以應用性為導向的貝葉斯公式教學的一種新設計

劉雙花

摘 要 文章以學生熟悉的課堂互動為例，引入貝葉斯公式，并圖解分析貝葉斯公式.通過典型案例教學，幫助學生更加深入地理解貝葉斯公式。

關鍵詞 貝葉斯公式 應用 設計

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.05.056

Abstract Taking students' class interaction as an example， this paper introduces and analyzes the Bayesian formula with diagram. Through the typical teaching cases， it might help students with better understanding of the formula.

Key words Bayesian formula； application； design

貝葉斯公式作為概率論中的重要公式，實際中應用非常廣泛。貝葉斯公式既涉及到了全概率公式，又涉及到了條件概率，是教學的重點，又是教學的難點。本文利用問題驅動式、啟發式等教學方法，遵循從舊知—新知—應用—能力提升的學習認識規律，引導學生積極思考，幫助學生深入地理解和掌握貝葉斯公式。

1 以“趣味性”為導向，引入貝葉斯公式

首先是引課環節，采用學生熟悉的課堂生活為故事情境，靈活運用現代教育教學技術，采用圖文并茂的方式給出下列的情境對話。某天老師講完一個重要的知識點，做一個課堂檢測，叫小明來做一道四個選項的單項選擇題。

教師：小明，你來做下第一題吧！

小明：嗯，選A。

教師：（呃，不會是猜對的吧？）嗯，很好，再來做下第二題！

小明：這個選B。

教師：（應該是掌握了吧?。┼?，非常好！

接著提出問題：那么，我們該如何解釋，老師態度逐步轉變呢？

首先作個簡單的知識回顧：

條件概率①：設是兩事件，且（）>0，稱（∣） = 為事件發生的條件下事件發生的條件概率。

全概率公式②：設實驗的樣本空間為%R，為的事件，，，…，為樣本空間%R的一個劃分，且（）>0（ = 1，2，…），則（） = （∣）（）稱為全概率公式。

然后，把故事情境量化出來。把做對題看作事件，掌握知識點記作事件，則（∣） = 1， （∣） = 0.25。做之前老師估計，小明掌握該知識點的可能性是0.2，即（） = 0.2，相應地（） = 0.8。這時候小明能做對題的概率（） = （）（∣） + （） （∣） = 0.4，換句話說，老師起初估計，小明能做對的概率并不高，而事實上小明做對了，有點出乎意料，說明之前對他掌握知識點的估計偏低了，所以在小明做對后，重新來分析他掌握知識點的可能性，也就是計算（∣） = = 0.5，0.5比0.2高了，但從概率角度來講0.5也不算大，所以老師擔心小明是不是猜對的。考慮小明做第二題時，思路是一樣的，只是這時候掌握知識點的概率要看成0.5，即（） = 0.5，同樣計算一個條件概率

（∣） = = = 0.8，

這個概率值相對比較大了，所以老師認為小明掌握的可能性也是比較大的，從0.2到0.5，在到0.8，數據很直觀地反映了老師態度的轉變過程。

事實上，用來計算條件概率的式子就是貝葉斯公式。

2 以“知識性”為導向，闡述貝葉斯公式

設實驗的樣本空間為%R，為的事件，，，…，為樣本空間%R的一個劃分，且（）>0，（）>0（ = 1，2，…），則（∣） = ， （ = 1，2，…）稱為貝葉斯公式。

貝葉斯公式從形式上看，就是通過計算在事件發生的條件下各個原因發生的可能性大小。貝葉斯公式理解的難點在于公式的復雜性，下面借助圖示分析（圖1），直觀上揭示事件的內在關系，給出公式的證明過程，從舊知到新知，水到渠成。

要求（∣），可以直接通過條件概率得到（∣） = ，從圖1上知 = ，根據可列可加性得（∣） = ，分子、分母再用一次乘法，就得到貝葉斯公式了。

圖1 貝葉斯公式圖示

3 以“應用性”為導向，幫助學生深入理解貝葉斯公式

例1 （產品質量檢測） 有一批同型號的產品，已知其中一、二、三廠生產的分別占15%、80%、5%，又知這三個廠的產品次品率分別為2%、1%、3%?，F在從這批產品中隨機取一件產品，發現是次品，問該次品是由哪個廠家生產的可能性最大？

解：設所有產品構成樣本空間。用表示“取到一件次品”，用， = 1，2，3表示所取產品由第家廠生產，則，，是樣本空間的一個劃分，由題設可知：

（） = 0.15， （） = 0.8， （） = 0.05

（∣） = 0.02， （∣） = 0.01， （∣） = 0.03

由貝葉斯公式有：

（∣） = = = 0.24

同理可得：（∣） = 0.64， （∣） = 0.12，即次品來自二廠的可能性最大。

引導學生思考分析：二廠生產的次品率是最低的，為什么該次品來自二廠的可能性最大呢？因為在這批產品中，二廠生產的占了80%，這個比例不容忽視。

例2 趣味思考“一人傳虛，十人傳實”。③

模型建立：假如事件本身可信的概率為0.1，現有10個人，相互獨立，若每人說謊的概率為0.4，傳到第十個人時，認為事件可信度是否可以近似為1呢？

模型求解：第個人說事件可信記為， = 1，2，…，10，則

（） = 0.1， （） = 0.9，

（∣） = 0.6， （∣） = 0.4

根據貝葉斯公式，當第一個人說事件可信后，事件的可信度可修正為

（∣） =

= = 0.14

當第二個人說事件可信后，事件的可信度可修正為

（∣） =

= = 0.2

以此類推，當第十個人說事件可信后，的可信度可修正為0.86，也就是說明這十個人很有可能都說了真話，事件可信。在現實生活中，若說事件可信的人不是相互獨立的而是串通一氣的，眾口同聲，則會導致“謊話說得多了就變成了真理”的后果?！叭搜钥晌贰?，“眾口鑠金，積毀銷骨”等也是同樣的道理，所以要判斷眾人說的真假，關鍵要看評論的人們是否相互獨立，而且還要理智分析、擦亮眼睛。

貝葉斯公式應用的例子還有很多，比如伊索寓言中 “孩子和狼”的故事，可以建立誠信模型，④還有“臨床診斷問題”、“股票行情分析”等等。尋找一些與學生生活貼近的的例子，不僅可以激發學生的學習興趣，還能讓學生感到學有所用。

4 結束語

通過采用學生熟悉的課堂生活為故事情境，引入貝葉斯公式，解決問題的同時提煉學習重點，體現了教學知識源于生活的基本特點，體現了數學學習由舊知變形演繹得到新知的基本特點，體現生活常識與數學公式的關系。經多次教學實踐檢驗，將知識性和趣味性結合起來，科學地設置應用貝葉斯公式的題目，可以較好地提高教學效果。

注釋

①②韓明.概率論與數理統計[M].同濟大學出版社，2013.

③ 王君.貝葉斯應用教學的一種新設計[J].新疆師范大學學報（自然科學版），2011.30（4）.

④ 李春娥，王景艷.貝葉斯公式及其應用的教學研究[J].大學數學，2015.31（2）.