定義為函數(shù)y=f（x）在點x0處的導數(shù)或微商，記為f ′（x0）或

；緊接著，給出原函數(shù)的概念：若在某個區(qū)間上有F′（x）=f（x），則稱F（x）是f（x）在該區(qū)間內(nèi)的一個原函數(shù)；再將f（x）的全體原函數(shù)F（x）+C（C為常數(shù)）定義為f（x）的不定積分，記為f（x）dx；最后，把聯(lián)系自變量、函數(shù)及其導函數(shù)的數(shù)學關(guān)系式稱為微分方程，通過積分逆運算解微分方程，可得出函數(shù)y=f（x）；如：

已知y=f（x）滿足方程=-，求y=f（x）？

解：把方程變形為：=-；

兩邊同時積分得：lny=ln+C1，

令C1=lnC，即lny=ln+lnC=ln，

所以y=。

通過各概念之間的聯(lián)系，學習者可將以上概念合并劃分為一個子系統(tǒng)。如下圖3所示：

學習者在學習概念的過程中應(yīng)思考各個知識點之間的多樣性、關(guān)聯(lián)性、同一性，對聯(lián)系較緊密的組分或元素進行合并劃分子系統(tǒng)，形成整體思維，不斷構(gòu)建自身的理論體系框架、概念性質(zhì)聯(lián)系框架、知識應(yīng)用結(jié)構(gòu)框架；或者學到一個階段后溫故，回頭理解已經(jīng)學過的概念知識和概念性質(zhì)以及相應(yīng)的知識應(yīng)用點，加深對已學知識的理解的應(yīng)用并更好的學習理解現(xiàn)階段學的知識點。

4 結(jié)語

文章的目的在于鼓勵學習者應(yīng)用系統(tǒng)理論的思維方法來看待“學習高等數(shù)學”這一過程。從不同方面分析“學習高等數(shù)學”的結(jié)構(gòu)組成，進而闡述各組分或子系統(tǒng)的組成，并對各子系統(tǒng)的特性進行分析，論述各子系統(tǒng)間的相互作用，最后綜合分析，建立“學習高等數(shù)學”系統(tǒng)的內(nèi)部聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，啟示學習者如何學好高等數(shù)學，為學習者提供思考的理論路徑，旨在達到事半功倍的效果。

參考文獻：

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[5] 郭運瑞.高等數(shù)學[M].2014（01）.

[6] 許國志.系統(tǒng)科學[M].2000（01）.

作者簡介：鄭銳麗（1988.09-），女，廣東揭陽人，研究方向：管理系統(tǒng)工程；吳澤賓（1987.10-），男，廣東揭陽人，碩士研究生，研究方向：信息系統(tǒng)工程。