一階線性動(dòng)態(tài)電路的“四要素”分析方法

肇巍　張國(guó)光

摘要：一階線性動(dòng)態(tài)電路的輸入—輸出方程是一階常系數(shù)非齊次微分方程，通過(guò)對(duì)微分方程的求解，得出在任意激勵(lì)條件下，響應(yīng)的一般形式，給出了電路響應(yīng)的“四要素”表達(dá)式，使一階線性動(dòng)態(tài)電路的分析簡(jiǎn)便、直接、清晰。

關(guān)鍵詞：電路分析；階線性動(dòng)態(tài)電路；分析方法；四要素

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）20-0074-02

《電路分析》是高等院校電子信息類專業(yè)學(xué)生的必修課程，它是以后各專業(yè)課（如《模擬電子線路》、《數(shù)字電子線路》、《通信電子線路》、《信號(hào)與系統(tǒng)》、《數(shù)字信號(hào)處理》等）的基礎(chǔ)，所以《電路分析原理》是一門十分重要的課程。一階線性動(dòng)態(tài)電路是電路理論及電路分析中最基本的電路，求一階動(dòng)態(tài)電路的全響應(yīng)，通常是用經(jīng)典法，即先由基爾霍夫定律列方程，經(jīng)過(guò)整理其數(shù)學(xué)方程為一階線性微分方程，求解該微分方程則得到該電路的全響應(yīng)。本文介紹一種通用求解方祛，避開了高等數(shù)學(xué)知識(shí)，容易掌握，解題方便。

一、一階線性動(dòng)態(tài)電路的輸入—輸出方程

把電路換路瞬時(shí)定為t=0時(shí)刻，換路后電路的激勵(lì)為e（t），響應(yīng)為r（t）。在t>0時(shí)描述一階電路的輸入—輸出方程的普遍形式為a+br（t）=ce（t） （1），式中，a、b、c為常系數(shù)。可知式（1）為一階常系數(shù)非齊次微分方程，那么方程的解r（t）即為在e（t）激勵(lì)下電路的響應(yīng)。

二、一階線性動(dòng)態(tài)電路分析的“四要素”法

根據(jù)微分方程理論，式（1）的解由兩部分組成：一是微分方程的特解，在電路分析中稱為強(qiáng)制響應(yīng)，用r（t）表示；二是其對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解，在電路分析中稱為固有響應(yīng)，用r（t）表示。于是式（1）的解可寫為r（t）=r（t）+r（t） （2）。r（t）與激勵(lì)的形式有關(guān)，而r（t）具有固定形式，為r（t）=Ke （3）。式中，K是積分常數(shù)，s是齊次微分方程的特征方程as+b=0的根，即s=-b/a。在電路分析中，式（3）寫成如下形式r（t）=

Ke （4），其中，積分常數(shù)K可由初始條件確定，即K=r（0）-r（0） （5），于是r（t）=r（t）+[r（0）-r（0）]

e （6）。這就是一階線性動(dòng)態(tài)電路在任意激勵(lì)時(shí)，響應(yīng)r（t）的計(jì)算公式。式中r（t）、r（0）、r（0）和τ稱為一階電路的四要素。r（t）和r（0）是一階電路的強(qiáng)制響應(yīng)及其初始值，r（0）是響應(yīng)r（t）的初始值，τ是電路的時(shí)間常數(shù)。利用式（6）分析一階電路的方法稱為“四要素”法，式（6）為“四要素”公式。

三、不同信號(hào)源激勵(lì)時(shí)的“四要素”公式

（一）直流信號(hào)源激勵(lì)時(shí)的情況

根據(jù)動(dòng)態(tài)元件（電容和電感）的性質(zhì)，直流激勵(lì)時(shí)強(qiáng)制響應(yīng)是一恒量，它與時(shí)間無(wú)關(guān)，即為響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值r（∞），因此r（t）=r（0）=r（∞），于是直流激勵(lì)一階電路的“四要素”縮減成了“三要素”，式（6）變成了r（t）=r（∞）+[r（0）-r（∞）]e （7）。式中，r（∞）為響應(yīng)r（t）的穩(wěn)態(tài)值，可通過(guò)穩(wěn)態(tài)等效電路（電容看作開路，電感看作短路）求得；r（0）是響應(yīng)r（t）的初始值，可利用換路定律，通過(guò)0等效電路（電容看作電壓源，電感看作電流源）求得；τ是電路的時(shí)間常數(shù)，電容電路τ=ReqC，電感電路τ=L/Req，Req為動(dòng)態(tài)元件（電容和電感）端口的等效電阻。這就是所熟知的“三要素”公式。可見(jiàn)一階電路“三要素”法是“四要素”法的一個(gè)特例。在直流激勵(lì)一階電路中，常用“三要素”法來(lái)分析電路的響應(yīng)，非常簡(jiǎn)單。

（二）非直流信號(hào)源激勵(lì)時(shí)的情況

一階電路的激勵(lì)若為非直流信號(hào)，則強(qiáng)制響應(yīng)即為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，用r（t）表示，于是我們可以把式（6）寫為

r（t）=r（t）+[r（0）-r（0）]e （8）。這就是非直流信號(hào)激勵(lì)時(shí)，一階電路“四要素”法公式。式中r（t）和

r（0）是一階電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及其初始值，r（0）是響應(yīng)r（t）的初始值，τ是電路的時(shí)間常數(shù)。

1.正弦信號(hào)源激勵(lì)的情況。（1）初始值r（0）的求法：①換路前，電路為直流激勵(lì)，初始值r（0）的求法與式（7）相同。②換路前，電路為正弦激勵(lì)，利用分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法，先確定t<0時(shí)刻的原正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

r（t），再取t=0計(jì)算初始值r（0）=r（0）。（2）時(shí)間常數(shù)τ的計(jì)算方法。時(shí)間常數(shù)τ的計(jì)算方法與式（7）相同，即電容電路τ=RC，電感電路τ=L/R。（3）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)r（t）及其初始值r（0）的求法。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)r（t）可通過(guò)分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法求得，取t=0計(jì)算初始值r（0）。

例：圖1所示電路中，u=2sin0.5tV，

i=2sin0.5tA，開關(guān)S在t=0時(shí)由a合向b，且開關(guān)合在a時(shí)電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，試求t>0時(shí)電路中的電流i。

解：開關(guān)合在a時(shí)：

==∠-45°A

i（t）=2sin（0.5t-45°）A

i（0）=i（0）=2sin（-45°）=-A

開關(guān)合在b時(shí)：

i（t）=i（t）=2sin0.5tA

i（0）=0A

τ==2s

代入公式（8）得t>0時(shí)：

i（t）=（2sin0.5t-e）A

2.非正弦信號(hào)源激勵(lì)的情況。一階電路的激勵(lì)若為非正弦信號(hào)，響應(yīng)r（t）一般形式仍可用式（8）表示。（1）初始值r（0）的求法：①換路前，電路為直流激勵(lì)，初始值r（0）的求法與式（7）相同。②換路前，電路為正弦激勵(lì)，利用分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法，先確定t<0時(shí)刻的原正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)r（t），再取t=0計(jì)算初始值

r（0）=r（0）。③換路前，電路為非正弦激勵(lì)，保持激勵(lì)源不變，采用電路分析方法，先確定t<0時(shí)刻的原穩(wěn)態(tài)響應(yīng)r（t），再取t=0計(jì)算初始值r（0）=r（0）。（2）時(shí)間常數(shù)τ的計(jì)算方法。時(shí)間常數(shù)τ的計(jì)算方法與式（7）相同，即電容電路τ=RC，電感電路τ=L/R。（3）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)r（t）及其初始值r（0）的求法。保持激勵(lì)源不變，采用電路分析方法，確定穩(wěn)態(tài)響應(yīng)rs（t），取t=0+計(jì)算初始值r（0）。

四、結(jié)論

“四要素”法比經(jīng)典法、拉普拉斯變換法，簡(jiǎn)便、直接、清晰，是適用于各種信號(hào)激勵(lì)的一階線性動(dòng)態(tài)電路全響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的分析，它具有普遍意義。

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