初中數(shù)學(xué)最值問題探究

謝保銀　熊志新　湯軍榮

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2016）20-0097-01

近年來，最值問題已成了中考?jí)狠S題的趨勢(shì)。它要求學(xué)生具有很強(qiáng)的分析能力與綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)解題能力。本文以2014年無(wú)錫市的填空壓軸最值題為例，對(duì)這類最值問題進(jìn)行探究。

例題（2014·無(wú)錫）如圖1，菱形ABCD中，∠A=60埃珹B=3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是 。

原題解析：（摘自網(wǎng)絡(luò)）

考點(diǎn)：軸對(duì)稱——最短路線問題；菱形的性質(zhì)；相切兩圓的性質(zhì)。

分析：利用菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)得出P與D重合時(shí)PE+PF的最小值，進(jìn)而求出即可。

解答：由題意可得出：當(dāng)P與D重合時(shí)，E點(diǎn)在AD上，F(xiàn)在BD上，此時(shí)PE+PF最小，連接BD，如圖2。

∵菱形ABCD中，∠A=60埃郃B=AD，則△ABD是等邊三角形，

∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，

∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3。故答案為：3。

探究：上述問題是2014年無(wú)錫中考的壓軸填空題，考生看到題目后束手無(wú)策，究其原因，其表面現(xiàn)象由三個(gè)動(dòng)點(diǎn)求最小值，這種氣勢(shì)頗為嚇人。分析以后發(fā)現(xiàn)，對(duì)于這個(gè)問題，上面網(wǎng)絡(luò)的解析，不夠全面縝密。其實(shí)這個(gè)問題真正考的重要知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)，一是軸對(duì)稱最短路線問題，二是圓外一點(diǎn)到圓的最小距離問題。

為了真正透徹理解這個(gè)問題，我們對(duì)前面所說的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)作進(jìn)一步解釋如下：

首先，在一定直線上找一動(dòng)點(diǎn)，使得這個(gè)動(dòng)點(diǎn)到直線同旁的兩個(gè)頂點(diǎn)距離最短，這就是考的軸對(duì)稱最短線路問題。如圖3，在直線AB上找一點(diǎn)P使得PC+PD最小，其作法是先作C、D中的任意一點(diǎn)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接另一個(gè)端點(diǎn)，連線與AB的交點(diǎn)就是所要找的P點(diǎn)。

其次，定圓外一定點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線段中哪條最短。如圖4，⊙O外一定點(diǎn)P，在⊙O上找一點(diǎn)M，使得PM最短，則M點(diǎn)是線段PO與⊙O的交點(diǎn)。圓上的其它點(diǎn)與P點(diǎn)的連線段都要大于PM。

如果是已知兩個(gè)定圓和兩圓外一定點(diǎn)，要在兩個(gè)已知圓上各找一點(diǎn)與這個(gè)圓外的點(diǎn)連線段的和最小呢？如圖5，點(diǎn)P是⊙O1和⊙O2外一點(diǎn)，在⊙O1和⊙O2分別找一點(diǎn)N、M使得PM+PN最短。其作圖方法是連接PO1和PO2，PO1和PO2與⊙O1和⊙O2交點(diǎn)就是N、M。

顯然這個(gè)問題可以推廣到n個(gè)定圓和圓外一定點(diǎn)，要在n個(gè)圓上分別找一點(diǎn)與圓外這點(diǎn)的連線段和最小，解法思想是相同的。

在前面知識(shí)的基礎(chǔ)上，2014年無(wú)錫的這個(gè)壓軸填空題就可以理解了。要在CD上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P與⊙A和⊙B上的動(dòng)點(diǎn)E、F連接后，PE+PF最小。如果P是CD上的定點(diǎn)那就秒殺了，只要連接PA、PB即可。但現(xiàn)在P是CD上的動(dòng)點(diǎn)，通過分析可以知道如果PA、PB的和能最短，那么PE+PF也就最小了，因?yàn)镋A和FB半徑是定值。作B點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接A點(diǎn)，與CD的交點(diǎn)就是P點(diǎn)，在連接PA、PB與兩圓的交點(diǎn)就是E點(diǎn)和F點(diǎn)。PE+PF的最小值就等于（PA+PB）減去兩圓的半徑和，從而這個(gè)問題迎刃而解。由于原問題中，“60傲廡巍鋇奶厥廡裕賈略諶〉米钚≈凳保鉖剛好是點(diǎn)D。

啟發(fā)：最值問題作為壓軸題一直是困擾教師和學(xué)生的難點(diǎn)，本文列舉2014年無(wú)錫中考最值問題進(jìn)行探究。將較為復(fù)雜的動(dòng)點(diǎn)最值問題，化動(dòng)為靜、由淺入深使這類問題變得簡(jiǎn)單易懂，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，啟發(fā)學(xué)生思維，提高學(xué)生的解題能力和探索能力。

（責(zé)任編輯 陳 利）