對稱性在曲面積分計算中的應(yīng)用

胡維付　彭正虎　趙大方

摘 要 本文通過舉例簡要說明對稱性在曲面積分計算中的應(yīng)用。在解題中適當(dāng)使用， 能達到“事半功倍”的效果。

關(guān)鍵詞 曲面積分 輪換對稱性 奇對稱 偶對稱

中圖分類號：GO172.2 文獻標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.05.022

Abstract This paper introduces several common methods of how to sue symmetry to simplify the calculation of integral process in Surface Integral， these applications are illustrated by typical examples.

Key words surface integral； rotation symmetry； odd symmetry； even symmetry

在計算曲面積分的運算過程中，通常是將曲面積分轉(zhuǎn)化為重積分，再利用坐標(biāo)變換來進行，有時候這一過程會很復(fù)雜。如果運用對稱性，則可簡化曲面積分的計算，本文將通過舉例進行比較來說明對稱性在曲面積分運算中的優(yōu)勢。

1第一類曲面積分中的對稱性應(yīng)用

定理1：設(shè) （）在分片光滑的曲面上連續(xù)，若關(guān)于面對稱，則

其中為在平面上方的部分；若關(guān)于平面（或平面）對稱， （）關(guān)于（或）為奇函數(shù)或偶函數(shù)也有類似結(jié)論。

定理2：若積分曲面關(guān)于具有輪換對稱性，則

（） = （） = （）

= [ （） + （） + （）]

定理3：設(shè)有光滑曲面： = （），（）。 （）為上的連續(xù)函數(shù)，則 （） = （（）） 。

例1：計算（ + + ），其中為球面 + + = 被平面 = （0<<）所截的頂部。

解：方法一（利用定理1）：

已知曲面方程為 = ，且曲面關(guān)于平面和平面對稱，則： = = 0

定義域為圓域 = {（）∣ + ≤}，由 = ，則：（ + + ） = = · = （）

方法二（利用定理3）：

曲面的方程為 = ，定義域為圓域{（）∣ + ≤}，又由 = ，則：

（ + + ） = （ + + ）

再利用極坐標(biāo)變換，，且在極坐標(biāo)變換下，平面上有界閉域與平面上區(qū)域HU對應(yīng)，則：

例2：計算曲面積分，其中是球面 + + = 。

解：方法一（利用定理2）：

積分曲面關(guān)于具有輪換性，所以： = = ，從而 = （ + + ） = = ·4 =

方法二（利用定理3）：

= （），定義域為圓域： + ≤，又由于 = ，關(guān)于平面對稱，則：

= 2（）

= 2· =

= · =

2第二類曲面積分中的對稱性應(yīng)用

利用對稱性計算第二類曲面積分同樣需要注意投影元素的符號。現(xiàn)以曲面積分（ + + ）為例來討論。當(dāng)曲面指定側(cè)上動點的法線與軸正向成銳角（鈍角）時，面積元素在面上的投影為正（負）。一般地，有如下定理：

定理4：設(shè)分片光滑的有向曲面關(guān)于平面對稱，在平面上方部分記為（方程為 = （），（）），下方部分記為，又設(shè) （）在上連續(xù)，則：

若關(guān)于平面（或平面）對稱， （）關(guān)于（或）為奇函數(shù)或偶函數(shù)有類似的結(jié)論。

定理5：若積分曲面關(guān)于具有輪換對稱性，則：

（） = （） = （）

= [ （）+ （）+ （）]

定理6：設(shè)是定義在光滑曲面： = （），（）上的連續(xù)函數(shù)，則的上側(cè)為正側(cè)（這時的法線方向與軸正向成銳角），則有： （） = （（））

定理7：設(shè)、、是定義在光滑曲面： = （），（），上的連續(xù)函數(shù)，以的上側(cè)為正側(cè)，

（） + （） +（）

= [（（））（）+ （（））（）+ （（））]

例3：計算曲面積分，其中是球面 + + = 1在≥0，≥0部分并取球面外側(cè)。

解：方法一（利用定理4）：

曲面在第一、五卦限部分的方程分別為

： = ，： = 。

因為曲面關(guān)于平面對稱，定義域為{（）∣ + ≤1， ≥0， ≥0}，由定理4，則：

= 2 = 2

= 2 =

方法二（利用定理6）：

曲面在第一、五卦限部分的方程分別為

： = ，： =

它們在平面上的投影區(qū)域都是單位圓在第一象限部分，即{（）∣ + ≤1， ≥0， ≥0}，依題意，積分是沿的上側(cè)和的下側(cè)進行，所以：

= +

= （）

= 2

= 2 =

例4：計算曲面積分 + + ，其中是球面 + + = ，并取外側(cè)為正向。

解：方法一（利用定理5）：

球面 + + = 關(guān)于具有輪換對稱性，所以：

= =

計算應(yīng)分別考慮前半球面及后半球面上的曲面積分，的方程為 = ，它在平面上的投影域為為圓域{（）∣ + ≤}，用表示前半球面的外側(cè)，的方程為 = ，它在平面上的投影域為為圓域{（）∣ + ≤}，用表示后半球面的外側(cè)，則由第二型曲面積分的性質(zhì)，則有：

= + = = 0

則： + + = 3 = 0

方法二（利用定理7）：

由題意可知： + + = （（） + （） + ） = （ + + ）。

再利用極坐標(biāo)變換，

且在極坐標(biāo)變換下，平面上有界閉域與平面上區(qū)域HU對應(yīng)，則：

而： + + = （（） + （） + ） =

所以： + + = + + + + + = 0

參考文獻

[1] 陳文燈，袁一圃，俞元洪.高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，1992.

[2] 吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第一版）[M].北京：人民教育出版社，1979.

[3] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010：293-304.

[4] 冀利英.對稱性在曲面積分計算中的幾個結(jié)論[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2009.