新課標(biāo)理念下基于問題的數(shù)學(xué)有效思維的策略

陳金宜

“有效的數(shù)學(xué)課堂”是我們教師教學(xué)工作中永恒的追求.如何在新課標(biāo)理念的指導(dǎo)下，著力提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性，是目前新課改的目標(biāo)之一.數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，使學(xué)生學(xué)會“數(shù)學(xué)地”思維.而問題解決是數(shù)學(xué)課堂的核心，新課程下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要基于的“問題情境”.數(shù)學(xué)問題作為培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的有效載體，發(fā)揮著重要的作用.新課程理念更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)問題中思維的有效性，本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐嘗試在這方面談幾點(diǎn)粗淺認(rèn)識.

一、基于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)與新課程理念下的對數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的認(rèn)識比較

無論是在傳統(tǒng)教學(xué)還是在新課程改革的情況下，數(shù)學(xué)思維力始終是數(shù)學(xué)教育中最傳統(tǒng)、最重要的特征.我們所關(guān)注的是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)主要傾向于訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維能力，包括抽象、概括、演繹、推理等.而新課程數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，一方面要繼續(xù)傳承過去優(yōu)良做法，此外還應(yīng)不斷拓展思維訓(xùn)練內(nèi)容，包括參與思維活動的其他成分，如觀察、分析、比較、猜測和直覺等.在課堂教學(xué)中教師精心設(shè)計數(shù)學(xué)問題使學(xué)生個體思維活動外顯化，引導(dǎo)他們積極參與各種思維活動，大膽暴露自己的思維過程，敢于面對錯誤思維，善于糾錯，樂于和他人交流思維成果.他們在數(shù)學(xué)活動過程中鍛煉了思維能力，形成了良好的思維品質(zhì)、思維習(xí)慣.

二、新理念下的數(shù)學(xué)問題之于數(shù)學(xué)思維的重要性認(rèn)識

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)問題是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的有效載體.

新課程教學(xué)更加重視數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)現(xiàn)過程.根據(jù)學(xué)生年齡特征和本著學(xué)生可接受的原則，新教材的編排不可能十分系統(tǒng)完整，在教材中許多概念的形成，公式、定理等的發(fā)現(xiàn)過程往往沒有詳細(xì)完整給出，只有完整的結(jié)論，這就要求教師在課前深研教材、精心設(shè)計、重組教學(xué)內(nèi)容，讓啟發(fā)式教學(xué)進(jìn)入數(shù)學(xué)教學(xué)活動，自覺滲透數(shù)學(xué)思想方法，克服學(xué)生的思維惰性，較多展示知識的發(fā)生發(fā)展過程，充分暴露知識背景，精心為學(xué)生設(shè)計問題情境，教給學(xué)生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的方法，啟發(fā)引導(dǎo)他們?nèi)ニ伎?、?chuàng)造，讓他們在問題中學(xué)習(xí)，在問題發(fā)現(xiàn)中獲取，在解題成功中體驗(yàn).具體地說，可利用概念、公式、定理的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維的概括性和創(chuàng)造性；利用知識應(yīng)用的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維連續(xù)性和廣闊性；利用典型問題的多解和多變，培養(yǎng)思維的敏捷性和深刻性；利用學(xué)習(xí)中解題經(jīng)驗(yàn)的積累和問題的反思，培養(yǎng)學(xué)生思維的方向性和批判性.這些都明示了數(shù)學(xué)問題是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的有效載體.

三、問題設(shè)計更關(guān)注有效性

1.如何理解“生活中的數(shù)學(xué)”這一理念

不少教師認(rèn)為情境就是要把數(shù)學(xué)問題生活化在教學(xué)中，很多公開課上教師都很注重設(shè)計出豐富的問題情境，大多以來源于生活的實(shí)例作為問題情境，但其中有些問題卻有些形式化，缺乏有效性，在很大程度上干擾了對主要內(nèi)容的探究，偏離主題.設(shè)計數(shù)學(xué)問題的目的是為學(xué)生學(xué)習(xí)架設(shè)“腳手架”，幫助學(xué)生進(jìn)行有意義的建構(gòu)，最終應(yīng)該是促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)更有效的達(dá)成，提高教學(xué)效率.把情境設(shè)計等同于情境的生活化，過分追求數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，會淡化數(shù)學(xué).讓情境生活化的思想框住自己的手腳，大量設(shè)計生活化的情境，游離于數(shù)學(xué)思維之外，與有效教學(xué)的理念相背.

2.如何恰當(dāng)利用信息技術(shù)設(shè)計問題

隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，學(xué)校硬件設(shè)施的不斷改善，信息技術(shù)正在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中越來越多地發(fā)揮重要作用，其強(qiáng)大的動畫、色彩、繪圖等功能在創(chuàng)設(shè)情境中更受到教師的青睞.利用信息技術(shù)的目的是降低學(xué)生理解問題的難度，化抽象為直觀，以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握.有些課堂往往只關(guān)注情境的生動性，多媒體呈現(xiàn)的“異彩紛呈”，卻忽略了對學(xué)生思維的滲透，使得問題與思維缺乏適度整合.

四、借助數(shù)學(xué)問題形成數(shù)學(xué)有效思維的策略

1.問題設(shè)計利于認(rèn)知數(shù)學(xué)概念，形成直觀思維

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)對于直觀思維的培養(yǎng)有著重要的促進(jìn)作用.如在絕對值教學(xué)中，對

|a|=a（a>0），

0（a=0），

-a（a<0）的得出程序是：先由具體數(shù)字絕對值開始，讓學(xué)生具體形象地感知，如計算|+8|=？|0|=？|-5|=？等例子，總結(jié)出語言文字規(guī)律：“正數(shù)的絕對值是正數(shù)，零的絕對值是零，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).”接著引導(dǎo)學(xué)生分析關(guān)鍵點(diǎn)：絕對值符號里面的數(shù)是什么數(shù)？如果是字母，字母表示什么數(shù)？這樣，便可以抽象概括出上述符號表達(dá)式.接著進(jìn)行對比具體計算化簡.例如計算：|-3|+|+5|= 8 ； |-3|-|-2|= 1 ；-1[]2×1[]3= 1[]6 ；|-4|÷|-2|= 2 .對比上題，化簡下式：若12.問題設(shè)計利于數(shù)學(xué)應(yīng)用，學(xué)會思維

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，使學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、發(fā)展數(shù)學(xué)是當(dāng)前我國教育改革的基本思路之一.現(xiàn)實(shí)的生活材料，能激發(fā)學(xué)生研究問題的興趣，產(chǎn)生親切感，認(rèn)識現(xiàn)實(shí)生活中隱藏豐富的數(shù)學(xué)問題，有利于學(xué)生更多地關(guān)注社會，對生活現(xiàn)象提出數(shù)學(xué)問題，成為有數(shù)學(xué)頭腦的人，學(xué)會了思維.有這樣一道有關(guān)增長率的問題：

問題描述：近幾年，我國大部分地區(qū)出現(xiàn)了浮塵揚(yáng)沙和暴風(fēng)天氣，有關(guān)專家指出，這是由于亂伐樹木，使生態(tài)環(huán)境遭到嚴(yán)重破壞所致.因此，保護(hù)森林資源已成為目前一項(xiàng)十分緊迫的任務(wù).某地區(qū)原有森林面積50萬公頃，因人為毀林，到1999年底森林面積已減少了10%，為此，當(dāng)?shù)卣疀Q定從2000年開始大力開展植樹造林，計劃在2001年底使森林面積增加到64.8萬公頃.（1）求該地區(qū)1999 年底森林面積為多少萬公頃？（2）求該地區(qū)1999年到2001年造林面積平均增長率是多少？學(xué)生通過對這樣的應(yīng)用題的解決，不僅獲得了知識和方法，更能引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會生活，提高學(xué)生的思維素質(zhì).

3.問題設(shè)計利于開展數(shù)學(xué)探究活動，激發(fā)思維

數(shù)學(xué)探究活動是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂，在問題的探索過程中，需要學(xué)生心智、操作、情感等多方面技能的支持以及多感官的參與.學(xué)生正是在探究實(shí)踐中激發(fā)了思維.

問題描述：在七年級數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材（江蘇科學(xué)技術(shù)出版社）第七章平面的認(rèn)識（二）的學(xué)習(xí)中，我們知道一個多邊形每減少一條邊，其內(nèi)角和就減少180°.由此聯(lián)想到，如果把一個多邊形剪去（減少）一個角，那么它的內(nèi)角和有什么變化呢？

在問題的討論中，開始許多同學(xué)由圖1得出結(jié)論：剪去一個角，邊數(shù)減少1，因此內(nèi)角和減少180°.也有部分同學(xué)認(rèn)為這個結(jié)論不夠全面，于是大家便拿出剪刀以六邊形為例進(jìn)行剪拼，經(jīng)過反復(fù)操作、實(shí)驗(yàn)與比較，發(fā)現(xiàn)有三種情況：

第一種情況：如圖1，沿相鄰兩邊端點(diǎn)的對角線剪下，這時邊數(shù)減少1，內(nèi)角和減少（n-2）180°-（n-3）180°=180°.

第二種情況：如圖2，沿一個頂點(diǎn)和鄰邊上任一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）剪下，這時多邊形形狀雖然發(fā)生了變化，但邊數(shù)不變，內(nèi)角和不變.

第三種情況：如圖3，沿相鄰兩邊上的兩點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）剪下，這時多邊形的邊數(shù)增加1，內(nèi)角和增加了（n-1）180°-（n-2）180°=180°.

以上三種情況是不是對任何多邊形都成立呢？同學(xué)們繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，三角形具有特殊性——它只有兩種情況（圖4和圖5）即內(nèi)角和不變（如圖4）或內(nèi)角和為360°——增加180°（如圖5）.

綜上，對于任意n多邊形，當(dāng)n>3時因?yàn)榧羧ヒ粋€內(nèi)角有3種不同的方式，所以有3種相應(yīng)的結(jié)果.

4.問題設(shè)計利于滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)問題意識

問題意識是指問題成為學(xué)生感知和思維的對象，從而在學(xué)生心里造成一種懸而未決但又必須解決的求知狀態(tài).而培養(yǎng)問題意識的一個重要方法就是設(shè)計滲透數(shù)學(xué)思想方法的問題.

問題描述：在九年級“數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課之思想方法的復(fù)習(xí)”中使用了下題：

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，O是BA上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D，AD=2，AE=l，設(shè)P是線段BA上的動點(diǎn)（P與A、B不重合），BP=x﹒

（1）求BE的長；

（2）求x為何值時，以P，A，D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；

（3）在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，PD與△PBC的外接圓能否相切？若能，請證明；若不能，請說明理由.

（4）請再提出一個與動點(diǎn)P有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并直接寫出答案.

本題是開放題，特別是第（4）小題，學(xué)生思路廣闊，其中一種較為典型的回答是：提出的問題為當(dāng)x為何值時，以P，D，A為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？給出的答案為x=32.這種回答得到了很多同學(xué)的認(rèn)可.但很快就有學(xué)生產(chǎn)生了質(zhì)疑：老師，當(dāng)x為何值時，PD⊥AC？那么回答就不用討論了吧？……

顯然，學(xué)生在這個數(shù)學(xué)空間里生成了問題，自覺形成了問題意識，積極主動地投入到問題探究中.教師注意等待，留給學(xué)生充分的思考、探究的時間，允許學(xué)生進(jìn)行錯誤嘗試，再做出適當(dāng)?shù)胤答?，對有問題意識的學(xué)生進(jìn)行肯定和鼓勵，以此強(qiáng)化學(xué)生的問題意識.在此過程中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到了有效的優(yōu)化.

經(jīng)常性地進(jìn)行教學(xué)有效性反思.首先要轉(zhuǎn)變觀念，掌握恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略和技巧；其次，應(yīng)結(jié)合學(xué)生的思維“最近發(fā)展區(qū)”有效設(shè)計出分層問題，讓“人人學(xué)到有用的數(shù)學(xué)”，得到適度的發(fā)展.在具體的教學(xué)活動中，要結(jié)合實(shí)際情況在課堂上展示合理的數(shù)學(xué)問題，以形成有效的數(shù)學(xué)思維，學(xué)生在思維中不斷豐富完善優(yōu)化問題，積累數(shù)學(xué)素材.

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