借助幾何直觀提高學生解決問題的能力

鐘春偉

摘要：《數學課程標準》（2011版）第一次將“幾何直觀”作為核心理念提出。但是，在實際教學中不少學生在解決問題時往往不能恰當地借助幾何直觀，明晰數量關系。總的來說，主要有三種表現：利用幾何直觀解決問題的意識較弱；利用幾何直觀解決問題的經驗積累不足；對幾何直觀圖背后的數學本質理解不到位。

關鍵詞：幾何直觀；解決問題；意識；經驗；本質

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）18-0279-02

《數學課程標準》（2011版）第一次將“幾何直觀”作為核心理念提出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”然而，在實際教學中不少學生在解決問題時往往不能恰當地借助幾何直觀，明晰數量關系。

如：東升小學六年級（02）班男孩人數比女孩人數多25%，女孩人數是全班人數的（ ）。

學生練習后，反饋：

生1：我沒辦法。

師：你是怎么想的？

生1：女孩人數是單位“1”。

師：你判斷得非常準確，有沒有辦法找出女孩人數和總人數的關系呢？

生1：（撓頭）：我沒辦法……

生2：我是畫圖，可是我畫不好……

師：我們可以把女孩人數看作單位“1”，男孩人數比女孩多25%，就是1+25%=125%，也就可以把男孩看作是1.25，……

生3：啊？人怎么可能1.25個？

……

很明顯，有部分學生利用幾何直觀解決問題的能力是極弱的，相信這樣的學生也不會是個例。我們絕不能簡單地將這種現象歸因為學生的基礎問題、智力問題，仔細分析我們會發現三位學生存在以下問題：

1.“沒辦法”這類學生，問題在于利用幾何直觀解決問題的意識較弱。借助線段圖等幾何直觀方式有助于學生對知識的理解，我們在教學中也經常使用幾何直觀進行分析，為什么我們的孩子不習慣運用？這是因為對于這些學生來說，他們沒有體會到幾何直觀的優勢所在，導致了他們利用幾何直觀解決問題的意識較弱。

2.“畫不好”這類學生，問題在于利用幾何直觀解決問題的經驗積累不足。反觀我們的教學，可以發現許多教師只是偶爾呈現幾何直觀的相關材料，學生能即時產生有效結果就草草了事，重結果而輕過程。很多時候我們很少會有意識地選擇一些學習材料，供學生經常性地利用幾何直觀解決問題，造成經驗的積累不足，長此以往，學生在解決實際問題時自然就不會用直觀的圖形語言來分析問題。

3.“人怎么可能1.25個”這類學生，問題在于對幾何直觀圖背后的數學本質理解不到位。由于對分數意義的理解不深刻，無法順利提取相關的儲備知識，對數的認識還不能從具體數量過渡到對關系的考慮上，所以對這類沒有具體數量的計算顯得力不從心。

冰凍三尺非一日之寒。我們的日常教學出現了問題，就得在日常教學中去解決，針對幾何直觀意識薄弱、經驗積累不足、本質理解不到位，我們可以從以下三方面加以改進。

一、學為中心，培養意識

眾所周知，只有學生的學與教師的教相統一的教學活動才是有效的教學，學為中心，以學定教，教師的教只有緊緊地貼合學生的學，方能有效。在解決問題的過程中，很多學生看到問題后往往會感到無從下手，不知道應該從何去分析。在這種迫切的需要與深度的困惑下，教師適時介入，更能讓學生深切體會幾何直觀對理解和分析問題的價值，從而培養他們借助幾何直觀理解和分析問題的意識。例如一位老師在執教《小數乘法》時出了一道出租車的計價問題：

鐘老師從八都鎮打車到學校25公里，總共要付多少元？（龍泉市出租車收費標準：起步里程3公里，起步價8.00元。3公里后，每公里1.50元。超出15公里以上部分每公里1.80元）

教師讓學生在小組內進行交流，理解收費標準。然后集體反饋得出：起步里程3公里，起步價8.00元就是0～3公里（包括3公里），無論走多少，都收10元錢。3公里～15公里（超出3公里，包括15公里）這一部分路程，每公里收費是1.50元。15公里以上（不包括15公里），每公里收費是1.80元。要分三種情況考慮。

師：看了這道題，你有什么感覺？

生：太麻煩了，都記不住！

師：那怎么辦呢？怎么看著就不那么麻煩了？ 生（異口同聲）：畫圖。

經過操作很多學生繪制了示意圖。（基本上分為三段并標上了各段的單價）

二、積累經驗，提升能力

史寧中教授指出：“直觀并不是一成不變的，隨著經驗的積累其功能可能逐漸加強。”由此，積累幾何活動經驗就成為數學教學的一個更加直接的目標和追求。擁有豐富的幾何活動經驗并且善于思考的人，他的幾何直觀更有可能達到更高的水平。但我們要明白，“幾何直觀”并不僅僅與“幾何”相關，在數與代數、統計與概率、綜合與實踐活動領域都應該抓住契機，有意識地滲透在日常的教學環節中。比如，在《有余數除法》的教學中，為了讓學生進一步理解余數的含義，一位老師采取了以下環節：

師：請大家觀察這種擺法，15盆花，每組擺6盆，擺了2組還余3盆，現在假如再增加1盆花，16盆，擺的結果會怎樣呢？

請大家閉眼想一想，然后畫一畫，看看想的和畫的是否一樣，并用式子表示。

反饋：

16÷6=2（組）……4（盆）。

師：再增加2盆呢？ 生：18÷6=3（組） 師：為什么不是2（組）……6（盆）？

你看圖上明明是2組余6盆么。

生：因為這個6盆又可以擺成一組了。

教師將6盆圈為1組。

師：猜猜陳老師接下來打算擺多少盆花？

生：19盆，每組擺6盆，擺成3組還余1盆。

師：（出示一片花）現在有這么多的花，每組擺6盆，假如擺到最后花會多出來，可能會多出幾盆呢？

生1：可能會多30盆。

生2：不對的。30盆的話，那還可以再擺成好幾組了。

生3：可能會多2盆。

生4：可能會是1盆、2盆、3盆、4盆、5盆。

師：6盆為什么不行？

生：6盆就可以再擺一組。……

上面這個環節，通過直觀圖的操作豐富了學生的活動經驗，使幾何直觀真正成為學生參與數學活動、形成數學知識的有效中介，讓學生更好地理解了余數和除數間的關系。由此可見，幾何直觀經驗的積累藏身于各個領域，應抓住契機，盡可能增加學生幾何直觀經驗的積累，從而提升學生的能力。

三、理解至上，直擊本質

教師不應只局限于形式化的表達，應強調對數學本質的認識，否則會將有血有肉的數學思維活動淹沒在“枯燥的形式化海洋里”。如：有的年輕教師在執教乘法分配律這一內容時，受功利性驅使，而不顧學生已有的知識經驗，“引導”學生寫出幾個等式，而后組織學生發現規律、近而概括出乘法分配律。

教學片斷：

師：同一個問題我們常常可以用不同的方法來解決，咱們來試一試。

課件出示：乒乓社團的李老師到商店購買一些乒乓球，他打算買這樣白色的6筒，黃色的4筒，每筒為8只裝。李老師一共購買了多少只乒乓球？

（學生嘗試解決）。

師：誰來介紹你的解決方法。

生：（6+4）×8和6×8+4×8。（教師板書）

師：說說你是怎么想的？

生1：6×8+4×8就是先算白色的要買多少只再加上黃色的要買多少只，也就是算6個8加上4個8。

師：教師課件出示兩種圖（第一種6個8白色加4個8黃色，分開；第二種10個8）

師：這兩個算式雖然不一樣，但都在算10個8是多少，所以結果是一樣的，看來這兩種方法都能解決這一問題，在數學上，我們就可以用“=”把相等的兩個算式連起來，變成一個等式。

板書：10個8 6個8 4個8 （6+4）×8=6×8+4×8 ……

師：同學們，黑板上出現了這么多有趣的等式，仔細觀察，你們覺得這樣的等式還有嗎？誰來說一說。

生舉例：（11+9）×8=11×8+9×8（45+55）×6=45×6+55×6

25×（40+4）=25×40+25×4 ……

師：這樣的等式說得完嗎？

生：說不完。

師：你能不能找到一個萬能等式，能夠代表所有的像這樣的等式？

生1：（★+●）×■=★×■+●×■。

生2：（你+我）×他=你×他+我×他。

……

師：同學們真了不起能用圖形、文字來表示這樣的等式，在數學中，我們通常用字母來表示這樣的規律：（a+b）×c=a×c+b×c，它叫作乘法分配律。

總之，幾何直觀在解決問題教學中有著不可替代的作用，它可以讓我們的學生打開思維的大門，開啟智慧的寶庫，突破理解的難點，培養理性的品質。只有讓學生在圖形和問題之間自由翱翔，才能幫助學生實現對數學內容的深入理解。加強利用幾何直觀解決問題的意識，增加幾何直觀解決問題的經驗積累，注重幾何直觀背后的數學本質理解，提高學生解決問題的能力，是一個任重而道遠的過程。