以應(yīng)用性為導(dǎo)向的貝葉斯公式教學(xué)的一種新設(shè)計(jì)

劉雙花

摘 要 文章以學(xué)生熟悉的課堂互動(dòng)為例，引入貝葉斯公式，并圖解分析貝葉斯公式.通過(guò)典型案例教學(xué)，幫助學(xué)生更加深入地理解貝葉斯公式。

關(guān)鍵詞 貝葉斯公式 應(yīng)用 設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.05.056

Abstract Taking students' class interaction as an example， this paper introduces and analyzes the Bayesian formula with diagram. Through the typical teaching cases， it might help students with better understanding of the formula.

Key words Bayesian formula； application； design

貝葉斯公式作為概率論中的重要公式，實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛。貝葉斯公式既涉及到了全概率公式，又涉及到了條件概率，是教學(xué)的重點(diǎn)，又是教學(xué)的難點(diǎn)。本文利用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式、啟發(fā)式等教學(xué)方法，遵循從舊知—新知—應(yīng)用—能力提升的學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，幫助學(xué)生深入地理解和掌握貝葉斯公式。

1 以“趣味性”為導(dǎo)向，引入貝葉斯公式

首先是引課環(huán)節(jié)，采用學(xué)生熟悉的課堂生活為故事情境，靈活運(yùn)用現(xiàn)代教育教學(xué)技術(shù)，采用圖文并茂的方式給出下列的情境對(duì)話。某天老師講完一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，做一個(gè)課堂檢測(cè)，叫小明來(lái)做一道四個(gè)選項(xiàng)的單項(xiàng)選擇題。

教師：小明，你來(lái)做下第一題吧！

小明：嗯，選A。

教師：（呃，不會(huì)是猜對(duì)的吧？）嗯，很好，再來(lái)做下第二題！

小明：這個(gè)選B。

教師：（應(yīng)該是掌握了吧?。┼?，非常好！

接著提出問(wèn)題：那么，我們?cè)撊绾谓忉?，老師態(tài)度逐步轉(zhuǎn)變呢？

首先作個(gè)簡(jiǎn)單的知識(shí)回顧：

條件概率①：設(shè)是兩事件，且（）>0，稱（∣） = 為事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率。

全概率公式②：設(shè)實(shí)驗(yàn)的樣本空間為%R，為的事件，，，…，為樣本空間%R的一個(gè)劃分，且（）>0（ = 1，2，…），則（） = （∣）（）稱為全概率公式。

然后，把故事情境量化出來(lái)。把做對(duì)題看作事件，掌握知識(shí)點(diǎn)記作事件，則（∣） = 1， （∣） = 0.25。做之前老師估計(jì)，小明掌握該知識(shí)點(diǎn)的可能性是0.2，即（） = 0.2，相應(yīng)地（） = 0.8。這時(shí)候小明能做對(duì)題的概率（） = （）（∣） + （） （∣） = 0.4，換句話說(shuō)，老師起初估計(jì)，小明能做對(duì)的概率并不高，而事實(shí)上小明做對(duì)了，有點(diǎn)出乎意料，說(shuō)明之前對(duì)他掌握知識(shí)點(diǎn)的估計(jì)偏低了，所以在小明做對(duì)后，重新來(lái)分析他掌握知識(shí)點(diǎn)的可能性，也就是計(jì)算（∣） = = 0.5，0.5比0.2高了，但從概率角度來(lái)講0.5也不算大，所以老師擔(dān)心小明是不是猜對(duì)的。考慮小明做第二題時(shí)，思路是一樣的，只是這時(shí)候掌握知識(shí)點(diǎn)的概率要看成0.5，即（） = 0.5，同樣計(jì)算一個(gè)條件概率

（∣） = = = 0.8，

這個(gè)概率值相對(duì)比較大了，所以老師認(rèn)為小明掌握的可能性也是比較大的，從0.2到0.5，在到0.8，數(shù)據(jù)很直觀地反映了老師態(tài)度的轉(zhuǎn)變過(guò)程。

事實(shí)上，用來(lái)計(jì)算條件概率的式子就是貝葉斯公式。

2 以“知識(shí)性”為導(dǎo)向，闡述貝葉斯公式

設(shè)實(shí)驗(yàn)的樣本空間為%R，為的事件，，，…，為樣本空間%R的一個(gè)劃分，且（）>0，（）>0（ = 1，2，…），則（∣） = ， （ = 1，2，…）稱為貝葉斯公式。

貝葉斯公式從形式上看，就是通過(guò)計(jì)算在事件發(fā)生的條件下各個(gè)原因發(fā)生的可能性大小。貝葉斯公式理解的難點(diǎn)在于公式的復(fù)雜性，下面借助圖示分析（圖1），直觀上揭示事件的內(nèi)在關(guān)系，給出公式的證明過(guò)程，從舊知到新知，水到渠成。

要求（∣），可以直接通過(guò)條件概率得到（∣） = ，從圖1上知 = ，根據(jù)可列可加性得（∣） = ，分子、分母再用一次乘法，就得到貝葉斯公式了。

圖1 貝葉斯公式圖示

3 以“應(yīng)用性”為導(dǎo)向，幫助學(xué)生深入理解貝葉斯公式

例1 （產(chǎn)品質(zhì)量檢測(cè)） 有一批同型號(hào)的產(chǎn)品，已知其中一、二、三廠生產(chǎn)的分別占15%、80%、5%，又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2%、1%、3%?，F(xiàn)在從這批產(chǎn)品中隨機(jī)取一件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)是次品，問(wèn)該次品是由哪個(gè)廠家生產(chǎn)的可能性最大？

解：設(shè)所有產(chǎn)品構(gòu)成樣本空間。用表示“取到一件次品”，用， = 1，2，3表示所取產(chǎn)品由第家廠生產(chǎn)，則，，是樣本空間的一個(gè)劃分，由題設(shè)可知：

（） = 0.15， （） = 0.8， （） = 0.05

（∣） = 0.02， （∣） = 0.01， （∣） = 0.03

由貝葉斯公式有：

（∣） = = = 0.24

同理可得：（∣） = 0.64， （∣） = 0.12，即次品來(lái)自二廠的可能性最大。

引導(dǎo)學(xué)生思考分析：二廠生產(chǎn)的次品率是最低的，為什么該次品來(lái)自二廠的可能性最大呢？因?yàn)樵谶@批產(chǎn)品中，二廠生產(chǎn)的占了80%，這個(gè)比例不容忽視。

例2 趣味思考“一人傳虛，十人傳實(shí)”。③

模型建立：假如事件本身可信的概率為0.1，現(xiàn)有10個(gè)人，相互獨(dú)立，若每人說(shuō)謊的概率為0.4，傳到第十個(gè)人時(shí)，認(rèn)為事件可信度是否可以近似為1呢？

模型求解：第個(gè)人說(shuō)事件可信記為， = 1，2，…，10，則

（） = 0.1， （） = 0.9，

（∣） = 0.6， （∣） = 0.4

根據(jù)貝葉斯公式，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)人說(shuō)事件可信后，事件的可信度可修正為

（∣） =

= = 0.14

當(dāng)?shù)诙€(gè)人說(shuō)事件可信后，事件的可信度可修正為

（∣） =

= = 0.2

以此類推，當(dāng)?shù)谑畟€(gè)人說(shuō)事件可信后，的可信度可修正為0.86，也就是說(shuō)明這十個(gè)人很有可能都說(shuō)了真話，事件可信。在現(xiàn)實(shí)生活中，若說(shuō)事件可信的人不是相互獨(dú)立的而是串通一氣的，眾口同聲，則會(huì)導(dǎo)致“謊話說(shuō)得多了就變成了真理”的后果。“人言可畏”，“眾口鑠金，積毀銷骨”等也是同樣的道理，所以要判斷眾人說(shuō)的真假，關(guān)鍵要看評(píng)論的人們是否相互獨(dú)立，而且還要理智分析、擦亮眼睛。

貝葉斯公式應(yīng)用的例子還有很多，比如伊索寓言中 “孩子和狼”的故事，可以建立誠(chéng)信模型，④還有“臨床診斷問(wèn)題”、“股票行情分析”等等。尋找一些與學(xué)生生活貼近的的例子，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能讓學(xué)生感到學(xué)有所用。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)采用學(xué)生熟悉的課堂生活為故事情境，引入貝葉斯公式，解決問(wèn)題的同時(shí)提煉學(xué)習(xí)重點(diǎn)，體現(xiàn)了教學(xué)知識(shí)源于生活的基本特點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由舊知變形演繹得到新知的基本特點(diǎn)，體現(xiàn)生活常識(shí)與數(shù)學(xué)公式的關(guān)系。經(jīng)多次教學(xué)實(shí)踐檢驗(yàn)，將知識(shí)性和趣味性結(jié)合起來(lái)，科學(xué)地設(shè)置應(yīng)用貝葉斯公式的題目，可以較好地提高教學(xué)效果。

注釋

①②韓明.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].同濟(jì)大學(xué)出版社，2013.

③ 王君.貝葉斯應(yīng)用教學(xué)的一種新設(shè)計(jì)[J].新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011.30（4）.

④ 李春娥，王景艷.貝葉斯公式及其應(yīng)用的教學(xué)研究[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2015.31（2）.