分位回歸理論及應用研究

何曉申

摘 要：分位數回歸（QR）是給定變量，估計響應變量條件分位數的一種基本方法。它不僅可以度量回歸變量在分布中心的影響，還可以度量在分布上尾和下尾的影響，當存在左偏或右偏時，分位回歸的系數估計會更穩定，更能體現出分析的全面特征。因此，較之經典的最小二乘回歸（OLS）具有獨特的優勢。據此，對分位數回歸的理論、分位數回歸漸進性質、似然比檢驗、分位數回歸置信區間及應用進行深入研究。

關鍵詞：分位回歸；最小二乘法；漸進性質；似然比檢驗

中圖分類號：F224 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2016）16-0006-02

引言

傳統的線性回歸模型中最小二乘回歸應用最為廣泛。它描述的是因變量條件均值分布受自變量X的影響過程。如當模型的數據存在嚴重的異方差或厚尾時，最小二乘估計將不再具有優良性質。Laplace[1]第一次提出了中位數回歸估計。在此基礎上，Koenker[2]將中位數回歸推廣到分位數回歸。分位數回歸可以捕捉到分布的尾部特征，分位回歸能更加全面地刻畫分布的特征從而得到全面的分析[3]，而且分位回歸系數比最小二乘回歸系數估計更穩健。

一、分位回歸理論

定義：分位數回歸的線性模型為y=X'β+ε，其中y為隨機變量，x為解釋變量向量，ε為誤差項。定義樣本的τ分位數函數為Qy（τ|x）=X'β（τ），可以進一步寫作：

其中τ∈（0，1），β為系數向量，不同的τ會估計出不同的系數。當τ=0.5時，上式意味著最小化絕對離差[4]，也就是中位數回歸。分位回歸本質就是通過不同的分位數τ來調節回歸平面，對數據進行完整的描述但是側重于極端數據。

二、分位數回歸的漸近性

假設一列獨立同分布的隨機變量Y1，Y2，…，Yn，其分布函數F在分位點的鄰域內具有恒大于零的連續密度函數f，gn（ξ）為梯度函數，τ分位數的目標函數ξτ。

三、分位回歸似然比檢驗

如果約束條件成立，則約束模型與非約束模型的極大似然函數值應該近似相等。在條件分位數回歸模型y=X'β+ε中，ε獨立同分布，其密度函數為f，Basset[5]對中位數回歸進行了似然比檢驗。原假設為H0∶Rβ=r

原假設成立時Tn漸近服從χ2（q）分布，推廣到τ分位數回歸的檢驗統計量為：

四、置信區間

在隨機誤差項獨立同分布且分布已知的情況下，由似然比檢驗統計量的分布可以很容易求出回歸分位數的置信區間。但當隨機誤差分布未知時，我們就不能通過直接估計法來求得置信區間。對于這種情況，Efon[6]提出了自助法，自助法是根據經驗分布函數是總體分布函數的充分估計量來進行置信區間估計的。

五、實證研究

我們利用R軟件自帶Engel數據集來研究家庭收入與食物支出的關系。Engel數據集可在quantrey包中找到，其中數據集包含235個觀測值，共有兩個變量：income——家庭收入連續變量自變量；foodexp——家庭食物支出連續變量因變量。

（一）異方差情形下的QR與OLS

我們得到最小二乘法估計的線性模型：Y=150.37+0.48X，

t統計量值為33.74，R2=0.83，F=1 138.11，White檢驗，TR2=

176.11>χ2 0.05=6，存在異方差。

由表1可知，隨τ取值逐漸變大，自變量X的回歸系數β也逐漸增大，變化范圍在0.34～0.71之間，全距0.37。在0.05分位數上，每增加1個單位的X，Y增加0.34單位，而在0.95分位數上，每增加1個單位的X，Y增加0.71單位。因變量Y由低水平到高水平，自變量X所起的作用越來越大。

（二）同方差情形下的QR與OLS

克服異方差的方式有很多，本文利用取對數法，得到兩個新變量。普通最小二乘法估計的線性模型為：LnY=0.57+

0.85LnX，t統計量值為41.99，R2=0.88，F=1 763.58，τ值取不同值時，回歸方程和曲線（如表2所示）。隨著τ取值逐漸變大，自變量X的回歸系數β并沒有發生顯著的變化，無論因變量LnY處于哪一水平，增加一個單位自變量LnX，都會使LnY增加0.85單位左右的大小。

結論

通過以上實例可以看出，分位數回歸可視為普通最小二乘法的有益補充。當普通最小二乘法的前提假設不能滿足時，分位數回歸則提供了一種新的統計方法和視野。通過對因變量分布的不同部分進行研究，挖掘出更多有用的信息，從而更真實、準確地反映自變量與因變量之間的相互關系。