解三角形問題的兩種常用方法

江津

摘 要：解三角形問題是歷年高考考查的重點(diǎn)，屬必考內(nèi)容。掌握解三角形問題的兩種常用方法，將會為學(xué)生在考場上節(jié)約時(shí)間，加深對知識點(diǎn)的理解及應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高考；解三角形；常用方法

中圖分類號：G633 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2095-9214（2016）02-0079-01

解三角形是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考的必考內(nèi)容，而考查的重點(diǎn)又放在了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，如何利用好正、余弦定理解決三角形問題，下面給出解三角形問題的兩種常用方法。

方法一：公式法

公式法就是根據(jù)已知條件直接利用正、余弦定理求解未知的邊、角的方法。其基本的解題步驟是：（1）定已知，即梳理已知條件，確定三角形中已知的邊與角；（2）選定理，即根據(jù)已知的邊角關(guān)系，靈活選用定理和公式；（3）代入求值。

評析：解三角形問題，要注意分清何時(shí)運(yùn)用正弦定理，合適運(yùn)用余弦定理。利用正弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）。利用余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)的三角形的問題：（1）已知三邊求三角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。但在解三角形的題目中，要注意隱含條件（A+B+C=π）的應(yīng)用，要注意得出的結(jié)果是否符合題意，所以一定要進(jìn)行檢驗(yàn)。

方法二、邊角互化法

解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊與角的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的。其基本步驟是：（1）定條件，即確定三角形中的已知條件和所求，在圖形中標(biāo)注出來，然后確定轉(zhuǎn)化方向；（2）定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化；（3）代值求解。

評析本例的解法中，思路是先求角再求邊，還有一種思路是先求邊再求角，這兩種方法都突出了邊角之間的相互轉(zhuǎn)化，而實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是確定了外接圓半徑R的大小。但解題過程中，應(yīng)防止由cos（A-C）=0得出A-C=90°的片面錯(cuò)誤。

在實(shí)施邊角互化的時(shí)候應(yīng)注意轉(zhuǎn)換的方向，根據(jù)條件靈活選用正弦定理或余弦定理，一般有兩種思路：一是全部轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系；二是全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，然后進(jìn)行恒等變形。

解三角形是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考的必考內(nèi)容，而考查的重點(diǎn)又放在了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，如何利用好正、余弦定理解決三角形問題，下面給出解三角形問題的兩種常用方法。

方法一：公式法

公式法就是根據(jù)已知條件直接利用正、余弦定理求解未知的邊、角的方法。其基本的解題步驟是：

（1）定已知，即梳理已知條件，確定三角形中已知的邊與角；

（2）選定理，即根據(jù)已知的邊角關(guān)系，靈活選用定理和公式；

d評析：解三角形問題，要注意分清何時(shí)運(yùn)用正弦定理，合適運(yùn)用余弦定理。利用正弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）。利用余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)的三角形的問題：（1）已知三邊求三角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。但在解三角形的題目中，要注意隱含條件（A+B+C=π）的應(yīng)用，要注意得出的結(jié)果是否符合題意，所以一定要進(jìn)行檢驗(yàn)。

方法二、邊角互化法

解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊與角的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的。其基本步驟是：

（1）定條件，即確定三角形中的已知條件和所求，在圖形中標(biāo)注出來，然后確定轉(zhuǎn)化方向；

（2）定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化；

（3）代值求解。

（作者單位：貴州師范大學(xué)）