淺談“化歸與轉化思想”在高中數學解題中的應用

詹依婷

【摘 要】在高中數學的學習過程中，總會出現各種各樣的數學問題，掌握解題方法從而高效的解題是數學學習的目標，但是數學習題是無止境的。因此我們高中生只有把握精準的數學解題方法才能夠解決不同的多樣的數學問題。在高中數學的學習階段，我們必須掌握化歸轉化思想，例如數形結合、等價代換等，熟練運用化歸思想解題是高中階段數學學習的良好途徑。

【關鍵詞】高中數學；解題；轉化與化歸

化歸和轉化思想是高中階段數學解題的精髓思想。在我們的高中學習中，數學課程具有起點較高、難度較大、課容量較大以及課時較緊張的特點，因此若是不能很好地掌握并運用化歸思想及轉化思想，很可能出現跟不上教師的課堂進度的狀況，因此我們要更加注重數學思想方法的學習，以便提升自身的數學水平和解題能力。

1.轉化思想的解題運用

轉化思想在高中的數學中有著十分重要的地位。所謂轉化，就是把問題元素從一種形式轉移到另一種形式的過程，可以是圖文轉化，也可以是向符號的轉化，我們在高中數學的解題過程中會十分頻繁的用到轉化方法。例如，在三角函數問題中，我們可以把一些復雜的陌生的函數關系轉化為更加簡單地熟悉的三角函數。例如，若直線3a+4b+z=0與圓的參數方程，x=cosα+1，y=sinα-2沒有交點，則直線方程中實數z的取值范圍是多少？一般的思想需要通過大量的計算，并且在計算過程中還很容易出現失誤，但是如果運用代入的思想，可以將一個方程帶入另一個方程，從而得到3cosα+4sinα=-z+5，并且題目中又有已知條件，兩個曲線并沒有交點，通過計算可以得到4sinα+3cosα的絕對值≤5，因此通過解不等式很容易可以算出z的取值為大于10或小于0。除了這樣的簡單帶入思想之外，還要注意有關三角函數的轉化公式，例如誘導公式、兩角和差公式、倍角公式、半角公式，和差化積公式、積化和差公式。

2.化歸思想的解題運用

高中數學中運用化歸思想，可以將處于靜態關系的兩個數學量通過構造函數等方法轉變為兩個擁有動態關系的數學量，在運用函數的特性來解決問題，這樣的方式在高中數學的解題思路中經常會用到。例如，在學習指數函數對數函數時常常會遇到比大小的問題，比較以1/2為底3的對數和以1/2為底1/5的對數。這雖然是一道比較基礎的練習題，但在解題過程中也運用到了動靜轉化的函數思想。這兩個參與比較的數值都屬于靜態數值，因此要通過構造函數創造出動態的關系，我們可以構造一個為以1/2為底x的對數的函數，將以1/2為底3的對數和以1/2為底1/5的對數看做成同一自變量的不同取值，這樣就能夠做到動靜轉化。利用函數的單調性可以很容易得到這個構造出的函數在（0，+∞）的區間上為減函數，因此可以很容易的就得出答案，以1/2為底3的對數小于以1/2為底1/5的對數。

除了對函數的解題應用之外，我們還可以通過劃歸思想將不等式轉化為等式。不等式內容屬于高中數學學習內容的基礎，在考試過程中常常結合一些函數方程作為考點，因此這就是一道需要運用豐富數學思想和的綜合性題目。例如已知不等式2≥ax-4≥-2的解集是x∈[1，3]，那么實數a的取值范圍應該是多少？在遇到不等式的問題，通常先要采取將端點值代入方程等號成立的方法，很顯然，1和3是方程2=ax-4和ax-4=-2的根，將這兩個根帶入可以得到兩個方程：2=3x-4、x-4=-2，很容易就能得到k=2的結論。因此針對不等式的解集問題，我們僅僅通過將不等式轉為等式就能夠得到清晰的解題思路，從而順利的解決問題。

再比如，等差數列的解題過程中也可以運用化歸思想。數列一直是高考的必考項目，因此在學習過程中必須要格外重視，尤其是掌握好等差數列、等比數列的基礎知識，通常題目都要求接觸數列的通項或是前n項和，這是這類題目考察的重點知識。我們可以運用疊加方法解決，例如，已知數列b1=1，bn-b（n-1）=n-1，求通項bn。這是一道較為簡單的數列題目，通過疊加法可以得到，b2-b1=1，b3-b2=2，b4-b3=3，……bn-b（n-1）=n-1，將這些式子相加可以得到bn-b1=1+2+3+……+n-1，從而得到bn=（n2-n+2）/2。這種思路是通過疊加法將等式的一邊進行錯項消除的計算，從而方便另外一邊更快捷的求和。

在學習過程中，學生們要充分利用好課本，課本不僅僅是學習知識的主要源頭，同時還可以提高自身的能力，如語言表達能力、自學能力、閱讀能力等等，這些都是高效學習數學的利器，因此應該對課本進行深入分析，從課本教學知識中體會化歸思想和轉化思想并加以運用。在課堂的學習過程必須要加強應用相關數學思想的變式練習，可以通過習題更好的理解化歸思想和轉化思想，將未知領域的數學問題通過轉化變為自己掌握的學習知識，通過這些已知問題可以拓寬數學習題的更深層次探討，多掌握一種解題方法，通過合理的結合可以得到更多的解題思路，增強變式練習可以讓化歸思路更加清晰明確，指出更加明確的化歸方向，因此在課堂學習的過程中增加合理的變式練習是十分有必要的。

化歸思想和轉化思想存在于每一道數學習題中，可以將一些實際問題轉化為數學知識，將復雜的問題簡單化，將綜合問題單一化，將陌生的問題熟悉化。在高中數學的學習過程中，要將這兩種數學思想滲透到日常學習中，真正把握內涵做到觸類旁通舉一反三，提高自身的數學學習能力和解題水平。

【參考文獻】

[1]安寶琴.淺談“化歸與轉化思想”在高中數學解題中的應用[J].數學教學研究，2013.3（4）：93-94

[2]曹太忠.淺談轉化與化歸的數學思想方法在高考數學中的應用[J].資中小企業管理，2014.31（2）：156-158