用柯西不等式的推論簡證不等式

張麗娟

摘 要 近期研讀文[1]時，文[1]中根據等號成立的條件對代數式配湊和調整并利用均值不等式證明，感受頗深，文[1]作者最終利用柯西不等式完成證明，這說明文[1]所談及思路具有局限性。事實上，文[1]所有例子和猜想均可由柯西不等式獲得簡證，柯西不等式是新課程（選修4-5人教社A版）不等式選講中的重點，也是高考和競賽的熱點。

關鍵詞 柯西（Cauchy） 不等式

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）18-0062-01

柯西（Cauchy）不等式：設a1，a2，…，an，b1，b2…，bn是實數，則（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…bn2）≥（a1b1+a2b2+…anbn）2當且僅當bi=0（i=1，2…，n）或存在一個數k，使得ai+kbi（i=1，2，…n）時，等號成立【詳見普通高中課程標準試驗教科書數學《不等式選講》（選修4-5P39）】。我們不難得到它的一個推論：設xi∈R+，yi∈R，則++…≥，當且僅當yi=0（i=1，2，…，n）或存在一個數k，使得xi=kyi（i=1，2，…n）時，等號成立。

證明：在柯西不等式中，令ai=，bi=得，（++…）（x1+x2+…+xn）≥（y+y+…yn）2即推論成立。

我發現文[1]按柯西不等式推論證明則更簡潔明快，有事半功倍之效，為了方便說明以下均以文[1]中例題為例。

例1 若a，b∈R+，證明：+≥a+b.

證明：由柯西不等式的推論得+≥=a+b.當且僅當a=kb，且b=ka即a=b時等號成立，按此推論不難得到文[1]中的一般猜想簡證，

文[1]更一般的猜想：若x1，x2…，xn∈R+，且x1+x2+…+xn=a

則

證明：由柯西不等式的推論得，左邊當且僅當xi-a=kxi（i=1，2，…，n）即x1=x2=…=xn=時等號成立。

【點評】事實上，此題還可以進一步推廣為：若則

例2 已知正數a，b滿足a+b=1，求證：（a+2）2+（b+2）2≥.

證明：由柯西不等式的推論得，（a+2）2+（b+2）2≥+≥=，當且僅當a+2=k且b+2=k，即a=b=時等號成立。

【點評】上述證法中并未用到“a，b是正數”這一條件，故文[1]例2條件可改為“實數a，b”

例3設a，b，c>0且abc=1，求證++≥.

證明：∵abc=1，∴（abc）=1，由柯西不等式的推論得，左邊=++=++≥=≥=當且僅當a（b+c）=kbc，b（a+c）=kac，c（a+b）=kab，且bc=ac=ab即a=b=c=1時等號成立.

【點評】事實上，此題還可以進一步推廣為：設a，bc>0且abc=S，n∈N*則

可見，柯西不等式的推論在不等式的證明中有不可低估的作用，可最大限度減縮思維量且更具可操作性。

參考文獻：

[1]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書——數學《不等式選講》（選修4-5P39）[M].北京：人民教育出版社，1990.

[2]孫明輝.猜想“等號成立條件”調整構造不等式證明[J].數學教學，2006，（08）.