《線性代數》教學中若干難點的探討

郭宏艷

摘要：在《線性代數》的教學過程中，有很多抽象的概念學生很難理解，比如線性相關、線性無關，極大線性無關組、向量組的秩等等。本文從筆者個人的教學實際出發，淺談教學過程中的若干個教學難點，化抽象為具體，幫助學生理解并掌握這些難點，以提高學生對《線性代數》的學習興趣。

關鍵詞：線性相關；線性無關；極大線性無關組；向量組的秩

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）22-0226-02

《線性代數》是高等學校理、工、經、管類各專業的一門重要基礎課程。通過對本課程的學習，學生可以獲得線性代數的基本概念、基本理論和基本運算技能，為后繼課程的學習和進一步知識的獲得奠定必要的數學基礎。通過各個教學環節的學習，可以逐步培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力以及自學能力，并具有比較熟練的運算能力和綜合運用所學知識分析和解決問題的能力。另外，通過《線性代數》的學習，還可以培養學生的綜合素質和提高學生的創新意識。因此，只有熟練掌握這門課程，才能較好地運用到各個專業中。由于該課程內容抽象，教學課時短，這無疑對教師的教學和學生的學習造成了極大的困擾。本文從筆者個人的教學實際出發，淺談教學過程中的若干個教學難點，幫助學生理解并掌握這些難點，以提高學生對《線性代數》的學習興趣。

一、線性相關性與線性無關性

線性方程組理論是線性代數的基本內容之一，而向量組的線性相關性和線性無關性又是解線性方程組的基礎。教材第三章線性方程組開門見山，直接給出了線性相關及線性無關的定義。線性相關是指一個向量組α1，α2，…，αs，如果存在一組不全為零的數λ1，λ2，…，λs，使得λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，則稱該向量組α1，α2，…，αs線性相關。如果不存在這樣一組不全為零的數，則稱該向量組α1，α2，…，αs線性無關。單純地稱某向量組線性相關或線性無關，對于學生來說是比較抽象的，他們對這一定義總是感覺很模糊，很難理解，如何才能更好地更形象地理解這一定義呢？如果在教學中，把這塊知識與解析幾何聯系起來，用幾何知來解釋什么是線性相關或線性無關，那么學生肯定更容易接受。例如，對于定義中λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，可以理解為b=（λ1，λ2，…，λs）這樣的一個行向量。如果向量組有兩個列向量構成，即α1，α2，則b=（λ1，λ2），λ1α1+λ2α2=0。若λ1≠0，則經過變換可以得到α1=■，這說明α1和α2共線。對于有三個向量構成的向量組，λ1α1+λ2α2+λ3α3=0，b=（λ1，λ2，λ3），若λ1≠0，經變換得到α1=■+■，這說明α1，α2，α3三個向量共面。

對于兩個向量，線性相關指兩向量平行（或者說是共線），此時只是在線上的關系，僅僅是一維，線性無關指兩向量相交，確定了一個二維平面。線性無關提供了另一種維度，使得向量所在空間增加了一維。對于三個向量，線性相關指三向量共面，研究的是二維平面，而線性無關指三向量不共面，使得向量所在空間增加了一維，即三個向量若線性無關，那么它們不共面，存在于三維立體空間中。四個向量，五個向量，…，研究方法類似。結合幾何知識，通過幾何圖像可以更直觀地呈現出新的概念，學生更易于接受，而且還有助于提高學生對《線性代數》的學習興趣。

二、極大線性無關組及向量組的秩

由于極大線性無關組和向量組的秩的概念比較抽象，學生較難理解，所以這一知識點也是《線性代數》教學的重點和難點。我們所用的教材是在講述了線性相關性和線性無關性之后，直接給出極大線性無關組及向量組秩的概念，學生很難理解并掌握這兩個抽象的概念。針對這一情況，在教學中可以通過一個例子提出問題，在解決該問題的過程中總結歸納出極大線性無關組和向量組秩的概念，用簡單具體的實例闡明抽象的概念。這樣一來，教師在教學過程中會輕松些，學生學起來也不那么枯燥無味。

例如：判斷向量組β1=100，β2=010，β3=121，β4= 1 0-1的線性相關性。首先我們可以根據前面所學的知識判斷出向量組β1，β2，β3，β4是線性相關的。緊接著，讓學生找出向量組β1，β2，β3，β4中線性無關的子組。通過分析，學生們會發現，在線性相關的向量組β1，β2，β3，β4中，存在線性無關的子組，且這些線性無關的子組所含向量的個數都為2。在此基礎上，進一步引導學生總結出，向量組中的線性無關子組并不是唯一的，但是所含向量的個數是相同的，都是2，并且其余向量都可以由線性無關的子組線性表示。最后總結出向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念。向量組β1，β2，β3，β4的線性無關的子組β1，β2；β1，β3或β3，β4等稱為向量組β1，β2，β3，β4的極大線性無關組，極大線性無關組所含向量的個數2稱為向量組β1，β2，β3，β4的秩，記為R（β1，β2，β3，β4）=2。然后再將這兩個概念推廣到更普遍的情況，歸納總結出向量組的極大線性無關組和向量組秩的概念。

若向量組的一個子組線性無關，但將向量組中任何一個向量添加到這個線性無關子組中去，得到的都是線性相關的子組，則稱該線性無關子組為向量組的極大線性無關組。一個向量組的極大線性無關組所含向量的個數，稱為該向量組的秩。通過恰當的例子引出新的概念，此種方法化抽象為具體，學生更容易接受并掌握相關概念。

由此可見，在《線性代數》的教學過程中，對于一些抽象的概念，直接闡述很難達到理想的教學效果。面對這些教學難點，我們可以結合幾何知識，通過幾何圖像可以更直觀地呈現出新的概念；或者通過引入恰當的例子，在解決問題的過程中把要講述的新概念歸納總結出來。總之，在《線性代數》的教學過程中，要靈活運用多種教學方法，才能發揮最好的教學效果，達到教學設計的目標。

參考文獻：

[1]四川大學數學系高等數學教研室.高等數學（第三冊）[M].第2版.北京：高等教育出版社，1990.

[2]同濟大學數學系.工程數學，線性代數[M].第5版.北京：高等教育出版社，2007.

[3]王新艷，林恒強.向量的線性相關性與線性無關性在平面和空間上的幾何解釋[J].鄭州工業高等專科學校學報，2000，16（1）：30-32.

[4]黃金城.向量組的秩的概念引入教學[J].成都師范學院學報，2013，29（1）：112-113.

[5]王章雄，曹順娟.“線性代數”概念教學芻議[J].高等理科教育，2009，（6）：41-43.