對稱性在曲面積分計算中的應用

胡維付　彭正虎　趙大方

摘 要 本文通過舉例簡要說明對稱性在曲面積分計算中的應用。在解題中適當使用， 能達到“事半功倍”的效果。

關鍵詞 曲面積分 輪換對稱性 奇對稱 偶對稱

中圖分類號：GO172.2 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.05.022

Abstract This paper introduces several common methods of how to sue symmetry to simplify the calculation of integral process in Surface Integral， these applications are illustrated by typical examples.

Key words surface integral； rotation symmetry； odd symmetry； even symmetry

在計算曲面積分的運算過程中，通常是將曲面積分轉化為重積分，再利用坐標變換來進行，有時候這一過程會很復雜。如果運用對稱性，則可簡化曲面積分的計算，本文將通過舉例進行比較來說明對稱性在曲面積分運算中的優勢。

1第一類曲面積分中的對稱性應用

定理1：設 （）在分片光滑的曲面上連續，若關于面對稱，則

其中為在平面上方的部分；若關于平面（或平面）對稱， （）關于（或）為奇函數或偶函數也有類似結論。

定理2：若積分曲面關于具有輪換對稱性，則

（） = （） = （）

= [ （） + （） + （）]

定理3：設有光滑曲面： = （），（）。 （）為上的連續函數，則 （） = （（）） 。

例1：計算（ + + ），其中為球面 + + = 被平面 = （0<<）所截的頂部。

解：方法一（利用定理1）：

已知曲面方程為 = ，且曲面關于平面和平面對稱，則： = = 0

定義域為圓域 = {（）∣ + ≤}，由 = ，則：（ + + ） = = · = （）

方法二（利用定理3）：

曲面的方程為 = ，定義域為圓域{（）∣ + ≤}，又由 = ，則：

（ + + ） = （ + + ）

再利用極坐標變換，，且在極坐標變換下，平面上有界閉域與平面上區域HU對應，則：

例2：計算曲面積分，其中是球面 + + = 。

解：方法一（利用定理2）：

積分曲面關于具有輪換性，所以： = = ，從而 = （ + + ） = = ·4 =

方法二（利用定理3）：

= （），定義域為圓域： + ≤，又由于 = ，關于平面對稱，則：

= 2（）

= 2· =

= · =

2第二類曲面積分中的對稱性應用

利用對稱性計算第二類曲面積分同樣需要注意投影元素的符號。現以曲面積分（ + + ）為例來討論。當曲面指定側上動點的法線與軸正向成銳角（鈍角）時，面積元素在面上的投影為正（負）。一般地，有如下定理：

定理4：設分片光滑的有向曲面關于平面對稱，在平面上方部分記為（方程為 = （），（）），下方部分記為，又設 （）在上連續，則：

若關于平面（或平面）對稱， （）關于（或）為奇函數或偶函數有類似的結論。

定理5：若積分曲面關于具有輪換對稱性，則：

（） = （） = （）

= [ （）+ （）+ （）]

定理6：設是定義在光滑曲面： = （），（）上的連續函數，則的上側為正側（這時的法線方向與軸正向成銳角），則有： （） = （（））

定理7：設、、是定義在光滑曲面： = （），（），上的連續函數，以的上側為正側，

（） + （） +（）

= [（（））（）+ （（））（）+ （（））]

例3：計算曲面積分，其中是球面 + + = 1在≥0，≥0部分并取球面外側。

解：方法一（利用定理4）：

曲面在第一、五卦限部分的方程分別為

： = ，： = 。

因為曲面關于平面對稱，定義域為{（）∣ + ≤1， ≥0， ≥0}，由定理4，則：

= 2 = 2

= 2 =

方法二（利用定理6）：

曲面在第一、五卦限部分的方程分別為

： = ，： =

它們在平面上的投影區域都是單位圓在第一象限部分，即{（）∣ + ≤1， ≥0， ≥0}，依題意，積分是沿的上側和的下側進行，所以：

= +

= （）

= 2

= 2 =

例4：計算曲面積分 + + ，其中是球面 + + = ，并取外側為正向。

解：方法一（利用定理5）：

球面 + + = 關于具有輪換對稱性，所以：

= =

計算應分別考慮前半球面及后半球面上的曲面積分，的方程為 = ，它在平面上的投影域為為圓域{（）∣ + ≤}，用表示前半球面的外側，的方程為 = ，它在平面上的投影域為為圓域{（）∣ + ≤}，用表示后半球面的外側，則由第二型曲面積分的性質，則有：

= + = = 0

則： + + = 3 = 0

方法二（利用定理7）：

由題意可知： + + = （（） + （） + ） = （ + + ）。

再利用極坐標變換，

且在極坐標變換下，平面上有界閉域與平面上區域HU對應，則：

而： + + = （（） + （） + ） =

所以： + + = + + + + + = 0

參考文獻

[1] 陳文燈，袁一圃，俞元洪.高等數學復習指導[M].北京：北京理工大學出版社，1992.

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