為什么不是1/38

方灶娣

最近參加一次人教版《分數的意義》的教學研討，其中一個教學環節引起我的思考，現以課堂實錄與大家交流探討。

課堂回放：教師順利地引導學生分“單個物體”得出：把一個餅平均分成2份，其中一份就是這個餅的1/2；把一個長方形平均分成6份，其中的一份就是這個長方形的1/6。

這時，教師話鋒一轉，把手放在一個叫汪思澤的同學身上。說：“剛才我們找到了二分之一，六分之一。你能不能說一說汪思澤是幾分之一？”

遲疑了片刻后，一個孩子舉手發言“老師，我們班有38個人，把我們班平均分成38份，汪思澤是其中一份，所以他是我們班的1/38。”

教師正想肯定這個孩子的觀點，課堂中卻出現了別樣的聲音——“不對，汪思澤不是我們班的1/38！”“我認為也不是！”——（很多同學附和）

“為什么不是？”老師好奇地問。（顯然學生的疑問超出了他的預期）

“因為得到分數一定要平均分的，我們38個人身高體重都不一樣，所以他不是平均分的結果，也就不是1/38。”這個孩子振振有詞的回答。

“對，沒有平均分，所以不是1/38”學生們紛紛表示贊同。

老師一下子愣住了，稍后“機智”地引導“那如果，我們全班的同學都和汪思澤一樣呢？那他是1/38嗎？”

“那就是了！”學生都一致說。

“好的，那我們就把大家都看成是汪思澤吧，現在可以這么說：把38個人平均分成38份，其中一份就是這個整體的1/38。”

“老師，應該是把38個汪思澤平均分成38份，其中一個才是1/38。”

“怎么會有這么多汪思澤啊？”

“哈哈哈”教室里爆發出學生歡快的笑聲和教師無奈“呵呵”聲……

課后談話：課后，我拉住旁邊的兩個孩子聊：“我們三個人，我——能不能說是咱們三個人的三分之一？”兩個孩子對視了一下說“不能，你比我們年紀要大。不是平均分成三份，所以不是1/3。”“哦，這樣，那如果老師和你們一樣大呢？”“哈哈，那也不是。”“啊，你怎么想的？”“因為，你比我們體重要重，身高要高，還是沒有平均分啊，怎么會有分數？！”“哦，那老師要怎么樣才是咱們三個人的三分之一呢？”“那……除非我們三個人是一樣的，哈哈！”孩子們邊說邊笑著走開了……

一、問題源于何處？——不同視角，預設≠生成

無論從課堂中學生的表現還是課后的訪談，毫無疑問地指向同一關鍵：平均分。可見，分數概念在學生的認知結構中，“平均分”是最為本質核心，又易提取的顯性表征，而這也是教師在教學“分數初步認識”的時候所反復、重點強化的結果。

數學學習是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。在上述學習過程中，教師著眼于“把全班同學看作一個整體”意圖引導學生“把學生刻畫為數，通過對‘數的平均分，抽象概括，形成分數的概念”。而在學生思考中，“平均分”又意味著什么？不難發現，他們關注的是“外形的大小，重量的輕重，年齡的大小”等一系列直觀、可視的感性表征。在他們的思維中，“平均分”等于“一樣大小，同樣輕重”。而汪思澤無論是年齡、身高、體重在全班同學中都不會是恰好平均分成38份的結果。所以，孩子們異口同聲而又振振有詞的“汪思澤不是1/38”雖在意料之外，實則情理之中。

二、如何改進設計？——超越經驗，理性>感性

感性經驗是學生進行學習的應然基礎，學生的經驗——平均分產生分數，提供了他們形成分數意義概念的基礎。但是平均分并不能代替概念的全部。如果不能引導孩子們對自身已有的感性經驗進行理性的再思考，那么經驗最終只能是經驗。因此，要真正理解分數的意義，不但要借助經驗，而且還理應超越經驗。

所以，教師在教學“把多個物體看作一個整體”“把這個整體平均分成若干份”時，要特別注意引入變式，即創設“不同外觀，不同大小但有共同屬性的教學素材”看作一個整體。如新課后的做一做（圖一）“12顆不同品種的糖，4顆白的，4顆花的，4顆黃色的，任意平均分成4份，其中一份都占總數的1/4”讓學生明白顏色、外觀、糖的品種并不影響平均分得到1/4這個分數。再如，練習十一的第三題（圖二）。通過這樣的變式引導，讓學生體會平均分的更深層次的含義——即平均分的實質不是指各部分之間的外觀、形狀、大小完全一致（特別是等分多個實物時，可能每份數會有“形”的區別，如蘋果的大小等），而是在一個整體中，他們的地位相同，或者刻畫成“數”時，“量”的多少相一致。有如此類教學作鋪墊，然后，引入全班同學的座位表圖，利用課件轉換成38個點。引導孩子思考“每個點代表我們班的一個人，汪思哲就是其中的1/38”。利用圖形建立具體事物與量之間的聯系，實現“物”向“數”的轉變。讓學生感悟全班雖然有38個不同年齡、體重、身高的同學，但是從“數”的角度而言，每個人都代表“一個人”的量，都是38份中的其中一份，也就是1/38，所以汪思澤理所當然是1/38。

而這種對“平均分”的理性數學認識，其實質是孩子對自己學習經驗的一種超越和原有知識的重新建構。

三、有何思考與啟示？——教學理解，教材+生本

教材中引導學生理解“把一些物體看作整體”的教學素材如下圖三。

很多教師認為，分數意義教學應該從分實物入手，因為實物是形象的、具體的，而用幾何圖形表征則是抽象的，學習總是從形象抵達抽象，教材是如此編排的，這位教師也是在“讀懂”教材，聯系學生的生活基礎上如此進行教學。

而我們不得不思考的是：在教學中永遠有兩條看不見的線，其一是教師心中預設的線，其二是學生思維進程中的線。教學中諸多預設外的生成就在于這兩條線沒有有機整合，沒有貼合為一條線。教學中的生成超出預設，實則是教師沒有讀懂學生的思維。

我們不妨從學生的理解角度思考，實物由于外形、大小等夾雜著很多非本質的因素，往往成了干擾學生學習的攔路虎。正是選擇分“不恰當”的實物入手對學生理解分數的意義造成了更多的認知障礙。事實上，由于圖形摒棄了一些非本質屬性，孩子有時反而更容易理解。因此，不妨從分簡單的圖形開始，如把“4個三角形，8個圓看作一個整體”而后再引入“外形同樣的實物——如分書”，進而導入變式如“分同質不同形的糖果——圖一”和“班級的點陣圖”。從而真正實現教師預設的線與學生的思維線合二為一。

由此看來，教師對教學的“理解”其實質是“對教材的理解+對學生的理解”。教學中既要研究如何“教”，更要研究如何“學”；既要分析“教材”，更應著力于挖掘好的“學材”；既要基于學生經驗，更需超越學生經驗。如此教學，才能真正實現以學論教，順學而導。

（作者單位：浙江省諸暨市陶朱街道三益小學）