一階線性動態電路的“四要素”分析方法

肇巍　張國光

摘要：一階線性動態電路的輸入—輸出方程是一階常系數非齊次微分方程，通過對微分方程的求解，得出在任意激勵條件下，響應的一般形式，給出了電路響應的“四要素”表達式，使一階線性動態電路的分析簡便、直接、清晰。

關鍵詞：電路分析；階線性動態電路；分析方法；四要素

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）20-0074-02

《電路分析》是高等院校電子信息類專業學生的必修課程，它是以后各專業課（如《模擬電子線路》、《數字電子線路》、《通信電子線路》、《信號與系統》、《數字信號處理》等）的基礎，所以《電路分析原理》是一門十分重要的課程。一階線性動態電路是電路理論及電路分析中最基本的電路，求一階動態電路的全響應，通常是用經典法，即先由基爾霍夫定律列方程，經過整理其數學方程為一階線性微分方程，求解該微分方程則得到該電路的全響應。本文介紹一種通用求解方祛，避開了高等數學知識，容易掌握，解題方便。

一、一階線性動態電路的輸入—輸出方程

把電路換路瞬時定為t=0時刻，換路后電路的激勵為e（t），響應為r（t）。在t>0時描述一階電路的輸入—輸出方程的普遍形式為a+br（t）=ce（t） （1），式中，a、b、c為常系數。可知式（1）為一階常系數非齊次微分方程，那么方程的解r（t）即為在e（t）激勵下電路的響應。

二、一階線性動態電路分析的“四要素”法

根據微分方程理論，式（1）的解由兩部分組成：一是微分方程的特解，在電路分析中稱為強制響應，用r（t）表示；二是其對應的齊次微分方程的通解，在電路分析中稱為固有響應，用r（t）表示。于是式（1）的解可寫為r（t）=r（t）+r（t） （2）。r（t）與激勵的形式有關，而r（t）具有固定形式，為r（t）=Ke （3）。式中，K是積分常數，s是齊次微分方程的特征方程as+b=0的根，即s=-b/a。在電路分析中，式（3）寫成如下形式r（t）=

Ke （4），其中，積分常數K可由初始條件確定，即K=r（0）-r（0） （5），于是r（t）=r（t）+[r（0）-r（0）]

e （6）。這就是一階線性動態電路在任意激勵時，響應r（t）的計算公式。式中r（t）、r（0）、r（0）和τ稱為一階電路的四要素。r（t）和r（0）是一階電路的強制響應及其初始值，r（0）是響應r（t）的初始值，τ是電路的時間常數。利用式（6）分析一階電路的方法稱為“四要素”法，式（6）為“四要素”公式。

三、不同信號源激勵時的“四要素”公式

（一）直流信號源激勵時的情況

根據動態元件（電容和電感）的性質，直流激勵時強制響應是一恒量，它與時間無關，即為響應的穩態值r（∞），因此r（t）=r（0）=r（∞），于是直流激勵一階電路的“四要素”縮減成了“三要素”，式（6）變成了r（t）=r（∞）+[r（0）-r（∞）]e （7）。式中，r（∞）為響應r（t）的穩態值，可通過穩態等效電路（電容看作開路，電感看作短路）求得；r（0）是響應r（t）的初始值，可利用換路定律，通過0等效電路（電容看作電壓源，電感看作電流源）求得；τ是電路的時間常數，電容電路τ=ReqC，電感電路τ=L/Req，Req為動態元件（電容和電感）端口的等效電阻。這就是所熟知的“三要素”公式。可見一階電路“三要素”法是“四要素”法的一個特例。在直流激勵一階電路中，常用“三要素”法來分析電路的響應，非常簡單。

（二）非直流信號源激勵時的情況

一階電路的激勵若為非直流信號，則強制響應即為穩態響應，用r（t）表示，于是我們可以把式（6）寫為

r（t）=r（t）+[r（0）-r（0）]e （8）。這就是非直流信號激勵時，一階電路“四要素”法公式。式中r（t）和

r（0）是一階電路的穩態響應及其初始值，r（0）是響應r（t）的初始值，τ是電路的時間常數。

1.正弦信號源激勵的情況。（1）初始值r（0）的求法：①換路前，電路為直流激勵，初始值r（0）的求法與式（7）相同。②換路前，電路為正弦激勵，利用分析正弦穩態電路的相量法，先確定t<0時刻的原正弦穩態響應

r（t），再取t=0計算初始值r（0）=r（0）。（2）時間常數τ的計算方法。時間常數τ的計算方法與式（7）相同，即電容電路τ=RC，電感電路τ=L/R。（3）穩態響應r（t）及其初始值r（0）的求法。穩態響應r（t）可通過分析正弦穩態電路的相量法求得，取t=0計算初始值r（0）。

例：圖1所示電路中，u=2sin0.5tV，

i=2sin0.5tA，開關S在t=0時由a合向b，且開關合在a時電路已達穩態，試求t>0時電路中的電流i。

解：開關合在a時：

==∠-45°A

i（t）=2sin（0.5t-45°）A

i（0）=i（0）=2sin（-45°）=-A

開關合在b時：

i（t）=i（t）=2sin0.5tA

i（0）=0A

τ==2s

代入公式（8）得t>0時：

i（t）=（2sin0.5t-e）A

2.非正弦信號源激勵的情況。一階電路的激勵若為非正弦信號，響應r（t）一般形式仍可用式（8）表示。（1）初始值r（0）的求法：①換路前，電路為直流激勵，初始值r（0）的求法與式（7）相同。②換路前，電路為正弦激勵，利用分析正弦穩態電路的相量法，先確定t<0時刻的原正弦穩態響應r（t），再取t=0計算初始值

r（0）=r（0）。③換路前，電路為非正弦激勵，保持激勵源不變，采用電路分析方法，先確定t<0時刻的原穩態響應r（t），再取t=0計算初始值r（0）=r（0）。（2）時間常數τ的計算方法。時間常數τ的計算方法與式（7）相同，即電容電路τ=RC，電感電路τ=L/R。（3）穩態響應r（t）及其初始值r（0）的求法。保持激勵源不變，采用電路分析方法，確定穩態響應rs（t），取t=0+計算初始值r（0）。

四、結論

“四要素”法比經典法、拉普拉斯變換法，簡便、直接、清晰，是適用于各種信號激勵的一階線性動態電路全響應、零輸入響應和零狀態響應的分析，它具有普遍意義。

參考文獻：

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