《對數的運算性質1》三個典錯案例評析

萬發芹

摘要：古語說“差之毫厘，謬以千里”，做任何事情都離不開嚴謹的精神，對于從事數學教學和研究的高中教師來說，尤其如此，離開了嚴謹的治學作風，我們的工作將毫無質量而言，甚至給學生帶來深深的誤導。去年10月中旬，筆者參加了市教研室組織的高中部視導，聽了某校高一三節數學課，從教材處理的嚴謹角度衡量，三節課都應是失敗的案例。《對數的運算性質1》（蘇教版普通高中課程標準實驗教科書p59）一課的難點是熟練掌握對數三個運算公式及靈活應用于解題，其中尤為重要的是第三個公式的處理技巧。三位教師對此難點的處理都不盡人意。現整理出來與同仁們分享，以期拋磚引玉。

關鍵詞：對數教學;案例分析;技巧總結

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1992-7711（2016）03-083-2

為了便于比較，我們不妨先熟悉該課要研究的對數的這三個公式：

1.loga（MN）=logaM+logaN;

2.logaMN=logaM-logaN;

其中a>0，a≠1，M>0，N>0。

3.logaMn=nlogaM，其中a>0，a≠1，M>0，n∈R。

案例1

該教師的上課流程簡述如下：

流程（1）復習提問指數冪的三個性質：

am·an=am+n

aman=am-n

（am）n=amn

根據對數的定義，有

logNa=bab=N（a>0，a≠1，N>0）

流程（2）學生觀察蘇教版普通高中課程標準實驗教科書p75表321中的數據，

師引導學生發現、推導以下兩個公式：

logaM+logaN=logaMN①

logaM-logaN=logaMN②

（a>0，a≠1，M>0，N>0）

流程（3）師與生一起證明公式①

證明：設logaM=p，logaN=q

則ap=M，aq=N

所以MN=ap·aq=ap+q

loga（MN）=logaap+q=p+q=logaM+logaN

即logaMN=logaM+logaN

公式②讓生類比證明。

流程（4）引出公式③

我們還可以得到：

當a>0，a≠1，M>0時，

loga（Mn）=nlogaM③

后面是例題講評及練習等內容。

點評：該教師剛參加工作，也許學校的集體備課華而不實，從他的上課過程中看不出對教材的二次加工與處理過程，上課屬照本宣科。對所教內容不熟，公式的表述與證明不嚴謹，不利于培養學生思維的嚴謹性。同時也體現不出教師的示范性。

如果認真分析上述案例，不難發現有以下幾點不妥之處：

1.在流程（2）里，公式①中的真數MN丟掉括號，應改成loga（MN）;

2.在流程（2）里，公式①與②等于號左右內容顛倒，不符合常規;

3.在流程（4）里，公式③中的loga（Mn）應改為logaMn，此時真數加括號純屬畫蛇添足;

4.在流程（4）里，公式③中沒有標明該公式成立的另一個條件n∈R;

5.在流程（4）里還應再補充公式③的推論：logaan=n（其中a>0，a≠1，n∈R）;

6.在流程（3）里公式①的證明過程中，loga（MN）=logaap+q=p+q=logaM+logaN這一步是應用了公式③的推論，這顯然是循環論證。這樣復習提問過程中的對數的定義logNa=bab=N（a>0，a≠1，N>0）就顯得多余的了，因為在證明時，MN=ap·aq=ap+q可由對數的定義而直接得到logaM+logaN=p+q=loga（MN）。這如同登寶山而空手歸。尤其值得注意的是這位青年教師所用的典型錯誤證法流行甚廣，用他自己的話說“當初我的老師也是這么教的”。這不能不引起我們反思。

7.在流程（4）里對于公式③沒有給出證明過程，過于浮淺，照本宣科。

8.教師沒有精心探究上述三個公式的正逆互用及易錯點。事實上，教師應高屋建瓴，不僅要讓學生明白三個公式可正逆互用，同時還要例舉常見的真數沒有意義以及誤記公式等易錯點。教學過程中教師不妨列舉出學生常見的一些典錯，如：log3（-3）（-5）=log3（-3）+log3（-5）、log10（-10）2=2lg（-10）、loga（M±N）=logaM±logaN、loga（MN）=logaM·logaN、logaMN=logaMlogaN。讓學生自我糾錯，進而在反思中掌握公式的特點并加深對公式的記憶與理解。

案例2

第二位教師整體構思與第一位教師是相同的，只是他增加了對于公式③的證明過程。簡述如下：

證明：設logaM=p，則ap=M，

所以Mn=（ap）n=anp，

logaMn=logaanp=np=nlogaM。

案例3

第三位教師整體構思與第二位教師大致是相同的，只是他對于③的證明過程與第二位教師的方法不一樣。簡述如下：

由公式logaM+logaN=logaMN可得如下推論：

loga（M1M2…Mn）=logaM1+logaM2+…+logaMn

當M1=M2=…=Mn時，

得到nlogaM=logaMn。

點評：第二位與第三位教師剛帶過高三又返回帶高一，是有一定教學經驗的，他們各自的證法有一定的誘惑性，以致在評課時，幾個青年教師還很佩服地認為這兩種證明方法是“神到之筆”。果真如此嗎？請看下面的證法：

設logaM=p，由對數定義可得M=ap，

∴Mn=anp，

∴logaMn=np=nlogaM。（其中a>0，a≠1，M>0，n∈R）

這種證法與第一種很相似，但他處理的藝術主要體現在對對數定義公式logNa=bab=N（a>0，a≠1，N>0）的應用上。仔細體會不難看出后二位老師的錯誤之處：第二位教師利用待證公式的特例反過來證明該公式，犯了循環論證的錯誤;第三位教師把公式中的n想當然地認為是自然數，實際上n∈R，該教師犯了以偏概全的錯誤。兩種錯誤的證法具有極大的迷惑性，筆者聽了兩所學校共八節同樣的課例，八位教師全部講錯。

反思：

首先是教師的專業知識不精，備課不充分，工作態度不嚴謹。

教師備課時要做到：內容選擇要合理，目標制定要準確，重點難點要把握，學生水平要了解，學習方法要恰當，教學方法要精選，問題設計要精當，教具和課件準備要充分，練習設計要精當。這些都是我們耳熟能詳的一些備課要求。但我們往往會漏掉一個重要的方面，就是備課過程中細節問題要關注。課堂教學中的細節問題雖然是一些細小的問題，但是也能影響一堂課的教學效果，細小的問題也能釀成大的失誤，因此教師在備課時不要輕易放過每一個細節問題。本文中三位老師對諸多細節處理的失誤應引起我們各位數學同仁充分的重視。

其次，教材在對這部分內容的處理上，筆者認為也有值得商榷之處。

在案例1流程（2）中，利用電子表格處理數據，讓學生歸納公式是一種創新，但如果能在原表的基礎上再增加兩列logM3+logN3和logM3-logN3的值，這樣學生在觀察數據時更易發現規律，當然，如果老師在課堂教學時，能靈活處理教材，上課時在電腦中一邊操作一邊增加相應的兩列數據的產生過程，也能彌補教材的不足。另外，對于教學硬件不具備的學校，教師不能使用電腦演示數據的處理過程，那么教材中給出的電子表格也只能是空中樓閣，倒不如用傳統的處理方法也能達到殊途同歸的效果，比如讓學生先求log22、log24log28、log2（2×4）、log2（82）等對數的值，引導學生發現規律。

教材對于公式logaMn=nlogaM，其中a>0，a≠1，M>0，n∈R的處理對學生的估計過高，只給出公式本身，沒有一點提示，本意是培養學生類比聯想、觀察驗證、推理證明的能力。而那么多的老師有的避而不談，有的談而出錯，學生更難達到預期的效果，倒不如在課本旁邊增加相關的探究提示，效果是不是要更好一些呢？

三個公式的證明是本節課的難點，但三個公式的證明有一個共同特點：先通過假設，將對數式化成指數式，并利用冪的運算性質進行恒等變形，然后再根據對數定義將指數式化成對數式。對數定義在證明過程中發揮著關鍵的作用。

教學是門藝術，藝術需要雕刻，三個案例中諸多問題的發生，本來是完全可以避免的，只要細心推敲就能發覺其不妥或有誤，就能避免因粗糙、粗略、粗心所造成的一個個不能不說的遺憾。古人說：天下難事，必做于易;天下大事，必做于細。對于我們數學教師而言，能否打磨數學課中的細節不僅反映教師的備課過程是否精細，更能反映出教師的治學態度是否嚴謹，它直接決定了一節數學課的成敗。